计量经济学-第四章-非线性回归模型的线性化25页

（1）指数函数模型
Yi AebXiui 取对数 ln Y i ln AbiX ui
令
Y* i
lnYi,alnA则
Yi*abX i ui

（2）幂函数模型
Y i A1 i1 X X 2 2 i1 X k kieui
lY i n lA n 1 lX n 1 i 2 lX n 2 i k lX n k i u i
2. 非线性回归模型可分为几类？
第一类：非标准的线性回归模型； 第二类：可线性化的非线性回归模型； 第三类：不可线性化的非线性回归模型。
第一节 变量间的非线性关系
第一类：非标准的线性化模型 Y与解释变量 X1,X2,,Xk 之间不存在线性关系，
但与未知参数 0,1,2,之,间p 存在线性关系。
Y 01f1 (X 1 ,X 2 , ,X k)2f2 (X 1 ,X 2 , ,X k) 举例：总成 本 函数pf模k(X 型1 ,X 2 , ,X k) u
C 01 X 2 X 23 X 3 u
第一节 变量间的非线性关系
第二类：可线性化的非线性回归模型
此类模型可通过适当的变换化为标准的线性回归模型。 如，柯布—道格拉斯（Cobb-Dauglas）生产函数模型，简 称C-D生产函数模型：
YA K Leu
其中，Y 表示产出量，K 表示资金投入量，L 表示劳动投入
Y i AiK L ieui,i1 ,2 , ,n
其中，Y 表示产出量，K 表示资金投入量，L表示劳
动投入量，u 表示随机误差项，A、、为未知参
数。试利用天津市1980年~2019年间的有关统计资 料，估计天津市全社会的C-D生产函数模型。 解：详见教材。
第二节 线性化方法
3. 不可线性化的非线性回归模型的线性化估计方法
Y f( X 1 ,X 2 , ,X k ;1 ,0 ,2 ,0 , ,p ,0 ) i p 1i,0 [ fi] 0 i p 1i[ fi] 0 v
p
令 Y * Y f(X 1 ,X 2 , ,X k ;1 ,0 ,2 ,0 , ,p ,0 ) i 1
f i,0 [i] 0
迭代线性化法
第一步：根据经济理论和历史统计资料，选定 ( , 1,0 2,0,, ) p,0
作为未知参数 (1,2,,p) 的一组初始估计值。接着将模
型的非线性函数 在这组初始估计值附近作泰勒级数展
开，得
Yf(X1,X2,,Xk; , 1,0 2,0,, p,0)i p1[fi ]0( i i,0)
Z
2
f2(X1, X 2,
,Xk)
Z k fk ( X 1, X 2 , , X k )
则 Y01 Z 1 pZ p u
第二节 线性化方法
（1）多项式函数模型
Y i01 X i2 X i2 kX k k u i
令 Z 1 i X i,Z 2i X i2, ,Z ki X ik
Y i * l Y i , n 0 lA , n X 1 * i lX 1 n i , X 2 * i lX n 2 i , , X k * l iX n k
Y i * 0 1 X 1 * i 2 X 2 * i k X k * iu i
第二节 线性化方法
例 4.2 对于柯布—道格拉斯（C-D）生产函数
Yi* Xi*ui
第二节 线性化方法
（3）对数函数模型
Yi ln Xi ui
令
X* i
lnXi
则
Yi Xi*ui
（4）S-型曲线模型
Yi
1
eXi
ui
取倒数
1 Yi
eXi
ui
令
Y* i
1 Yi
,
X* i
eXi
则
Yi* Xi*ui
第二节 线性化方法
2. 可线性化的非线性回归模型的线性化方法
量，A 为效率系数， 和 非别为K 和 L的产出弹性，A、 和 均为待估未知参数。
取对数后： Ln L Y nL An L K n uL
第一节 变量间的非线性关系
第三类：不可线性化的非线性回归模型 有些回归模型无论通过什么样的变换，都无法
使其化为标准的线性回归模型，这类回归模型被称 为不可线性化的非线性回归模型。如：
则
Y i 0 1 Z 1 i 2 Z 2 i k Z K u ii
例4.1 假设某企业在15年中每年的产量和总成本的
统计资料如表4.1所示，试估计该企业的总成
本函数模型。
解：详见教材。
第二节 线性化方法
（2）双曲函数模型
1 Yi
1
Xi
ui
令
Y* i
1, Yi
X* i
1 Xi
则，化为标准的线性回归模型
第四章 非线性回归模型的线性化
第一节：变量间的非线性关系 第二节：线性化方法 第三节：案例分析
第一节 变量间的非线性关系
1. 线性回归模型与非线性回归模型的形式有何不同？
线性模型 Y 0 1 X 1 2 X 2 k X k u
非线性模型 Y f( X 1 ,X 2 , ,X k ;0 ,1 , ,p ) u
Y01 e1 X 12 e2 X 2 u
第二节 线性化方法
1. 非标准线性回归模型的线性化方法
变量替换法
Y 01f1 (X 1 ,X 2 , ,X k)2f2 (X 1 ,X 2 , ,X k) pfk(X 1 ,X 2 , ,X k) u
变量替换公式为 Z1 f1( X 1, X 2 , , X k )
f
f
f
Z 1[1]0,Z 2[2]0, ,Zp[p]0
得 Y *1 Z 12 Z 2 p Z p v
第二节 线性化方法
3. 不可线性化的非线性回归模型的线性化估计方法
第二步：对变换好的标准线性回归模型应用普通最小二乘法
估计未知参数。由给定的样本观察值 (X1i,X2i,,XK;iYi)和
初始估计值 (1,0,2,0,,p,0)计算出一组新的样本观测值
1p
2i1
p [ 2f
j1
i
j
]0(
i
)( i,0
j
j,0)u
舍掉二阶和二阶以上的高阶项，得：
第二节 线性化方法
3. 不可线性化的非线性回归模型的线性化估计方法
Y 移 项f( 整X 1 , 理X 2 后, 得,X ：k ;1 ,0 ,2 ,0 , ,p ,0 ) i p 1 [ fi] 0 (i i,0 ) v