三次函数专题1---讲义+习题
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f '(x1) f '(x2 )
（Ⅲ）若过点（0,2）可作曲线 y （f x）的三条不同切线，求 a 的取值范围。
7
例 3、已知函数 f (x) 1 x3 ax2 bx ,且 f '(1) 0 3
(1) 试用含 a 的代数式表示 b,并求 f (x) 的单调区间；
（2）令 a 1 ,设函数 f (x) 在 x1, x2 (x1 x2 ) 处取得极值，记点 M ( x1 , f (x1) )，N( x2 , f (x2 ) )，P( m, f (m) ),
。
4、已知函数 f x ax3 bx2 3x 在 x 1处取得极值。
（Ⅰ）求函数 f(x)的解析式；
（Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值 x1 , x2 ，都有 f x1 f x2 4 ；
（Ⅲ）若过点 A（1，M）（M≠－2）可作曲线 y=f(x)的三条切线，求实数 M 的取值范围.
为函数的极大值点，(x2 , f (x2 )) 为极小值点，且函数 y f (x) 在 (, x1) 和 (x2 ,) 上单调递增，在 x1, x2 上
单调递减。
1
此时：
①若 f (x1) f (x2 ) 0 ，即函数 y f (x) 极大值点和极小值点在 x 轴同侧，图象均与 x 轴只有一个交点，所以
(1) 试用含 a 的代数式表示 b,并求 f (x) 的单调区间； （2）令 a 1 ,设函数 f (x) 在 x1, x2 (x1 x2 ) 处取得极值，记点 M ( x1 , f (x1) )，N( x2 , f (x2 ) )，P( m, f (m) ), x1 m x2 ,请仔细观察曲线 f (x) 在点 P 处的切线与线段 MP 的位置变化趋势，并解释以下问题： （I）若对任意的 M ( x1 , x 2 )，线段 MP 与曲线 f(x)均有异于 M,P 的公共点，试确定 t 的最小值，并证明你的结
2、对称中心。
三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d(a 0) 是关于点对称，且对称中心为点 ( b , f ( b )) ，此点的横坐 3a 3a
标是其导函数极值点的横坐标。
证明：设函数 f (x) ax3 bx2 cx d(a 0) 的对称中心为（m，n）
2t3
3t 2
1
0
2t 3
2t 2
t2
1
t
12
2t
1
0
，所以切点为
1 2
,
3 8
，则切线方程为
x
4y
1
0
。
小结：求切线方程步骤，先判断点是否在曲线上，如不在曲线上，则参照第二小步设切点坐标，若在曲线上，讨
论已知点是否为切点，若为切点，由导数可直接求得斜率。
象相切。
（1）
若 x0
b , 则过点 P 恰有一条切线； 3a
（2）
若 x0
b 3a
,
且
g
(
x0
)
g
(
b 3a
)
0 ，则过点 P 恰有一条切线；
（3）
若 x0
b 3a
,
且
g
(
x0
)
g
(
b 3a
)
=0，则过点
P
有两条不同的切线；
（4）若
x0
b 3a
,且
g
(
x0
)gຫໍສະໝຸດ (b 3a2 0 0 7 0 3 2 9
6
题型一、三次函数的切线问题
参考答案
例 1、已知函数 y x3 x ，求过点 A1, 0 的切线方程。
解： f x 3x2 1，
若 A 是切点，则切线方程为 y 0 2 x 1 y 2x 2
若 A 不 是 切 点 ， 设 切 点 为 t , t3 t ， 则 切 线 方 程 为 y t3 t 3t2 1x t ， 将 A1 , 0 代 入 得
原方程有且只有一个实根。
②若 f (x1) f (x2 ) 0 ，即函数 y f (x) 极大值点与极小值点在 x 轴异侧，图象与 x 轴必有三个交点，所以原
方程有三个不等实根。
③若 f (x1) f (x2 ) 0 ，即 f (x1) 与 f (x2 ) 中有且只有一个值为 0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。
2、已知函数 f (x) 满足 f (x) x3 f ' 2 x2 x C ． 3
（1）求函数 f (x) 的单调区间； （2）若方程 f (x) 0 有且只有两个不等的实数根，求常数 C ； （3）在（2）的条件下，若 f 1 0 ，求函数 f (x) 的图象与 x 轴围成的封闭图形的面积．
2
二、例题
题型一、三次函数的切线问题
1、已知函数 y x3 x ，求过点 A1, 0 的切线方程。
