人教版九年级数学上册 圆 几何综合中考真题汇编[解析版]

人教版九年级数学上册圆几何综合中考真题汇编[解析版]

一、初三数学圆易错题压轴题（难）

1．在圆O中，C是弦AB上的一点，联结OC并延长，交劣弧AB 于点D，联结AO、BO、AD、BD．已知圆O的半径长为5，弦AB的长为8．

（1）如图1，当点D是弧AB的中点时，求CD的长；

（2）如图2，设AC=x，ACO

OBD

S

S=y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；

（3）若四边形AOBD是梯形，求AD的长．

【答案】（1）2；（2）

2825

x x x

-+

（0＜x＜8）;（3）AD=

14

5

或6．

【解析】

【分析】

(1)根据垂径定理和勾股定理可求出OC的长.

(2)分别作OH⊥AB，DG⊥AB，用含x的代数式表示△ACO和△BOD的面积，便可得出函数解析式.

(3)分OB∥AD和OA∥BD两种情况讨论.

【详解】

解：（1）∵OD过圆心，点D是弧AB的中点，AB=8，

∴OD⊥AB，AC=

1

2

AB=4，

在Rt△AOC中，∵∠ACO=90°，AO=5，

∴22

AO AC

-，

∴OD=5，

∴CD=OD﹣OC=2；

（2）如图2，过点O作OH⊥AB，垂足为点H，

则由（1）可得AH=4，OH=3，

∵AC=x，

∴CH=|x﹣4|，

在Rt△HOC中，∵∠CHO=90°，AO=5，

∴22

HO HC

+22

3|x4|

+-2825

x x

-+

∴CD=OD ﹣OC=5

过点DG ⊥AB 于G ，

∵OH ⊥AB ，

∴DG ∥OH ，

∴△OCH ∽△DCG ， ∴OH OC DG CD

=， ∴DG=OH CD OC ⋅

35， ∴S △ACO =12AC ×OH=12x ×3=32

x ， S △BOD =12BC （OH +DG ）=12（8﹣

x ）×（3

35）=32（8﹣

x ） ∴y=ACO OBD S S

=()323582x x -

（0＜x ＜8） （3）①当OB ∥AD 时，如图3，

过点A 作AE ⊥OB 交BO 延长线于点E ，过点O 作OF ⊥AD ，垂足为点F ，

则OF=AE ，

∴S=

12AB•OH=12OB•AE ， AE=AB OH OB ⋅=245

=OF ， 在Rt △AOF 中，∠AFO=90°，

AO=5，

∴75

∵OF 过圆心，OF ⊥AD ，

∴AD=2AF=145． ②当OA ∥BD 时，如图4，过点B 作BM ⊥OA 交AO 延长线于点M ，过点D 作DG ⊥AO ，垂足为点G ，

则由①的方法可得DG=BM=245

， 在Rt △GOD 中，∠DGO=90°，DO=5，

∴GO=22DO DG -=

75，AG=AO ﹣GO=185

， 在Rt △GAD 中，∠DGA=90°， ∴AD=22AG DG +=6

综上得AD=

145或6．

故答案为（1）2；（2）y=()

2825x x x -+（0＜x ＜8）;（3）AD=145或6． 【点睛】

本题是考查圆、三角形、梯形相关知识，难度大，综合性很强.

2．如图①，一个Rt △DEF 直角边DE 落在AB 上，点D 与点B 重合，过A 点作二射线AC 与斜边EF 平行，己知AB=12，DE=4，DF=3，点P 从A 点出发，沿射线AC 方向以每秒2个单位的速度运动，Q 为AP 中点，设运动时间为t 秒（t ＞0）•

（1）当t=5时，连接QE ，PF ，判断四边形PQEF 的形状；

（2）如图②，若在点P 运动时，Rt △DEF 同时沿着BA 方向以每秒1个单位的速度运动，当D 点到A 点时，两个运动都停止，M 为EF 中点，解答下列问题：

①当D 、M 、Q 三点在同一直线上时，求运动时间t ；

②运动中，是否存在以点Q 为圆心的圆与Rt △DEF 两个直角边所在直线都相切？若存在，求出此时的运动时间t ；若不存在，说明理由．

【答案】（1）平行四边形EFPQ 是菱形；（2）t=

；当t 为5秒或10秒时，以点Q 为圆

心的圆与Rt △DEF 两个直角边所在直线都相切．

【解析】 试题分析：（1）过点Q 作QH ⊥AB 于H ，如图①，易得PQ=EF=5，由AC ∥EF 可得四边形EFPQ 是平行四边形，易证△AHQ ∽△EDF ，从而可得AH=ED=4，进而可得AH=HE=4，根据

垂直平分线的性质可得AQ=EQ，即可得到PQ=EQ，即可得到平行四边形EFPQ是菱形；（2）①当D、M、Q三点在同一直线上时，如图②，则有AQ=t，EM=EF=，AD=12-t，DE=4．由EF∥AC可得△DEM∽△DAQ，然后运用相似三角形的性质就可求出t的值；

②若以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切，则点Q在∠ADF的角平分线上（如图③）或在∠FDB的角平分线（如图④）上，故需分两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质求出AH、DH（用t表示），再结合AB=12，DB=t建立关于t的方程，然后解这个方程就可解决问题．

试题解析：（1）四边形EFPQ是菱形．

理由：过点Q作QH⊥AB于H，如图①，

∵t=5，∴AP=2×5=10．

∵点Q是AP的中点，

∴AQ=PQ=5．

∵∠EDF=90°，DE=4，DF=3，

∴EF==5，

∴PQ=EF=5．

∵AC∥EF，

∴四边形EFPQ是平行四边形，且∠A=∠FEB．

又∵∠QHA=∠FDE=90°，

∴△AHQ∽△EDF，

∴．

∵AQ=EF=5，

∴AH=ED=4．

∵AE=12-4=8，

∴HE=8-4=4，

∴AH=EH，

∴AQ=EQ，

∴PQ=EQ，

∴平行四边形EFPQ是菱形；

（2）①当D、M、Q三点在同一直线上时，如图②，