旋涡理论
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J
d
n
d
为任意面积σ上的旋涡强度
如果面积σ是涡管的某一横截面积，为涡管强度
5．速度环量: 速度向量的切向分量沿某一封闭周线的线积分。
AB
C v ds
C
v ds
AB
AB
vs ds
v
x
dx v y dy vzdz
电磁场
磁场强度 H 磁场势 V 电流面密度δ
H 0 H V
方程
v 0 v
流场
流体速度 v 速度势 φ 涡量 Ω
V 0
2
0
2
H δ
i
v Ω
n ds
电流强度 i
H d l δ
l S l S
速度环量 Γ
5-5、漩涡诱导速度场的一般提法
1 v z v y x y z 2 1 v v z y x 2 z x 1 v y v x z x y 2
x x
y y
z z
0
a x x
a y y
a z z
0
1 a z a y v x y z 2 1 a x a z vy 2 z x 1 a y a x vz x y 2
对于有旋场: 由公式
AB
AB Βιβλιοθήκη ds VABx
dx V y dy 计算z dz V
2. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量
对于无旋场:
c
V
c c
x
dx V y dy V z dz
x
dx
y
dy
z
dz
c
d 0
5-6、二维旋涡的速度和压强分布 如图5-17所示，涡束内的流动为有旋流动，称为涡核 区；涡束外的流动区域为无旋流动，称为环流区。
一、速度分布
1）旋涡内部：
涡束内部的速度分布为:
vr 0,
v r
(r R )
（5-27）
2）旋涡外部： 在环流区内，速度分布为:
vr 0, v 2 r R
泊松方程
2 2 2ax ax ax 4 x 2 2 2 x y z 2 2 2 ay ay ay 4 x 2 2 2 y z x 2 2 2 az az az 4 x 2 2 2 x y z
2
n
d
结论：
涡管不能在流体中以尖端形式终止或开始，
否则ｄσ→０时有ω→∞。 涡管存在的形式：要么终止于流体边界或固 体边界，要么自行封闭形成涡环。 不可能 的情况
由该定理得到： 涡管（涡线）本身首尾相接，形成一封闭的涡环或涡圈； 涡管（涡线）两端可以终止于所研究流体的边壁上（固体 壁面或自由面）。
对于有旋场:
c
V
c
s
d s 2 n d
此式称为斯托克斯定理
斯托克斯（Stokes）定理:在涡量场中，沿任意封闭周线的速度 环量等于通过该周线所包围曲面面积的旋涡强度的两倍，即:
C 2 J
C
v s ds 2 n d
速度环量与旋 转角速度关系
（2）亥姆霍兹第二定理（涡管保持定理） 流场中的涡管始终由相同的流体质点组成。
K
涡管上的封闭轴线 （3）亥姆霍兹第三定理（涡管强度时间守恒定理） 任一涡管强度不随时间变化。 综上所述， Thomson 、Lagrange及Helmholtz定理全面 地描述了理想正压流体在有势场中运动时涡量演化的规律： 若流体理想、正压、质量力有势，无旋运动永远无旋，有 旋运动永远有旋；涡线、涡面、涡管及涡管强度具有保持 性。若不满足Kelvin任一条件，则运动过程中会产生新的 旋涡，无旋变成有旋；不具备保持性。
C L
(与积分路径方向一致时)
例5.2 已知速度分布，求涡线方程。
ω=const
例5.3 已知漩涡强度, 求速度环量。 方法（详见p141）： 斯托克斯定理，式（5-1-11）。
例5.4 已知速度向量，求绕圆心的速度环量。
方法（详见p142）： 由速度环量定义，式（5-1-9），直接积分求得。 注：最后公式中R平方无必要，但结果正确。
V 180 ）： 4 R 2 R
半无限长直涡线( 1 90 ， 2
无限长直涡线( 1 = 0 ， 2=
R
M
180 ） ： V
v
平面点涡诱导速度场： v 0， v r
2 r
诱导速度场除点 r = 0 外处处无旋v=0。尽管涡线本身是 有旋的，它诱导的速度场是无旋的。第三章已证明。 平面点涡诱导速度场的速度势和流函数：