2、（2010 湖北文数）设函数 （f x）= 1 x3 a x2 bx c ，其中 a＞0，曲线 y （f x）在点 P（0， （f 0））处的 32
切线方程为 y=1 （Ⅰ）确定 b、c 的值。
论；
（II）若存在点 Q(N ,f(N)), x N< M,使得线段 PQ 与曲线 f(x)有异于 P、Q 的公共点，请直接写出 M 的取值范围
（不必给出求解过程）
3
题型二、三次函数的一般性质
1、（全国Ⅱ卷文 21）已知函数 f x x3 3ax2 3x 1。
（Ⅰ）设 a=2，求 f（x）的单调期区间； （Ⅱ）设 f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求 a 的取值范围。
当 x 变化时， f '(x) 与 f (x) 的变化情况如下表：
8
x
(,1 2a) (1 2a, 1) (1, )
f '(x)
+
－
+
f (x)
单调递增
单调递减
单调递增
由此得，函数 f (x) 的单调增区间为 (,1 2a) 和 (1, ) ，单调减区间为 (1 2a, 1) 。
2、三次函数图象与性质的探究： 1、单调性。
一般地，当 b2 3ac 0 时，三次函数 y ax3 bx2 cx d(a 0) 在 R 上是单调函数；当 b2 3ac 0
时，三次函数 y ax3 bx2 cx d(a 0) 在 R 上有三个单调区间。
例 2、（2010 湖北文数）设函数 （f x）= 1 x3 a x2 bx c ，其中 a＞0，曲线 y （f x）在点 P（0， （f 0）） 32
处的切线方程为 y=1 （Ⅰ）确定 b、c 的值。
（Ⅱ）设曲线 y （f x）在点（ x1，（f x1））及（ x2，（f x2））处的切线都过点（0,2）证明：当 x1 x2 时，
4、极值点问题。
当 0 时，三次函数 y f x 在 , 上的极值点有两个。
当 0 时，三次函数 y f x 在 , 上不存在极值点。
5、过平面上一般点三次函数的切线问题。
设点 P(x0 , y0 ) 为三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d(a 0) 图象外，则过点 P 一定有直线与 y f (x) 图
（Ⅱ）设曲线 y （f x）在点（ x1，（f x1））及（ x2，（f x2））处的切线都过点（0,2）证明：当 x1 x2 时， f '(x1) f '(x2 ) （Ⅲ）若过点（0,2）可作曲线 y （f x）的三条不同切线，求 a 的取值范围。
3、已知函数 f (x) 1 x3 ax2 bx ,且 f '(1) 0 3
x1 m x2 ,请仔细观察曲线 f (x) 在点 P 处的切线与线段 MP 的位置变化趋势，并解释以下问题：
（I）若对任意的 M ( x1 , x 2 )，线段 MP 与曲线 f(x)均有异于 M,P 的公共点，试确定 t 的最小值，并证明你的结
论；
（II）若存在点 Q(N ,f(N)), x N< M,使得线段 PQ 与曲线 f(x)有异于 P、Q 的公共点，请直接写出 M 的取值范围
5
5、已知在函数 f (x) mx3 x 的图象上以 N（1，N）为切点的切线的倾斜角为 , 4
（1）求 M、N 的值； （2）是否存在最小的正整数 k，使不等式 f (x) k 1992 对于 x [1,3] 恒成立？求出最小的正整数 k，若
不存在说明理由；
（3）求证：| f (sin x) f (cos x) | 2 f (t 1 )(x R,t 0). 2t
三次函数
一、知识点
1、定义：
定义 1、形如 y ax3 bx2 cx d(a 0) 的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。
定义 2、三次函数的导数 y 3ax2 2bx c(a 0) ，把 4b2 12ac 叫做三次函数导函数的判别式。
)
0 ，则过点 P
有三条不同的切线。
切线条数分布：
（1）“上下”区域，1 条切线；
（2）“左右”区域，3 条切线；
（3）曲线和中心切线，2 条切线；
6、最值问题。
函数 f (x) ax3 bx2 cx d(a 0), x [m, n] 若 x0 [m, n] ，且 f '(x0) 0 ， 则： f (x)max max{ f (m), f (x0), f (n)} ； f (x)min min{ f (m), f (x0), f (n)} 。
（不必给出求解过程） 解法一: (Ⅰ)依题意,得 f '(x) x2 2ax b
由 f '(1) 1 2a b 0得b 2a 1. 从而 f (x) 1 x3 ax2 (2a 1)x,故f '(x) (x 1)(x 2a 1).
