初三数学圆的性质定理

初三数学圆的性质定理

1、圆的对称性：圆是轴对称图形，任一条直径所在的直线都是它的对称轴.

2、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

3、垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

4、垂径定理的应用：

①用直尺和圆规平分一条弧.作法是过圆心作弧所对弦的垂线，理由是垂径定理；

②在利用垂径定理计算或证明时，我们通常将其化为一个直角三角形的边和角，这

个特殊直角三角形的三边分别是半径、弦的一半和圆心到弦的垂线段.

例1、如图，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AD交小圆于B、C.

(1)求证：AB=CD

(2)如果AD=6cm，BC=4cm，求圆环的面积.

1.圆周角定义：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.

2.圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对

的圆心角的一半.

3.推论：①同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧一定相等.

②半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

③如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

4．圆的内接四边形：

①定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，

这个圆叫做这个多边形的外接圆.

②圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.

例2、如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交BC于D.若BC=8，ED=2，求⊙

O的半径.

1、如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD=10cm，AP∶PB=1∶5，那么⊙O的半径是（）

2、圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB、CD的距离是（）

A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm

3、如下图所示，AB是⊙O的一条固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A、B两点）移动时，点P（）A．到CD的距离保持不变 B．位置不变 C．平分 D．随点C的移动而移动

4、如上中图，BD是⊙O的直径，弦AC、BD相交于点E，则下列结论不成立的是（）

A．∠ABD=∠ACD B． C．∠BAE=∠BDC D．∠ABD=∠BDC

5、如上右图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，则∠DCF等于（）

A．80° B．50° C．40° D．20°

6、如下图，A、B、C是⊙O上三点，∠ACB=40°，则∠ABO等于__________度．

7、如上左二图，△ABC的顶点都在⊙O上，∠C=30°，AB=2cm，则⊙O的半径为__________cm．

8、如上左三图，在平面直角坐标系中，P是经过O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圆上的一个动点（P与O、A、B不重合），则∠OAB=__________，∠OPB=__________．

9、如右上图，△ABC内接于⊙O，∠B=∠OAC，OA=8cm，则AC=__________cm．

10、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则BC=__________．

11、如图，⊙O中的弦AB、CD互相垂直于E，AE=5cm，BE=13cm，O到AB的距离为．求⊙O的半径及O到CD的距离．

12、如图，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为正方形并高出水面2m的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．

13、如图，AB为⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长到C，使BD＝DC，连接AC交⊙O于点F，点F不与点A重合．

（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？

（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由．

一、确定圆的条件

(1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来．所以以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个．如图(1)．

(2)已知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到A、B的距离相等．根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB的垂直平分线上．在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B两点的距离相等，所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径，圆就确定下来了．由于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)．

(3)要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆．

过不在同一条直线上的三点确定一个圆

2、经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．

因为画圆的关键是确定圆心和半径，所以作三角形的外接圆时，只要找三边垂直平分线的交点，这就是圆心，以这点到三角形任一顶点间的距离为半径就可作出三角形的外接圆．

3、利用尺规过不在同一条直线上的三个点作圆的方法

作法图示

1．连结AB、BC

2．分别作AB、BC的垂直

平分线DE和FG，DE和

FG相交于点O