中考必会几何模型：8字模型与飞镖模型
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＝180° 解法二：
2．如图，求：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝
．
解：∵∠G+∠D=∠3，∠F+∠C=∠4，∠E+∠H=∠2， ∴∠G+∠D+∠F+∠C+∠E+∠H=∠3+∠4+∠2， ∵∠B+∠2+∠1=180°，∠3+∠5+∠A=180°，∴∠A+∠B+∠2+∠4+∠3=360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°
∵∠A＋∠D＋∠AOD＝180°，∴∠A＋∠D＝180°－∠AOD．∵∠B＋∠C＋ ∠BOC＝180°， ∴∠B＋∠C＝180°－∠BOC．又∵∠AOD＝∠BOC，∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C． （1）因为这个图形像数字 8，所以我们往往把这个模型称为 8 字模型． （2）8 字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到．
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=115º+115º=230º
2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D=
.
【答案】220° 提示：如图所示，连接 BD. ∠AED=∠A+∠3+∠1，∠BFC=∠2+∠4+∠C， ∠A+∠ABF+∠C+∠CDE=∠A+∠3+∠1+∠2+∠4+∠C=∠AED+∠BFC=220º
解答：利用角的飞镖模型
4
Wang
如图所示，连接 DM 并延长．∵∠3 是△AMD 的外角，∴∠3＝∠1＋∠ADM，
∵∠4 是△CMD 的外角，∴∠4＝∠2＋∠CDM，∵∠AMC＝∠3＋∠4
∴∠AMC＝∠1＋∠ADM＋∠CDM＋∠2，∴∠AMC＝∠1＋∠2＋∠ADC．（角
的飞镖模型）
∵AM、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB，∴ 1 BAD ， 2 BCD ，
解法二：如图④，利用三角形外角和定理．∵∠1 是△FCE 的外角，∴∠1＝∠C ＋∠E．
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Wang
∵∠2 是△GBD 的外角，∴∠2＝∠B＋∠D． ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝∠A＋∠1＋∠2＝180°．
（2）如图②，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________．
（2）解法一：
如图⑤，利用角的 8 字模型．∵∠AOP 是△AOB 的外角，∴∠A＋∠B＝∠AOP．
模型实例 观察下列图形，计算角度： （1）如图①，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝________；
解法一：利用角的 8 字模型．如图③，连接 CD．∵∠BOC 是△BOE 的外角， ∴∠B＋∠E＝∠BOC．∵∠BOC 是△COD 的外角，∴∠1＋∠2＝∠BOC． ∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2．（角的 8 字模型），∴∠A＋∠B＋∠ACE＋∠ADB＋ ∠E ＝∠A＋∠ACE＋∠ADB＋∠1＋∠2＝∠A＋∠ACD＋∠ADC＝180°．
∴∠A＋∠B＝∠AOE．∵∠AOE 是△OED 的外角，∴∠1＋∠2＝∠AOE．
∴∠A＋∠B＝∠1＋∠2．（角的 8 字模型）
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠ADC＋∠FEB＋∠F＝∠1＋∠2＋∠C＋∠ADC＋∠FEB
＋∠F
＝360°．（四边形内角和为 360°）
练习：
Baidu Nhomakorabea
1．（1）如图①，求：∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝
Wang
8 字模型与飞镖模型
模型 1：角的 8 字模型
如图所示，AC、BD 相交于点 O，连接 AD、BC． ∠C．
结论：∠A＋∠D＝∠B＋
模型分析 证法一： ∵∠AOB 是△AOD 的外角，∴∠A＋∠D＝∠AOB．∵∠AOB 是△BOC 的外角， ∴∠B＋∠C＝∠AOB．∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C． 证法二：
解法二：
3
Wang
模型 2：角的飞镖模型
如图所示，有结论：∠D＝∠A＋∠B＋∠C．
模型分析 解法一：如图①，作射线 AD． ∵∠3 是△ABD 的外角，∴∠3＝∠B＋∠1，∵∠4 是△ACD 的外角，∴∠4＝∠ C＋∠2 ∴∠BDC＝∠3＋∠4，∴∠BDC＝∠B＋∠1＋∠2＋∠C，∴∠BDC＝∠BAC＋ ∠B＋∠C 解法二：如图②，连接 BC． ∵∠2＋∠4＋∠D＝180°，∴∠D＝180°－（∠2＋∠4） ∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A＝180°，∴∠A＋∠1＋∠3＝180°－（∠2＋∠4） ∴∠D＝∠A＋∠1＋∠3. （1）因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型． （2）飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用． 模型实例 如图，在四边形 ABCD 中，AM、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB，AM 与 CM 交 于 M，探究∠AMC 与∠B、∠D 间的数量关系．
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∴ AMC BAD BCD ADC ，∴ AMC 360 B ADC ADC （四边形
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内角和 360°），∴ AMC 360 B ADC ，∴2∠AMC＋∠B－∠ADC＝360°.