翼、螺旋桨理论等。旋涡与船体的阻力、振动、
噪声等问题密切相关。
旋涡的产生：
与压力差、质量力和粘性力等 因素有关。
流体流过固体壁面时，除壁面附近粘性影响严 重的一薄层外，其余区域的流动可视为理想流体 的无旋运动。
旋涡运动基本概念
流场
流速v
涡场
涡量 Ω
流量Q
流线 流线方程 流管 流束 元流
涡通量J
涡线 涡线方程 涡管 涡束 涡丝
亥姆霍兹（Helmholtz）定理 （1）亥姆霍兹第一定理：
——涡管强度空间守恒
在同一瞬间涡管各截面上 的旋涡强度都相同
由斯托克斯定理
a b d b a e a 2 n d
因为内ωｎ＝０所以
由斯托克斯定理上式写成:
0
1
n
d
第五章、旋涡理论
本章讨论内容： 1.漩涡场的基本概念（涡线，涡管，漩涡强 度速度环量） 2.司托克斯定理
3.汤姆逊定理
4.海姆霍兹定理
5.毕奥－沙伐尔定理
6.漩涡诱导速度的一般提法
7.兰金组合涡
圆柱绕流尾流场中的旋涡
圆球绕流尾流场中的旋涡
有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡
弯曲槽道内的二次流
旋涡运动理论广泛地应用于工程实际: 机
r ,
r ,
v
r
d r v rd
2
2
ln r
v dr v r rd
例5.1 如图5-16（p99-100）所示。求两种情况下，两点的运动 （位移规律）。
方法：由（5-22）式求出两点的速度，在积分即得。 （a）积分常数由初始条件(t=0)确定。 （b）由于两点速度相反，故为绕原点的圆周运动。
C
v s ds
规定沿曲线逆时针绕行的方向为正方向， 沿曲线顺时针绕行的方向为负方向
速度环量的计算
1) 已知速度场，求沿一条开曲线的速度环量
对于无旋流场:
AB
V
AB B A
x
dx V y dy Vz dz
AB
x
dx
y
dy
z
dz
d B A
某一瞬时，在漩涡场中任取一封闭曲线(不是涡线)， 通过曲线上每一点作涡线，这些涡线形成封闭的管 形曲面，截面无限小的涡管称为微元涡管。 3. 涡束： 涡管中充满着的作旋转运动的流体，微元涡管中 的涡束称为涡索或涡丝。
4．旋涡强度（涡通量）--通过任一开口曲面的涡量总和的一半 dJ n d 为任意微元面积dσ上的旋涡强度（涡通量）
C L 2 n d
双连通区域的斯托克斯定理
推论一 单连通区域内的无旋运动，流体 中的旋度处处为零，则沿任意封 闭周线的速度环量为零，即：
C 2 n d 2 0 d 0
反之，若沿任意封闭周线的速度环量等于零，可得处处为 零的结论。 但沿某闭周线的速度环量为零，并不一定无旋（可能包围强 度相同转向相反的旋涡）。 推论二 对于包含一个翼截面在内的双连通区域，如果流动是无旋的， 则沿任何两个包含翼截面在内的封闭周线的环量彼此相等，即：
5-6、二维旋涡的速度和压强分布
设流场中有一半径为Ｒ的无限长圆柱形流体象刚体一样
绕其轴线转动，角速度为ω。
例3.4-5已证明，圆柱内的流体运动有旋，且旋涡角速度就 是ω。 由于直线涡束无限长，这样的旋涡以及它的诱导速度场可作为 平面涡处理。由于旋涡诱导的速度场是无旋的，在讨论整个流 场的速度和压力分布时，亦须将旋涡内部和外部分开。
vR
在涡束边缘上，流速达该区的最高值，而压强则是该区的最低值. 2）旋涡外部—定常但有旋，伯努力方程中的常数沿径向变化 由于涡束内部为有旋流动，伯努利积分常数随流线变化，故 其压强分布可由欧拉运动微分方程导出。对于平面定常流动，欧 v x v x 1 p 拉运动微分方程为:
vx x v y x vy y v y y
旋转角速度
1 2
v 0
用来描述流体微团的旋转运动。
涡量
2 V
1．涡线: 涡线是在给定瞬时和旋转角速度矢量相切的曲线。
涡线的微分方程
2．涡管：
dx
x ( x, y, z, t )
dy
y ( x, y, z, t )
dz
z ( x, y, z, t )
2
v
s
直涡丝ＭＮ
dv
ds sin 4 r
2
直涡丝ＭＮ
诱导速度方向指向纸外。 直线涡丝段对P点所产生的诱导速度为：
v
4 R
2
1
sin d
4 R
cos
1 cos 2
v
4 R
