函数导入课讲义
《函数的概念和图象》示范公开课教案【高中数学苏教版】
第5章函数概念与性质5.1 函数的概念和图象第2课时函数的概念和图象1. 了解构成函数的要素；2. 理解函数图象是点的集合，能熟练作出一些初等函数的图象；3.能求简单函数的定义域和值域．教学重点：熟练作出一些初等函数的图象．教学难点：求简单函数的定义域．课件．PPT一、新课导入问题1：1. 函数定义中的“三性”是指哪些？2．函数的三要素是指什么？师生活动：学生先回忆总结，老师补充．预设的答案：1.函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A 中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．2.定义域、值域与对应关系．【想一想】初中如何求一个函数中自变量的取值范围的？高中又如何求出函数的定义域？设计意图：承上启下，引入新课．引语：要解决这个问题，就需要进一步学习函数的概念和图象．（板书：5.1.1函数的概念和图象）【探究新知】问题2：画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题． (1)比较f (0)，f (1)，f (3)的大小； (2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小． 师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：抛物线f (x )＝－x 2＋2x ＋3的顶点为(1，4)和x 轴交点为(－1，0)，(3，0)，和y 轴交点为(0，3)得函数图象如图．(1)根据图象，容易发现f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0，所以f (3)<f (0)<f (1)． (2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)． 问题3：如何求函数23()112x f x x x =+-的定义域． 师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：由23()112x f x x x =++-可得：12010x x ->⎧⎨+≠⎩， 解得：12x <，且1x ≠- ， ∴函数23()112x f x x x =+-的定义域为：()1,11,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭，故答案为：()1,11,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭．追问：（1）已知()y f x =的定义域为[0,1]，求函数2(1)y f x =+的定义域；（2）已知(21)y f x =-的定义域为[0,1]，求()y f x =的定义域；预设的答案：（1）∵2(1)y f x =+中的21x +的范围与()y f x =中的x 的取值范围相同．∴2011x +≤≤，∴0x =，即2(1)y f x =+的定义域为{0}．（2）由题意知(21)y f x =-中的[0,1]x ∈，∴1211x --≤≤． 又(21)y f x =-中21x -的取值范围与()y f x =中的x 的取值范围相同， ∴()y f x =的定义域为[1,1]-． 问题4：求下列函数的值域： (1)y ＝x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)(观察法)因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．(2)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象，可得函数的值域为[2,6)．设计意图：培养学生分析和归纳的能力.【巩固练习】例1. 作出下列函数的图象．(1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)；(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)∵x∈Z且|x|≤2，∴x∈{－2，－1，0，1，2}．∴图象为一直线上的孤立点(如图(1))．(2)∵y＝2(x－1)2－5，∴当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3；当x＝1时，y＝－5．所画函数图象如图．∵x∈[0,3)，故图象是一段抛物线(如图(2))．反思与感悟：作函数y＝f(x)的图象分两种类型：(1)若y＝f(x)是已学过的基本初等函数，则通过描出y＝f(x)的图象上的一些关键点画出y＝f(x)的图象；(2)若y＝f(x)不是已学过的基本初等函数，则需要通过列表，描点、连线，这些基本步骤作出y＝f(x)的图象．设计意图：明确函数的图象的画法．例2. 求下列函数的定义域：(1)y＝2(1)11xxx+-+；(2)y5x-.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足10,10,xx+≠⎧⎨-⎩≥解得x≤1且x≠－1，即函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足50,||30.xx-⎧⎨-≠⎩≥解得x≤5且x≠±3，即函数的定义域为{x|x≤5，且x≠±3}．设计意图：明确函数的定义域的求法．例3. 求下列函数的值域：(1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；(2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；(3)y＝213xx+-．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)(观察法)因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．(2)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象[如图(1)]，可得函数的值域为[2,6)．(3)(分离常数法)y＝213xx+-＝2(3)73xx-+-＝2＋73x-，显然73x-≠0，所以y≠2．故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．设计意图：明确函数的值域的求法．【课堂小结】1．板书设计：5.1.1函数的概念和图象1. 函数的图象的画法例12. 求函数的定义域例23. 