命题与证明教案

14.2《命题与证明》学习导航

命题与证明涉及平面几何所要研究的基本内容之一，也是以后复杂图形研究的重要基础．在知识学习的同时，命题与证明逐步渗透了推理论证的格式，并介绍了命题的结构和证明的步骤，所以命题与证明也是推理论证的入门阶段，命题与证明的内容是很重要的基础知识，是关系到今后几何学习的重要阶段，是中考考查的热点之一．

一、知识点回顾

1.定义、命题、公理和定理的含义．

(1)定义是揭示一个事物区别于其他事物特征的句子．

(2)命题：可以判断是正确或错误的句子叫做命题．

其中正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．

(3)命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，这种命题可写成“如果……那么……”的形式．其中用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论．

(4)公理：如果—个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫公理．

(5)如果一个命题可从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫定理．如“三角形的内角和等于180°”等．注意：定理是正确的命题，但正确的命题不一定是定理．

2.定义、命题、公理和定理之间的联系与区别．

这四者都是句子，都可以判断真假，即定义、公理和定理也是命题，不同的是定义、公理和定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过公理是最原始的依据，而命题不一定是真命题，因而它不一定能作为进一步判断其他命题真假的依据．

3.证明

(1)根据题设、定义以及已经被确认的公理、定理等，经过逻辑推理，来判断—个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明．

(2)证明真命题的一般步骤是：

①根据题意，画出图形；

②根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；

③经过分析，找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据．

命题的证明步骤与格式是本节的主要内容，是学习数学必具备的能力，在今后的学习中将会有大量的证明问题；另一方面它还体现了数学的逻辑性和严谨性．

推论证明的思路和方法．因为它体现抽象思维能力，如果同学们对逻辑的理解不深刻，往往找不出最优的思维切入点，证明的盲目性很大，因此对证明的思路和方法的训练是十分必要.

（1）学习命题与证明主要以对比理解为主，通过比较各种术语之间的异同，理解其内在含义．

（2）概念辨析法的一般步骤是：①分析研究题目所给条件和问题；②回忆有关概念的内涵和要点；

③用概念去辨析题目所给条件与问题；④进行分析、判断、推理，综合得出正确结论．

（3）证明一个假命题的方法是举一个反例，证明一个命题是真命题，可用分析法、综合法或分析综合法．

二、思想方法

灵活运用转化的思维方法是平面几何证明的基本思想方法．如变更发散命题，通过变更命题的形式，力求变换思维角度，多方位思考、多渠道辟径，对于每个知识点挖掘其深邃的内涵，拓展其广阔的外延，从而有利于培养创造性思维能力．

命题与证明渗透的思想方法还有特殊与一般、逻辑推理思想等.在进行命题的证明时，体会命题证明的必要性，证明的步骤及格式，会根据一些简单的命题画出图形，并结合图形写出已知、求证，进行推理论证，并且会注明每一步推理的理由．

三、易错点归纳

1.命题的结论和题设分辨不清

【例1】将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式.

(1)同角的余角相等；(2)直角都相等．

［误解］(1)常有以下几种错误改写：

如果是同角，那么余角相等；

如果两个角是同角，那么它们的余角相等；

如果同一个角是余角，那么余角相等．

(2)常有以下几种错误改写：

如果是直角，那么相等；

如果直角等于90°，那么直角都相等；

如果两条直线互相垂直，那么直角都相等．

[正解](1)如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等；

(2)如果两个角都是直角，那么这两个角相等．

[剖析与指导]产生改写错误的主要原因是：(1)在命题的题设和结论不很分明时，分辨不清哪是题设，哪是结论；(2)不能正确地理解一些概念名称，如同角、余角、直角等在叙述命题的语句中的地位和意义：(3)缺乏把简单句变换成复合句的语法知识．

命题的改写是命题教学的基础，在命题学习中，首先要掌握命题的构造，分清命题的题设是什么？结论是什么？然后才能在这个基础上进行命题的改写．

对于命题的改写，特别是题设和结论不很分明的命题的改写，应注意以下几点：

(1)命题的“缩句”练习．命题是判断一件事情的语句．为明确语句中各词语的含义及地位确定这语句中的“主词”和“宾词”，可以进行类似于小学语文中的“缩句”练习．如把命题“同角的余角相等”缩写成“余角相等”，由此知道主词是“余角”，宾词是“相等”；又命题“两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线平行”可以缩为：“两个角的平分线平行”，由此得主词为“两个角的平分线”．宾词为“平行”．

(2)主词的数量表达方法．当主词的对象在数量上包含有“无数个”时，一般在主词前面加上“任意两个”或就写“两个”来表达这“无数个”．如同角的余角可以有无数个，在改写时一般只需写成“同角的任意两个余角”，或写成“同角的两个余角”．又如直角也有无数个，在改写时只需写成“任意两个直角”或“两个直角”．

(3)改写方法．把命题的主词连同它的修饰部分．经过重新组织或添加一些词语．写成“如果……”部分，宾词写成“那么……”部分，把它们连接成一个完整的句子，就得到改写成的命题．

2.文字语言与“图形语言”转换出现障碍

【例2】对命题：“同角的补角相等”．画图，并写出已知、求证．(不证明)

[误解] 如图1

已知：∠AOB与∠COD是同角，

∠BOE是∠AOB的补角，

∠DOF是∠COD的补角．

求证：∠BOE=∠DOF．