co s 1 co s 2
2
(r R )
r
（5-28）
二、压力分布 1）旋涡外部—定常且无旋可用拉格朗日积分
p p0
v
2
2
p0
Γ
2
2 2
8 r
上式表明，越靠近中心，速度越大，压力越小。在旋涡的边界上 ，相应压力为： 1 2
r R, v v R 2 R R
pR p0 2
推广到有限大平面
给出了通过速度环量计算旋涡强度的方法
3、复连通区域的修正
A B B ' A ' E A 2 n d
ABDB ' A ' EA AB C B A L
ΓＣ：沿外边界逆时针的环量
ΓL ：沿内边界顺时针的环量
A B B A
旋涡运动基本定理
适用条件为： 1. 理想流体 2. 正压流体 ( p ) 3. 在有势质量力作用下
d dt
Thomson定理（Kelvin定理） ——旋涡强度的保持性定理 定理：沿封闭流体线的速度环量不随时间变化
0
旋涡运动基本定理
Lagrange 定理 - 涡量保持性（不生不灭）定理 定理：若某一时刻流场无旋，则以后的流动始终无旋。
1 ax 1 ay 1 az
x y z
d r d r d r
• 通过上式由漩涡场先求出辅助矢量 a ，再求出速度场。
4.5.4 Biot—Savart定理 — 涡线的诱导速度
水电比拟: 物理现象不同，但满足相同的数学方程，其数学解相同。 电流诱导磁场强度 — 旋涡诱导流体速度。
Thomson定理和Lagrange 定理适用条件为： 1. 理想流体 2. 正压流体 ( p ) 3. 在有势质量力作用下
旋涡起因： (1) 粘性：均匀流体经过物体边界层时运动变为有旋； (2) 非正压流场：大气和海洋中的密度分层形成旋涡； (3) 非有势力场：地球哥氏力使气流生成旋涡（旋风）； (4) 流场的间断（非连续）：曲面激波后形成有旋流动。
v d l Ω n ds
Biot-Savart 定理：
电流诱导磁场强度 旋涡诱导流体速度
dH i d s sin r
2
S
i Γ
ds
r
P
dv
dH
dv
d s sin 4 r
2
如要研究空间有限长涡丝在P点的诱导速度，则将上式积分得：
4 sin d s r
d
n
d
为任意面积σ上的旋涡强度
如果面积σ是涡管的某一横截面积，为涡管强度
5．速度环量: 速度向量的切向分量沿某一封闭周线的线积分。
AB
C v ds
C
v ds
AB
AB
vs ds
v
x
dx v y dy vzdz
电磁场
磁场强度 H 磁场势 V 电流面密度δ
H 0 H V
方程
v 0 v
流场
流体速度 v 速度势 φ 涡量 Ω
V 0
2
0
2
H δ
i
v Ω
n ds
电流强度 i
H d l δ
l S l S
速度环量 Γ
5-5、漩涡诱导速度场的一般提法
1 v z v y x y z 2 1 v v z y x 2 z x 1 v y v x z x y 2
x x
y y
z z
0
a x x
a y y
a z z
0
1 a z a y v x y z 2 1 a x a z vy 2 z x 1 a y a x vz x y 2
对于有旋场: 由公式
AB
AB Βιβλιοθήκη ds VABx
dx V y dy 计算z dz V
2. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量
对于无旋场:
c
V
c c
x
dx V y dy V z dz
x
dx
y
dy
z
dz
c
d 0
5-6、二维旋涡的速度和压强分布 如图5-17所示，涡束内的流动为有旋流动，称为涡核 区；涡束外的流动区域为无旋流动，称为环流区。
一、速度分布
1）旋涡内部：
涡束内部的速度分布为:
vr 0,
v r
(r R )
（5-27）
2）旋涡外部： 在环流区内，速度分布为:
vr 0, v 2 r R
泊松方程
2 2 2ax ax ax 4 x 2 2 2 x y z 2 2 2 ay ay ay 4 x 2 2 2 y z x 2 2 2 az az az 4 x 2 2 2 x y z
2
n
d
结论：
涡管不能在流体中以尖端形式终止或开始，