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练习：
1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=
.
【答案】230°
提示：∠C+∠E+∠D=∠EOC=115º.（飞镖模型），∠A+∠B+∠F=∠BOF=115º.
模型 3 边的“8”字模型
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Wang
如图所示，AC、BD 相交于点 O，连接 AD、BC．结论 AC+BD>AD+BC．
模型分析 ∵OA+OD>AD①， OB+OC>BC②， 由①+②得： OA+OD+OB+OC>BC+AD 即：AC+BD>AD+BC.
模型实例 如图，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O。
∵∠AOP 是△OPQ 的外角，∴∠1＋∠3＝∠AOP．∴∠A＋∠B＝∠1＋∠3．①
（角的 8 字模型），同理可证：∠C＋∠D＝∠1＋∠2．② ，∠E＋∠F＝∠2
＋∠3．③
由①＋②＋③得：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝2（∠1＋∠2＋∠3）＝
360°．
解法二：利用角的 8 字模型．如图⑥，连接 DE．∵∠AOE 是△AOB 的外角，
；
解：如图，∵∠1=∠B+∠D，∠2=∠C+∠CAD，
∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°． 故答案为：180° 解法二：
2
Wang
（2）如图②，求：∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E＝
．
解：由三角形的外角性质，知∠BAC=∠E+∠ACE，∠EAD=∠B+∠D， 又∵∠BAC+∠CAD+∠EAD=180°，∴∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E
2．如图，求：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝
．
解：∵∠G+∠D=∠3，∠F+∠C=∠4，∠E+∠H=∠2， ∴∠G+∠D+∠F+∠C+∠E+∠H=∠3+∠4+∠2， ∵∠B+∠2+∠1=180°，∠3+∠5+∠A=180°，∴∠A+∠B+∠2+∠4+∠3=360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°
∵∠A＋∠D＋∠AOD＝180°，∴∠A＋∠D＝180°－∠AOD．∵∠B＋∠C＋ ∠BOC＝180°， ∴∠B＋∠C＝180°－∠BOC．又∵∠AOD＝∠BOC，∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C． （1）因为这个图形像数字 8，所以我们往往把这个模型称为 8 字模型． （2）8 字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到．
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=115º+115º=230º
2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D=
.