求函数的值域例32．总结概括：问题：1.求函数的定义域应关注哪些问题？2. 求函数值域的方法是什么？3.如何求复合函数定义域？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充． 预设的答案：1.求函数的定义域应关注四点：(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0．(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化．(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．2. 求函数值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法： (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．3.（1）已知()f x 的定义域为[,]a b ，求(())f g x 的定义域：解不等式()a g x b ≤≤即可得解；（2）已知(())f g x 的定义域为[,]a b ，求()f x 的定义域：求出()y g x =在[,]a b 上的值域即可得解；（3）已知(())f g x 的定义域为[,]a b ，求(())f h x 的定义域：先用类型二求出()f x 的定义域，再用类型一求出(())f h x 的定义域．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确函数的概念与图象的有关知识． 布置作业： 【目标检测】1. 函数()1x f x 的定义域为（ ）A ．()1,00,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,00,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭设计意图：巩固函数的定义域的求法。
大学函数的教案
课时：2课时教学目标：1. 理解函数的概念和基本性质。
2. 掌握函数的图像和性质分析。
3. 能够运用函数解决实际问题。
教学重点：1. 函数的概念和基本性质。
2. 函数的图像和性质分析。
教学难点：1. 函数性质的理解和应用。
2. 函数图像的绘制和分析。
教学准备：1. 多媒体教学设备。
2. 函数相关教学资料。
3. 实际问题案例。
教学过程：第一课时一、导入1. 通过生活中的实例，引导学生回顾初中所学的函数概念。
2. 提问：什么是函数？函数有哪些基本性质？二、新课讲授1. 函数的定义：在某个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么y就是x的函数。
2. 函数的表示方法：解析法、图像法、表格法。
3. 函数的基本性质：（1）奇偶性：若f(-x) = f(x)，则函数f(x)是偶函数；若f(-x) = -f(x)，则函数f(x)是奇函数。
（2）周期性：若存在正数T，使得对于所有x，有f(x + T) = f(x)，则函数f(x)是周期函数。
（3）单调性：若对于所有x1 < x2，有f(x1) < f(x2)，则函数f(x)是增函数；若对于所有x1 < x2，有f(x1) > f(x2)，则函数f(x)是减函数。
三、课堂练习1. 练习判断函数的奇偶性、周期性和单调性。
2. 练习绘制函数的图像。
四、课堂小结1. 总结函数的定义和基本性质。
2. 强调函数图像的绘制和分析方法。
第二课时一、复习导入1. 回顾上一节课所学的函数概念和基本性质。
2. 提问：如何运用函数解决实际问题？二、新课讲授1. 函数图像的绘制和分析方法：（1）利用坐标系绘制函数图像。
（2）分析函数图像的形状、特点、趋势等。
2. 函数图像的应用：（1）解决实际问题，如几何问题、经济问题等。
（2）研究函数的性质，如奇偶性、周期性、单调性等。
三、课堂练习1. 练习绘制函数图像，并分析其性质。
数学八年级上册第六章《函数》教案(北师大)
第六章一次函数１．函数一、学生起点分析在七年级上期学习了用字母表示数，体会了字母表示数的意义，学会了探索具体事物之间的关系和变化的规律，并用符号进行了表示；在七年级下期又学习了“变量之间的关系”，使学生在具体的情境中，体会了变量之间的相依关系的普遍性，感受了学习变量之间的关系的必要性和重要性，并且积累了一定的研究变量之间关系的一些方法和初步经验，为学习本章的函数知识奠定了一定的基础。
二、教学任务分析《函数》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第六章《一次函数》第一节的内容。
●教材内容本节内容安排了1个学时。
教材中的函数是从具体实际问题的数量关系和变化规律中抽象出来的，主要是通过学生探索实际问题中存在的大量的变量之间关系，进而抽象出函数的概念。
与原传统教材相比，新教材更注重感性材料，让学生分析了大量的问题，感受到在实际问题中存在两个变量，而且这两个变量之间存在一定的关系，它们的表示方式是多样地，如可以通过列表的方法表示，可以通过画图像的方法表示，还可以通过列解析式的方法表示，但都有着共性：其中一个变量依赖于另一个变量。
●教材地位及作用函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型，对它的学习一直是初中阶段数学学习的一个重要内容。
本节内容是在七年级知识的基础上，继续通过对变量间的关系的考察，让学生初步体会函数的概念，为后续学习打下基础。
同时，函数的学习可以使学生体会到数形结合的思想方法，感受事物是相互联系和规律的变化。
三、教学目标分析教学目标：●知识与技能目标1．初步掌握函数概念，能判断两个变量间的关系是否可以看成函数；2．根据两个变量之间的关系式，给定其中一个量，相应的会求出另一个量的值；3．了解函数的三种表示方法。
●过程与方法目标1．通过函数概念的学习，初步形成学生利用函数观点认识现实世界的意识和能力；2．经历从具体实例中抽象概括的过程，进一步发展学生的抽象思维能力，体会函数的模型思想；3．通过对函数概念的学习，培养学生的语言表达能力。
人教版高一年级数学必修课程《函数的表示法》(第一课时)优质教案