否则ｄσ→０时有ω→∞。 涡管存在的形式：要么终止于流体边界或固 体边界，要么自行封闭形成涡环。 不可能 的情况
由该定理得到： 涡管（涡线）本身首尾相接，形成一封闭的涡环或涡圈； 涡管（涡线）两端可以终止于所研究流体的边壁上（固体 壁面或自由面）。
对于有旋场:
c
V
c
s
d s 2 n d
此式称为斯托克斯定理
斯托克斯（Stokes）定理:在涡量场中，沿任意封闭周线的速度 环量等于通过该周线所包围曲面面积的旋涡强度的两倍，即:
C 2 J
C
v s ds 2 n d
速度环量与旋 转角速度关系
（2）亥姆霍兹第二定理（涡管保持定理） 流场中的涡管始终由相同的流体质点组成。
K
涡管上的封闭轴线 （3）亥姆霍兹第三定理（涡管强度时间守恒定理） 任一涡管强度不随时间变化。 综上所述， Thomson 、Lagrange及Helmholtz定理全面 地描述了理想正压流体在有势场中运动时涡量演化的规律： 若流体理想、正压、质量力有势，无旋运动永远无旋，有 旋运动永远有旋；涡线、涡面、涡管及涡管强度具有保持 性。若不满足Kelvin任一条件，则运动过程中会产生新的 旋涡，无旋变成有旋；不具备保持性。
C L
(与积分路径方向一致时)
例5.2 已知速度分布，求涡线方程。
ω=const
例5.3 已知漩涡强度, 求速度环量。 方法（详见p141）： 斯托克斯定理，式（5-1-11）。
例5.4 已知速度向量，求绕圆心的速度环量。
方法（详见p142）： 由速度环量定义，式（5-1-9），直接积分求得。 注：最后公式中R平方无必要，但结果正确。
V 180 ）： 4 R 2 R
半无限长直涡线( 1 90 ， 2
无限长直涡线( 1 = 0 ， 2=
R
M
180 ） ： V
v
平面点涡诱导速度场： v 0， v r
2 r
诱导速度场除点 r = 0 外处处无旋v=0。尽管涡线本身是 有旋的，它诱导的速度场是无旋的。第三章已证明。 平面点涡诱导速度场的速度势和流函数：
翼、螺旋桨理论等。旋涡与船体的阻力、振动、
噪声等问题密切相关。
旋涡的产生：
与压力差、质量力和粘性力等 因素有关。
流体流过固体壁面时，除壁面附近粘性影响严 重的一薄层外，其余区域的流动可视为理想流体 的无旋运动。
旋涡运动基本概念
流场
流速v
涡场
涡量 Ω
流量Q
流线 流线方程 流管 流束 元流
涡通量J
涡线 涡线方程 涡管 涡束 涡丝
亥姆霍兹（Helmholtz）定理 （1）亥姆霍兹第一定理：
——涡管强度空间守恒
在同一瞬间涡管各截面上 的旋涡强度都相同
由斯托克斯定理
a b d b a e a 2 n d
因为内ωｎ＝０所以
由斯托克斯定理上式写成:
0
1
n
d
第五章、旋涡理论
本章讨论内容： 1.漩涡场的基本概念（涡线，涡管，漩涡强 度速度环量） 2.司托克斯定理
3.汤姆逊定理
4.海姆霍兹定理
5.毕奥－沙伐尔定理
6.漩涡诱导速度的一般提法
7.兰金组合涡
圆柱绕流尾流场中的旋涡
圆球绕流尾流场中的旋涡
有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡
弯曲槽道内的二次流
旋涡运动理论广泛地应用于工程实际: 机
r ,
r ,
v
r
d r v rd
2
2
ln r
v dr v r rd
例5.1 如图5-16（p99-100）所示。求两种情况下，两点的运动 （位移规律）。
方法：由（5-22）式求出两点的速度，在积分即得。 （a）积分常数由初始条件(t=0)确定。 （b）由于两点速度相反，故为绕原点的圆周运动。
C
v s ds
规定沿曲线逆时针绕行的方向为正方向， 沿曲线顺时针绕行的方向为负方向
速度环量的计算
1) 已知速度场，求沿一条开曲线的速度环量
对于无旋流场:
AB
V
AB B A
x
dx V y dy Vz dz
AB
x
dx
y
dy
z
dz
d B A
某一瞬时，在漩涡场中任取一封闭曲线(不是涡线)， 通过曲线上每一点作涡线，这些涡线形成封闭的管 形曲面，截面无限小的涡管称为微元涡管。 3. 涡束： 涡管中充满着的作旋转运动的流体，微元涡管中 的涡束称为涡索或涡丝。