3 令 f '(x) 0,得x 1或x 1 2a. ①当 a>1 时, 1 2a 1
3
题型三、三次函数对称中心
1、设函数 f x x x 1 x a a 1 （1）求 f x 并证明 f x 有两个不同的极值点； （2）若不等式 f x1 f x2 0 成立，求 a 范围。
4
三、练习题
1、已知函数 f (x) 1 x3 x2 x 的图象 C 上存在一定点 P 满足：若过点 P 的直线 l 与曲线 C 交于不同于 P 的两 3
点 M (x1, y1), N(x2, y2 ) ，且恒有 y1 y2 为定值 y0 ，则 y0 的值为（
）
A. 1 3
B. 2 3
C. 4 3
D. 2
2、已知曲线 C： f (x) x3 x 2 ，则经过点 P(1, 2) 的曲线 C 的切线方程是
3、已知曲线 C： f (x) x3 3x2 2x a 的一条切线方程为 y 2x ，则实数 a 的值等于
按向量
a
(m,n)
将函数的图象平移，则所得函数
y
f
(x m) n 是奇函数，所以
f (x m) f (x m) 2n 0 化简得： (3ma b)x2 am3 bm2 cm d n 0
上式对 x R 恒成立，故 3ma b 0 ，得 m b ， n am3 bm2 cm d f ( b ) 。
3a
3a
所以，函数 f (x) ax3 bx2 cx d(a 0) 的对称中心是 ( b , f ( b )) 。 3a 3a
可见，y＝f(x)图象的对称中心在导函数 y＝ f (x) 的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导
为零的点。 3、三次方程根的问题。
（1）当△= 4b2 12ac 0 时，由于不等式 f (x) 0 恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。 （2）当△= 4b2 12ac 0 时，由于方程 f (x) 0 有两个不同的实根 x1, x2 ，不妨设 x1 x2 ，可知，(x1, f (x1))
（Ⅲ）若过点（0,2）可作曲线 y （f x）的三条不同切线，求 a 的取值范围。
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例 3、已知函数 f (x) 1 x3 ax2 bx ,且 f '(1) 0 3
(1) 试用含 a 的代数式表示 b,并求 f (x) 的单调区间；
（2）令 a 1 ,设函数 f (x) 在 x1, x2 (x1 x2 ) 处取得极值，记点 M ( x1 , f (x1) )，N( x2 , f (x2 ) )，P( m, f (m) ),
。
4、已知函数 f x ax3 bx2 3x 在 x 1处取得极值。
（Ⅰ）求函数 f(x)的解析式；
（Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值 x1 , x2 ，都有 f x1 f x2 4 ；
（Ⅲ）若过点 A（1，M）（M≠－2）可作曲线 y=f(x)的三条切线，求实数 M 的取值范围.
