概率论与数理统计课程设计

概率论与数理统计课程设计

姓名：赵勇

学号：1123310123

班级：1233101

关于正态分布的几点讨论

经过一个学期的学习，我对概率论有了更为深刻地理解，高中阶段的概率只是简单的古典概型和几何概型，而这个学期，我们对概率论有了进一步的认识，接触了泊松分布、贝努力分布、超几何分布、正态分布等等。纵观全书，我感觉到正态分布在概率论这门课程中有很高的地位，而且正态分布在我们的日常生活中也有着非常广泛的应用，进而我也对正态分布产生了浓厚的兴趣。所以在课程设计中，我想讨论一下正态分布的有关问题。

一、正太分布的由来、发展及重要性

正态分布是最重要的一种概率分布。正态分布概念是由德国的数学家和天文学家德莫佛于1733年首次提出的，但由于德国数学家高斯率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布。

在随机变量的各种分布中，正态分布占有特殊重要的地位，在高斯以后，人们又发现在实际问题中，许多随机变量都近似服从正态分布。20世纪前半期，概率论研究的中心课题之一就是寻求独立随机变量和的极限分布式正态分布的条件。因此，把这一方面的定理统称为中心极限定理。较一般的中心极限定理表明：若被研究的随机变量是大量独立随机变量的和，其中每一个随机变量对于总和只起微小作用，则可以认为这个随机变量近似于正态分布。这就揭示了正太分布的重要性。因为现实中许多随机变量都具有上述性质，例如测量误差、射击弹着点的横坐标、人的身高等都是由大量随机因素综合影响的结果，因而是近似服从正态分布的。

分布，t分数理统计中有常用的三大分布占有极重要的地位，分别是2

布和F分布，这三大分布都与正态分布有着密切的关系，由此更能看出正态分布的重要性。

二、正态分布的含义

正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是

服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N (μ，σ2)。

服从正态分布的随机变量的概率规律为：取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大分布越分散。

正态分布的概率密度函数为()e x x f σμσπ22221）（--

=，x ∈）（+∞∞,-，并称X 服

从参数为μ，σ的正态分布X ~ N (μ，σ2)特别的，当μ=0，σ2=1时，()e x x 22

21

-=πϕ，x ∈）（+∞∞,-此时的正态分布称为标准正态分布，它是一种特殊的正态分布。标准正态分布的计算可以查表得到，如果是一般的正态分布可以化成标准正态分布来计算。对于X ~N (μ，σ2)，Y=σμ

-X ~N (0，1)。利用这个关系式，可实现标

准正态分布与非标准正态分布概率的互换。

三、正态分布的特点

（1）正态曲线在横线上方均值处最高。

（2）正态分布均值对应的直线为对称轴，左右对称。

（3）正态分布有两个参数，既均数μ和标准差σ。μ是位置参数，决定曲线的

中心位置，当σ固定不变时，μ越大曲线沿横轴向右移动；μ越小，曲线沿横轴越向左移动。σ是形状参数，决定曲线的高矮胖瘦，当μ固定不变时，σ越大，曲线越平阔（即矮而胖）；σ越小，曲线越尖峭（即高而瘦）。通常用N (μ，σ2)表示均数为μ、方差为σ2的正态分布，用N (0，12)表示均数为0、方差为1的标准正态分布。从下图可以看，正态分布是一种“中间大，两头小”的分布。

（4）正态曲线在μ±σ2处各有一个拐点。

（5）图形的渐近线：x 轴是它的水平渐近线(如下图所示)

四、正态分布在生活中的应用

由上文中正态分布与中心极限定理的关系知道，正态分布有着极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。比如说，在生产条件不变的情况下，产品的抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；某个地区的年降水量等等。一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布。

从理论上看，正态分布具有很多良好的性质，许多概率分布可以用它来近似。正因其良好的性质，正态分布有着广泛的应用，主要应用有以下几个：

1.估计频数分布

一个服从正态分布的变量只要知道其均数与标准差就可根据公式即可估计任意取值范围内频数比例。

2.质量控制

为了控制实验中的测量（或实验）误差，常以作为上、下警戒质量作为上、下控制值。其依据当然就是在正常情况下测量（或实验）误差服从正态分布。3.统计方法的理论基础。

检验、方差分析、相关性和回归分析等多种统计方法均要求分析的指标服从正态分布。许多统计方法虽然不要求分析指标服从正态分布，但相应的统计量在大样本时近似正态分布，因而大样本时这些统计推断方法也是以正态分布为理论基础的。

4.制定某些医学参考值范围

有些医学现象，如同质群体的身高、红细胞数、血红蛋白量，以及实验中的

随机误差，呈现为正态或近似正态分布；有些指标（变量）虽可能不服从正态分布，但经数据转换后的新变量又有可能服从正态或近似正态分布，可按正态分布规律处理。其中经对数转换后服从正态分布的指标，被称为服从对数正态分布。

医学参考值范围亦称医学正常值范围。它是指所谓“正常人”的解剖、生理、生化等指标的波动范围。制定正常值范围时，首先要确定一批样本含量足够大的“正常人”，所谓“正常人”不是指“健康人”，而是指排除了影响所研究指标的疾病和有关因素的同质人群；其次需根据研究目的和使用要求选定适当的百分界值，如80%，90%，95%和99%，常用95%；根据指标的实际用途确定单侧或双侧界值，如白细胞计数过高过低皆属不正常须确定双侧界值，又如肝功中转氨酶过高属不正常须确定单侧上界，肺活量过低属不正常须确定单侧下界。

5.有关分布的理论基础

分布，t分布和F分布都上文中就提到了与正态分布有关的分布，例如2

是在正态分布的基础上推导出来的，u检验也是以正态分布为基础的。此外，t 分布、二项分布等分布的极限也是正态分布，在一定条件下，可以按正态分布原理来处理。

6.正态分布在自动控制、优化设计、包装或加工零件的精度以及在质量管理和控制等方面也有着广泛的应用。正态分布的均值就是自动控制的设定值，方差就是自动控制的精度；方差越小，精度越高，系统的性能越好。

通过用正态分布来近似我们可以简化很多问题。如零件规格的设计是根据最优化的思想设定加工零件的内径；当新的包装机的精度大大提高的情况下应该购买新包装机；用合理的方法确定可获得超产奖的产量，使得超产奖的奖额能在预定的计划内；此外，教育统计学统计规律表明，学生的智力水平，包括学习能力，实际动手能力等呈正态分布。因而正常的考试成绩分布应基本服从正态分布。考试分析要求绘制出学生成绩分布的直方图，以“中间高、两头低”来衡量成绩符合正态分布的程度。其评价标准认为：考生成绩分布情况直方图，基本呈正态曲线状，属于好，如果略呈正（负）态状，属于中等，如果呈严重偏态或无规律，就是差的。

所以说，正态分布是一种应用极为广泛的分布，而且对人们的生产生活有着