2015届高考数学总复习第五章 第一节数列的概念与简单表示法精讲课件 文
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an＝______.
…的通项公式是
解析：(1)这是个混合数列，可看成 故通项公式an＝2n＋ (n∈N＋)．
(2)该数列中各项每两个元素重复一遍，可以利用这个周期 性求an.原数列可变形为： 10＋0,10＋1,10＋0,10＋ 1，….故
其一个通项为an＝10＋
(n∈N＋)．
，则分母
(3)通项符号为(－1)n，如果把第一项－1看作－
解得a1＝3.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ (an－1)－ (an－1－1)，整理得
＝3，
∴当n≥2时，数列{an}是以3为公比的等比数列，且首项a2＝
(2) 分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助
分子、分母的关系． (3) 对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列 (后面将复习到)和其他方法来解决． (4) 此类问题无固定模式，主要靠观察 ( 观察规律 ) 、比较( 比较 已知的数列)、归纳、转化(转化为等差或等比数列)等方法．
解析：(1)由a1a2a3…an＝n2得a1a2a3…an an＋1＝(n＋1)2，
所以n2an＋1＝(n＋1)2，得an＋1＝ ，n≥1，
把上面各式相加，得an＝a1＋lg ＝1＋lg ＝lg(5n＋5)．
答案：(1)
(2)an＝lg(5n＋5)
已知Sn与an的关系式，求通项公式an 【例3】 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn>1， (a1＋1)(a1＋2)，解得a1＝1或a1＝2，由题
列，故{an}的通项为an＝3n－1(n∈N*)．
点评：已知{an}的பைடு நூலகம்n项和Sn，求an时应注意以下三点：
(1)应重视分类讨论法的应用，分n＝1和n≥2两种情况讨论，特别 注意an＝Sn－Sn－1中需n≥2. (2)由Sn－Sn－1＝an推得的an，当n＝1时，a1也适合“an式”，则需 统一“合写”． (3)由Sn－Sn－1＝an推得的an，当n＝1时，a1不适合“an式”，则数 列的通项公式应分段表示(“分写”)， 即an＝
变式探究 (1)数列
an＝____________； (2) 数 列 10,11,10,11,10,11 ， … 的 一 个 通 项 公 式 是 an ＝ _________________； (3)数列－1， …的通项公式是an＝__________________；
…的通项公式是
(4)数列－1，
为3,5,7,9，…，分母通项为2n＋1；分子为3,8,15,24，…，
分子通项为 (n ＋ 1)2 － 1 即 n(n ＋ 2) ，所以原数列通项为 an ＝ (－1)n
(4) 奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子 (-
1)n ；各项绝对值的分母组成数列 1,2,3,4 ， … ；而各项
绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3， 即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以an＝(－1)n·
第五章
第一节 数列的概念与简单表示法
给出数列的前几项，求数列的通项公式 【例1】 求下列数列的一个通项公式： (1)1，－1,1，－1，…；
(2)3,5,9,17,33，…；
(3) ，2， ，8， ，0， ，…； ，0，－ ，0，…；
(4)1,0，－
(5)5,55,555,5 555，….
思路点拨：解此类问题主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知 的数列)、归纳、转化(转化为等差或等比数列)等方法．每一项
利用Sn与an的关系求通项是一个重要内容，应注意Sn与an间关系的
灵活运用．
变式探究
3．(1)设Sn为数列{an}的前n项的和，且Sn＝
(an－1)
(n∈N *)．则数列{an}的通项公式an＝________________. (2)(2012· 衡阳八中月考)正项数列{an}满足a1＝2，(an－2)2＝ 8Sn－1(n≥2)，则{an}的通项公式为an＝________. 解析：(1)∵Sn＝ (an－1)，∴当n＝1时，S1＝a1＝ (a1－1)．
且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，n∈N*.求{an}的通项公式．
解析：由a1＝S1＝ 设知a1＝S1＞1，因此a1＝2.