为函数的极大值点，(x2 , f (x2 )) 为极小值点，且函数 y f (x) 在 (, x1) 和 (x2 ,) 上单调递增，在 x1, x2 上
单调递减。
1
此时：
①若 f (x1) f (x2 ) 0 ，即函数 y f (x) 极大值点和极小值点在 x 轴同侧，图象均与 x 轴只有一个交点，所以
(1) 试用含 a 的代数式表示 b,并求 f (x) 的单调区间； （2）令 a 1 ,设函数 f (x) 在 x1, x2 (x1 x2 ) 处取得极值，记点 M ( x1 , f (x1) )，N( x2 , f (x2 ) )，P( m, f (m) ), x1 m x2 ,请仔细观察曲线 f (x) 在点 P 处的切线与线段 MP 的位置变化趋势，并解释以下问题： （I）若对任意的 M ( x1 , x 2 )，线段 MP 与曲线 f(x)均有异于 M,P 的公共点，试确定 t 的最小值，并证明你的结
2、对称中心。
三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d(a 0) 是关于点对称，且对称中心为点 ( b , f ( b )) ，此点的横坐 3a 3a
标是其导函数极值点的横坐标。
证明：设函数 f (x) ax3 bx2 cx d(a 0) 的对称中心为（m，n）
2t3
3t 2
1
0
2t 3
2t 2
t2
1
t
12
2t
1
0
，所以切点为
1 2
,
3 8
，则切线方程为
x
4y
1
0
。
小结：求切线方程步骤，先判断点是否在曲线上，如不在曲线上，则参照第二小步设切点坐标，若在曲线上，讨
论已知点是否为切点，若为切点，由导数可直接求得斜率。
象相切。
（1）
若 x0
b , 则过点 P 恰有一条切线； 3a
（2）
若 x0
b 3a
,
且
g
(
x0
)
g
(
b 3a
)
0 ，则过点 P 恰有一条切线；
（3）
若 x0
b 3a
,
且
g
(
x0
)
g
(
b 3a
)
=0，则过点
P
有两条不同的切线；
（4）若
x0
b 3a
,且
g
(
x0
)gຫໍສະໝຸດ (b 3a2 0 0 7 0 3 2 9
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题型一、三次函数的切线问题
参考答案
例 1、已知函数 y x3 x ，求过点 A1, 0 的切线方程。
解： f x 3x2 1，
若 A 是切点，则切线方程为 y 0 2 x 1 y 2x 2
若 A 不 是 切 点 ， 设 切 点 为 t , t3 t ， 则 切 线 方 程 为 y t3 t 3t2 1x t ， 将 A1 , 0 代 入 得
原方程有且只有一个实根。
②若 f (x1) f (x2 ) 0 ，即函数 y f (x) 极大值点与极小值点在 x 轴异侧，图象与 x 轴必有三个交点，所以原
方程有三个不等实根。
③若 f (x1) f (x2 ) 0 ，即 f (x1) 与 f (x2 ) 中有且只有一个值为 0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。
2、已知函数 f (x) 满足 f (x) x3 f ' 2 x2 x C ． 3
（1）求函数 f (x) 的单调区间； （2）若方程 f (x) 0 有且只有两个不等的实数根，求常数 C ； （3）在（2）的条件下，若 f 1 0 ，求函数 f (x) 的图象与 x 轴围成的封闭图形的面积．
2
二、例题
题型一、三次函数的切线问题
1、已知函数 y x3 x ，求过点 A1, 0 的切线方程。
2、（2010 湖北文数）设函数 （f x）= 1 x3 a x2 bx c ，其中 a＞0，曲线 y （f x）在点 P（0， （f 0））处的 32
切线方程为 y=1 （Ⅰ）确定 b、c 的值。
论；
（II）若存在点 Q(N ,f(N)), x N< M,使得线段 PQ 与曲线 f(x)有异于 P、Q 的公共点，请直接写出 M 的取值范围
（不必给出求解过程）
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题型二、三次函数的一般性质
1、（全国Ⅱ卷文 21）已知函数 f x x3 3ax2 3x 1。
（Ⅰ）设 a=2，求 f（x）的单调期区间； （Ⅱ）设 f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求 a 的取值范围。
当 x 变化时， f '(x) 与 f (x) 的变化情况如下表：
8
x
(,1 2a) (1 2a, 1) (1, )
f '(x)
+
－
+
f (x)
单调递增
单调递减
单调递增
由此得，函数 f (x) 的单调增区间为 (,1 2a) 和 (1, ) ，单调减区间为 (1 2a, 1) 。
2、三次函数图象与性质的探究： 1、单调性。
一般地，当 b2 3ac 0 时，三次函数 y ax3 bx2 cx d(a 0) 在 R 上是单调函数；当 b2 3ac 0
时，三次函数 y ax3 bx2 cx d(a 0) 在 R 上有三个单调区间。
例 2、（2010 湖北文数）设函数 （f x）= 1 x3 a x2 bx c ，其中 a＞0，曲线 y （f x）在点 P（0， （f 0）） 32