4．旋涡强度（涡通量）--通过任一开口曲面的涡量总和的一半 dJ n d 为任意微元面积dσ上的旋涡强度（涡通量）
C L 2 n d
双连通区域的斯托克斯定理
推论一 单连通区域内的无旋运动，流体 中的旋度处处为零，则沿任意封 闭周线的速度环量为零，即：
C 2 n d 2 0 d 0
反之，若沿任意封闭周线的速度环量等于零，可得处处为 零的结论。 但沿某闭周线的速度环量为零，并不一定无旋（可能包围强 度相同转向相反的旋涡）。 推论二 对于包含一个翼截面在内的双连通区域，如果流动是无旋的， 则沿任何两个包含翼截面在内的封闭周线的环量彼此相等，即：
5-6、二维旋涡的速度和压强分布
设流场中有一半径为Ｒ的无限长圆柱形流体象刚体一样
绕其轴线转动，角速度为ω。
例3.4-5已证明，圆柱内的流体运动有旋，且旋涡角速度就 是ω。 由于直线涡束无限长，这样的旋涡以及它的诱导速度场可作为 平面涡处理。由于旋涡诱导的速度场是无旋的，在讨论整个流 场的速度和压力分布时，亦须将旋涡内部和外部分开。
vR
在涡束边缘上，流速达该区的最高值，而压强则是该区的最低值. 2）旋涡外部—定常但有旋，伯努力方程中的常数沿径向变化 由于涡束内部为有旋流动，伯努利积分常数随流线变化，故 其压强分布可由欧拉运动微分方程导出。对于平面定常流动，欧 v x v x 1 p 拉运动微分方程为:
vx x v y x vy y v y y
旋转角速度
1 2
v 0
用来描述流体微团的旋转运动。
涡量
2 V
1．涡线: 涡线是在给定瞬时和旋转角速度矢量相切的曲线。
涡线的微分方程
2．涡管：
dx
x ( x, y, z, t )
dy
y ( x, y, z, t )
dz
z ( x, y, z, t )
2
v
s
直涡丝ＭＮ
dv
ds sin 4 r
2
直涡丝ＭＮ
诱导速度方向指向纸外。 直线涡丝段对P点所产生的诱导速度为：
v
4 R
2
1
sin d
4 R
cos
1 cos 2
v
4 R
co s 1 co s 2
2
(r R )
r
（5-28）
二、压力分布 1）旋涡外部—定常且无旋可用拉格朗日积分
p p0
v
2
2
p0
Γ
2
2 2
8 r
上式表明，越靠近中心，速度越大，压力越小。在旋涡的边界上 ，相应压力为： 1 2
r R, v v R 2 R R
pR p0 2
推广到有限大平面
给出了通过速度环量计算旋涡强度的方法
3、复连通区域的修正
A B B ' A ' E A 2 n d
ABDB ' A ' EA AB C B A L
ΓＣ：沿外边界逆时针的环量
ΓL ：沿内边界顺时针的环量
A B B A
旋涡运动基本定理
适用条件为： 1. 理想流体 2. 正压流体 ( p ) 3. 在有势质量力作用下
d dt
Thomson定理（Kelvin定理） ——旋涡强度的保持性定理 定理：沿封闭流体线的速度环量不随时间变化
0
旋涡运动基本定理
Lagrange 定理 - 涡量保持性（不生不灭）定理 定理：若某一时刻流场无旋，则以后的流动始终无旋。
1 ax 1 ay 1 az
x y z
d r d r d r
• 通过上式由漩涡场先求出辅助矢量 a ，再求出速度场。
4.5.4 Biot—Savart定理 — 涡线的诱导速度
水电比拟: 物理现象不同，但满足相同的数学方程，其数学解相同。 电流诱导磁场强度 — 旋涡诱导流体速度。
Thomson定理和Lagrange 定理适用条件为： 1. 理想流体 2. 正压流体 ( p ) 3. 在有势质量力作用下
旋涡起因： (1) 粘性：均匀流体经过物体边界层时运动变为有旋； (2) 非正压流场：大气和海洋中的密度分层形成旋涡； (3) 非有势力场：地球哥氏力使气流生成旋涡（旋风）； (4) 流场的间断（非连续）：曲面激波后形成有旋流动。
v d l Ω n ds
Biot-Savart 定理：
电流诱导磁场强度 旋涡诱导流体速度
dH i d s sin r
2
S
i Γ
ds
r
P
dv
dH
dv
d s sin 4 r
2
如要研究空间有限长涡丝在P点的诱导速度，则将上式积分得：
4 sin d s r