又由an＋1＝Sn＋1－ Sn＝
(an＋1＋1)(an＋1＋2)－ (an＋1)(an＋2)，
得an＋1－ an－3＝0或an＋1＝－an， 因an＞0，故an＋1＝－an不成立，舍去． 因此an＋1－ an－3＝0，从而{an}是公差为3，首项为2的等差数
序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对
应关系，这对考生的归纳推理能力有较高的要求． 自主解答：
解析：(1)an＝(－1)n＋1或an＝cos(n＋1)π.
(2)an＝2n＋1.
(3)an＝ .
点评： 已知数列的前几项，写出数列的通项公式，主要从以 下几个方面来考虑： (1) 符号用 ( － 1)n 与 ( － 1)n ＋ 1 来调节，这是因为 n 和 n ＋ 1 奇偶交 错．
外了解常用的处理办法，如迭加、迭代、迭乘及变形后结 合等差(比)数列公式，也是很有必要的．
(3)求本题数列的通项公式还可用倒数法来推导，同学们不
妨一试．
变式探究
2．(1)数列{an}中，a1＝1，对所有n≥2，都有a1a2a3…an＝n2， 则an＝________. (2)已知数列{an}满足：a1＝1，an＝an－1＋lg (n≥2)，则数列{an} 的通项公式是____________．
答案：(1)2n＋
(2)10＋
由递推公式求数列的前几项，并由此写出通
向公式
【例 2】 (2012· 瑞安十校联考 ) 若数列 {an} 的通项公式 an ＝ 记Cn＝2(1－a1)(1－a2)· …· (1－an)，试通过计 算C1，C2，C3的值，推测出Cn＝________.
思路点拨：根据已知等式写出前3项，注意将C1，C2，C3的
结果写成相同的结构形式(不要写成小数)，这样方便观察规 律，得出一般表达式．
点评：(1)从特殊的事例，通过分析、归纳，抽象总结出一 般规律，再进行科学的证明，这是创新意识的具体体现， 这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到， 应引起足够的重视．
(2)对递推公式，要求写出前几项，并猜想其通项公式，此
…的通项公式是
解析：(1)这是个混合数列，可看成 故通项公式an＝2n＋ (n∈N＋)．
(2)该数列中各项每两个元素重复一遍，可以利用这个周期 性求an.原数列可变形为： 10＋0,10＋1,10＋0,10＋ 1，….故
其一个通项为an＝10＋
(n∈N＋)．
，则分母
(3)通项符号为(－1)n，如果把第一项－1看作－
解得a1＝3.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ (an－1)－ (an－1－1)，整理得
＝3，
∴当n≥2时，数列{an}是以3为公比的等比数列，且首项a2＝
(2) 分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助
分子、分母的关系． (3) 对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列 (后面将复习到)和其他方法来解决． (4) 此类问题无固定模式，主要靠观察 ( 观察规律 ) 、比较( 比较 已知的数列)、归纳、转化(转化为等差或等比数列)等方法．
解析：(1)由a1a2a3…an＝n2得a1a2a3…an an＋1＝(n＋1)2，
所以n2an＋1＝(n＋1)2，得an＋1＝ ，n≥1，
把上面各式相加，得an＝a1＋lg ＝1＋lg ＝lg(5n＋5)．
答案：(1)
(2)an＝lg(5n＋5)
已知Sn与an的关系式，求通项公式an 【例3】 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn>1， (a1＋1)(a1＋2)，解得a1＝1或a1＝2，由题
列，故{an}的通项为an＝3n－1(n∈N*)．
点评：已知{an}的பைடு நூலகம்n项和Sn，求an时应注意以下三点：
(1)应重视分类讨论法的应用，分n＝1和n≥2两种情况讨论，特别 注意an＝Sn－Sn－1中需n≥2. (2)由Sn－Sn－1＝an推得的an，当n＝1时，a1也适合“an式”，则需 统一“合写”． (3)由Sn－Sn－1＝an推得的an，当n＝1时，a1不适合“an式”，则数 列的通项公式应分段表示(“分写”)， 即an＝
变式探究 (1)数列
an＝____________； (2) 数 列 10,11,10,11,10,11 ， … 的 一 个 通 项 公 式 是 an ＝ _________________； (3)数列－1， …的通项公式是an＝__________________；
…的通项公式是
(4)数列－1，
为3,5,7,9，…，分母通项为2n＋1；分子为3,8,15,24，…，
分子通项为 (n ＋ 1)2 － 1 即 n(n ＋ 2) ，所以原数列通项为 an ＝ (－1)n
(4) 奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子 (-
1)n ；各项绝对值的分母组成数列 1,2,3,4 ， … ；而各项
绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3， 即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以an＝(－1)n·
第五章
第一节 数列的概念与简单表示法
给出数列的前几项，求数列的通项公式 【例1】 求下列数列的一个通项公式： (1)1，－1,1，－1，…；
(2)3,5,9,17,33，…；
(3) ，2， ，8， ，0， ，…； ，0，－ ，0，…；
(4)1,0，－
(5)5,55,555,5 555，….