【答案】220° 提示：如图所示，连接 BD. ∠AED=∠A+∠3+∠1，∠BFC=∠2+∠4+∠C， ∠A+∠ABF+∠C+∠CDE=∠A+∠3+∠1+∠2+∠4+∠C=∠AED+∠BFC=220º
解答：利用角的飞镖模型
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Wang
如图所示，连接 DM 并延长．∵∠3 是△AMD 的外角，∴∠3＝∠1＋∠ADM，
∵∠4 是△CMD 的外角，∴∠4＝∠2＋∠CDM，∵∠AMC＝∠3＋∠4
∴∠AMC＝∠1＋∠ADM＋∠CDM＋∠2，∴∠AMC＝∠1＋∠2＋∠ADC．（角
的飞镖模型）
∵AM、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB，∴ 1 BAD ， 2 BCD ，
解法二：如图④，利用三角形外角和定理．∵∠1 是△FCE 的外角，∴∠1＝∠C ＋∠E．
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Wang
∵∠2 是△GBD 的外角，∴∠2＝∠B＋∠D． ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝∠A＋∠1＋∠2＝180°．
（2）如图②，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________．
（2）解法一：
如图⑤，利用角的 8 字模型．∵∠AOP 是△AOB 的外角，∴∠A＋∠B＝∠AOP．
模型实例 观察下列图形，计算角度： （1）如图①，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝________；
解法一：利用角的 8 字模型．如图③，连接 CD．∵∠BOC 是△BOE 的外角， ∴∠B＋∠E＝∠BOC．∵∠BOC 是△COD 的外角，∴∠1＋∠2＝∠BOC． ∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2．（角的 8 字模型），∴∠A＋∠B＋∠ACE＋∠ADB＋ ∠E ＝∠A＋∠ACE＋∠ADB＋∠1＋∠2＝∠A＋∠ACD＋∠ADC＝180°．
∴∠A＋∠B＝∠AOE．∵∠AOE 是△OED 的外角，∴∠1＋∠2＝∠AOE．
∴∠A＋∠B＝∠1＋∠2．（角的 8 字模型）
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠ADC＋∠FEB＋∠F＝∠1＋∠2＋∠C＋∠ADC＋∠FEB
＋∠F
＝360°．（四边形内角和为 360°）
练习：
Baidu Nhomakorabea
1．（1）如图①，求：∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝
Wang
8 字模型与飞镖模型
模型 1：角的 8 字模型
如图所示，AC、BD 相交于点 O，连接 AD、BC． ∠C．
结论：∠A＋∠D＝∠B＋
模型分析 证法一： ∵∠AOB 是△AOD 的外角，∴∠A＋∠D＝∠AOB．∵∠AOB 是△BOC 的外角， ∴∠B＋∠C＝∠AOB．∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C． 证法二：
解法二：
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Wang
模型 2：角的飞镖模型
如图所示，有结论：∠D＝∠A＋∠B＋∠C．
模型分析 解法一：如图①，作射线 AD． ∵∠3 是△ABD 的外角，∴∠3＝∠B＋∠1，∵∠4 是△ACD 的外角，∴∠4＝∠ C＋∠2 ∴∠BDC＝∠3＋∠4，∴∠BDC＝∠B＋∠1＋∠2＋∠C，∴∠BDC＝∠BAC＋ ∠B＋∠C 解法二：如图②，连接 BC． ∵∠2＋∠4＋∠D＝180°，∴∠D＝180°－（∠2＋∠4） ∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A＝180°，∴∠A＋∠1＋∠3＝180°－（∠2＋∠4） ∴∠D＝∠A＋∠1＋∠3. （1）因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型． （2）飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用． 模型实例 如图，在四边形 ABCD 中，AM、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB，AM 与 CM 交 于 M，探究∠AMC 与∠B、∠D 间的数量关系．
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∴ AMC BAD BCD ADC ，∴ AMC 360 B ADC ADC （四边形
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内角和 360°），∴ AMC 360 B ADC ，∴2∠AMC＋∠B－∠ADC＝360°.
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练习：
1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=
.
【答案】230°
提示：∠C+∠E+∠D=∠EOC=115º.（飞镖模型），∠A+∠B+∠F=∠BOF=115º.
模型 3 边的“8”字模型
5
Wang
如图所示，AC、BD 相交于点 O，连接 AD、BC．结论 AC+BD>AD+BC．
模型分析 ∵OA+OD>AD①， OB+OC>BC②， 由①+②得： OA+OD+OB+OC>BC+AD 即：AC+BD>AD+BC.
模型实例 如图，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O。
∵∠AOP 是△OPQ 的外角，∴∠1＋∠3＝∠AOP．∴∠A＋∠B＝∠1＋∠3．①
（角的 8 字模型），同理可证：∠C＋∠D＝∠1＋∠2．② ，∠E＋∠F＝∠2
＋∠3．③
由①＋②＋③得：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝2（∠1＋∠2＋∠3）＝
360°．
解法二：利用角的 8 字模型．如图⑥，连接 DE．∵∠AOE 是△AOB 的外角，
；
解：如图，∵∠1=∠B+∠D，∠2=∠C+∠CAD，
∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°． 故答案为：180° 解法二：
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Wang
（2）如图②，求：∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E＝
．
解：由三角形的外角性质，知∠BAC=∠E+∠ACE，∠EAD=∠B+∠D， 又∵∠BAC+∠CAD+∠EAD=180°，∴∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E