处的切线方程为 y=1 （Ⅰ）确定 b、c 的值。
（Ⅱ）设曲线 y （f x）在点（ x1，（f x1））及（ x2，（f x2））处的切线都过点（0,2）证明：当 x1 x2 时，
4、极值点问题。
当 0 时，三次函数 y f x 在 , 上的极值点有两个。
当 0 时，三次函数 y f x 在 , 上不存在极值点。
5、过平面上一般点三次函数的切线问题。
设点 P(x0 , y0 ) 为三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d(a 0) 图象外，则过点 P 一定有直线与 y f (x) 图
（Ⅱ）设曲线 y （f x）在点（ x1，（f x1））及（ x2，（f x2））处的切线都过点（0,2）证明：当 x1 x2 时， f '(x1) f '(x2 ) （Ⅲ）若过点（0,2）可作曲线 y （f x）的三条不同切线，求 a 的取值范围。
3、已知函数 f (x) 1 x3 ax2 bx ,且 f '(1) 0 3
x1 m x2 ,请仔细观察曲线 f (x) 在点 P 处的切线与线段 MP 的位置变化趋势，并解释以下问题：
（I）若对任意的 M ( x1 , x 2 )，线段 MP 与曲线 f(x)均有异于 M,P 的公共点，试确定 t 的最小值，并证明你的结
论；
（II）若存在点 Q(N ,f(N)), x N< M,使得线段 PQ 与曲线 f(x)有异于 P、Q 的公共点，请直接写出 M 的取值范围
5
5、已知在函数 f (x) mx3 x 的图象上以 N（1，N）为切点的切线的倾斜角为 , 4
（1）求 M、N 的值； （2）是否存在最小的正整数 k，使不等式 f (x) k 1992 对于 x [1,3] 恒成立？求出最小的正整数 k，若
不存在说明理由；
（3）求证：| f (sin x) f (cos x) | 2 f (t 1 )(x R,t 0). 2t
三次函数
一、知识点
1、定义：
定义 1、形如 y ax3 bx2 cx d(a 0) 的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。
定义 2、三次函数的导数 y 3ax2 2bx c(a 0) ，把 4b2 12ac 叫做三次函数导函数的判别式。
)
0 ，则过点 P
有三条不同的切线。
切线条数分布：
（1）“上下”区域，1 条切线；
（2）“左右”区域，3 条切线；
（3）曲线和中心切线，2 条切线；
6、最值问题。
函数 f (x) ax3 bx2 cx d(a 0), x [m, n] 若 x0 [m, n] ，且 f '(x0) 0 ， 则： f (x)max max{ f (m), f (x0), f (n)} ； f (x)min min{ f (m), f (x0), f (n)} 。
（不必给出求解过程） 解法一: (Ⅰ)依题意,得 f '(x) x2 2ax b
由 f '(1) 1 2a b 0得b 2a 1. 从而 f (x) 1 x3 ax2 (2a 1)x,故f '(x) (x 1)(x 2a 1).
3 令 f '(x) 0,得x 1或x 1 2a. ①当 a>1 时, 1 2a 1
3
题型三、三次函数对称中心
1、设函数 f x x x 1 x a a 1 （1）求 f x 并证明 f x 有两个不同的极值点； （2）若不等式 f x1 f x2 0 成立，求 a 范围。
4
三、练习题
1、已知函数 f (x) 1 x3 x2 x 的图象 C 上存在一定点 P 满足：若过点 P 的直线 l 与曲线 C 交于不同于 P 的两 3
点 M (x1, y1), N(x2, y2 ) ，且恒有 y1 y2 为定值 y0 ，则 y0 的值为（
）
A. 1 3
B. 2 3
C. 4 3
D. 2
2、已知曲线 C： f (x) x3 x 2 ，则经过点 P(1, 2) 的曲线 C 的切线方程是
3、已知曲线 C： f (x) x3 3x2 2x a 的一条切线方程为 y 2x ，则实数 a 的值等于
按向量
a
(m,n)
将函数的图象平移，则所得函数
y
f
(x m) n 是奇函数，所以
f (x m) f (x m) 2n 0 化简得： (3ma b)x2 am3 bm2 cm d n 0
上式对 x R 恒成立，故 3ma b 0 ，得 m b ， n am3 bm2 cm d f ( b ) 。
3a
3a
所以，函数 f (x) ax3 bx2 cx d(a 0) 的对称中心是 ( b , f ( b )) 。 3a 3a
可见，y＝f(x)图象的对称中心在导函数 y＝ f (x) 的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导
为零的点。 3、三次方程根的问题。
（1）当△= 4b2 12ac 0 时，由于不等式 f (x) 0 恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。 （2）当△= 4b2 12ac 0 时，由于方程 f (x) 0 有两个不同的实根 x1, x2 ，不妨设 x1 x2 ，可知，(x1, f (x1))