思路点拨：解此类问题主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知 的数列)、归纳、转化(转化为等差或等比数列)等方法．每一项
利用Sn与an的关系求通项是一个重要内容，应注意Sn与an间关系的
灵活运用．
变式探究
3．(1)设Sn为数列{an}的前n项的和，且Sn＝
(an－1)
(n∈N *)．则数列{an}的通项公式an＝________________. (2)(2012· 衡阳八中月考)正项数列{an}满足a1＝2，(an－2)2＝ 8Sn－1(n≥2)，则{an}的通项公式为an＝________. 解析：(1)∵Sn＝ (an－1)，∴当n＝1时，S1＝a1＝ (a1－1)．
且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，n∈N*.求{an}的通项公式．
解析：由a1＝S1＝ 设知a1＝S1＞1，因此a1＝2.
又由an＋1＝Sn＋1－ Sn＝
(an＋1＋1)(an＋1＋2)－ (an＋1)(an＋2)，
得an＋1－ an－3＝0或an＋1＝－an， 因an＞0，故an＋1＝－an不成立，舍去． 因此an＋1－ an－3＝0，从而{an}是公差为3，首项为2的等差数
序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对
应关系，这对考生的归纳推理能力有较高的要求． 自主解答：
解析：(1)an＝(－1)n＋1或an＝cos(n＋1)π.
(2)an＝2n＋1.
(3)an＝ .
点评： 已知数列的前几项，写出数列的通项公式，主要从以 下几个方面来考虑： (1) 符号用 ( － 1)n 与 ( － 1)n ＋ 1 来调节，这是因为 n 和 n ＋ 1 奇偶交 错．
外了解常用的处理办法，如迭加、迭代、迭乘及变形后结 合等差(比)数列公式，也是很有必要的．
(3)求本题数列的通项公式还可用倒数法来推导，同学们不
妨一试．
变式探究
2．(1)数列{an}中，a1＝1，对所有n≥2，都有a1a2a3…an＝n2， 则an＝________. (2)已知数列{an}满足：a1＝1，an＝an－1＋lg (n≥2)，则数列{an} 的通项公式是____________．
答案：(1)2n＋
(2)10＋
由递推公式求数列的前几项，并由此写出通
向公式
【例 2】 (2012· 瑞安十校联考 ) 若数列 {an} 的通项公式 an ＝ 记Cn＝2(1－a1)(1－a2)· …· (1－an)，试通过计 算C1，C2，C3的值，推测出Cn＝________.
思路点拨：根据已知等式写出前3项，注意将C1，C2，C3的
结果写成相同的结构形式(不要写成小数)，这样方便观察规 律，得出一般表达式．
点评：(1)从特殊的事例，通过分析、归纳，抽象总结出一 般规律，再进行科学的证明，这是创新意识的具体体现， 这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到， 应引起足够的重视．
(2)对递推公式，要求写出前几项，并猜想其通项公式，此