1.2.2函数的表示法（第一课时）学习目标：1.了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法)2.会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数,树立应用数形结合的思想. 学习重点:函数的三种表示方法学习难点：对函数解析法的理解学习过程：（一）导入新课我们前面已经学习了函数的定义,函数的定义域的求法,函数值的求法,两个函数是否相同的判定方法,那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题（二）师生互动，新课讲解(1)解析法:用数学表达式表示两个变量之间的函数关系,这种表示方法叫做解析法,这个数学表达式叫做函数的解析式.(2)图象法:以自变量x的取值为横坐标,对应的函数值y为纵坐标,在平面直角坐标系中描出各个点,这些点构成了函数的图象,这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法.(3)列表法:列一个两行多列的表格,第一行是自变量的取值,第二行是对应的函数值,这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法.例1.某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元,试用三种表示法表示函数y=f(x).分析：学生思考函数的表示法的规定.注意本例的设问,此处“y=f(x)”有三种含义,它可以是解析表达式,可以是图象,也可以是对应值表.本题的定义域是有限集,且仅有5个元素.解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5},用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,x∈{1,2,3,4,5}.用列表法可将函数y=f(x)表示为笔记本数x 1 2 3 4 5 钱数y 5 10 15 20 25用图象法可将函数y=f(x)表示为图1-2-2-1.图1-2-2-1点评：本题主要考查函数的三种表示法.解析法的特点是:简明、全面地概括了变量间的关系;可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值,便于用解析式来研究函数的性质,还有利于我们求函数的值域;图象法的特点是:直观形象地表示自变量的变化,相应的函数值变化的趋势,有利于我们通过图象来研究函数的某些性质,图象法在生产和生活中有许多应用,如企业生产图,股市走势图等;列表法的特点是:不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值,列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用,如银行利率表、列车时刻表等等.但是并不是所有的函数都能用解析法表示,只有函数值随自变量的变化发生有规律的变化时,这样的函数才可能有解析式,否则写不出解析式,也就不能用解析法表示.例如:张丹的年龄n(n∈N*)每取一个值,那么他的身高y(单位:cm)总有唯一确定的值与之对应,因此身高y是年龄n的函数y=f(n),但是这个函数的解析式不存在,函数y=f(n)不能用解析法来表示.注意：①函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等;②解析法:必须注明函数的定义域,否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域;③图象法:根据实际情境来决定是否连线;④列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.例 2.下表是某校高一(1)班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表:第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟98 87 91 92 88 95张城90 76 88 75 86 80 赵磊68 65 73 72 75 82 班平均分88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6 请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.分析：学生思考做学情分析,具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？本题利用表格给出了四个函数,它们分别表示王伟、张城、赵磊的考试成绩及各次考试的班级平均分.由于表格区分三位同学的成绩高低不直观,故采用图象法来表示.做学情分析,具体要分析学习成绩是否稳定,成绩变化趋势.解：把“成绩”y看成“测试序号”x的函数,用图象法表示函数y=f(x),如图1-2-2-3所示.图1-2-2-3由图1-2-2-3可看到:王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分,学习情况比较稳定而且成绩优秀; 张城同学的数学成绩不稳定,总是在班级平均分水平上下波动,而且波动幅度较大;赵磊同学的数学学习成绩呈上升趋势,表明他的数学成绩稳步提高.点评：本题主要考查根据实际情境需要选择恰当的函数表示法的能力,以及应用函数解决实际问题的能力.通过本题可见,图象法比列表法和解析法更能直观反映函数值的变化趋势.注意：本例为了研究学生的学习情况,将离散的点用虚线连接,这样便于研究成绩的变化特点.例3.将长为a 的铁丝折成矩形,求矩形面积y 关于一边长x 的函数关系式,并求定义域和值域,作出函数的图象.分析:解此题的关键是先把实际问题转化成数学问题,即把面积y 表示为x 的函数,用数学的方法解决,然后再回到实际中去. 解：设矩形一边长为x,则另一边长为21(a-2x),则面积y=21(a-2x)x=-x 2+21ax. 又⎩⎨⎧>>0,2x -a 0,x 得0<x<2a ,即定义域为(0,2a).由于y=-(x 4a -)2+161a 2≤161a 2, 如图1-2-2-4所示,结合函数的图象得值域为(0,161a 2］.图1-2-2-4例4.已知2f(x)+f(-x)=3x+2,则f(x)=________.分析:由题意得⎩⎨⎧+=++=+2,-3x f(x)2f(-x)2,3x f(-x)2f(x)把f(x)和f(-x)看成未知数,解方程即得. (三)课堂练习1.向高为H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图1-2-2-5所示,那么水瓶的形状是( )图1-2-2-5 图1-2-2-6答案：B2.2007宁夏银川一模,理14已知f(x x +-11)=2211x x +-,则f(x)=________.分析:可设x x +-11=t,则有x=tt+-11, 所以f(t)=22)11(1)11(1t t t t +-++--=212t t +, 所以f(x)=212x x+.答案：212xx+ 3.已知函数f(x)=273++x x ，写出函数的定义域和值域.（换元法）注意：讨论函数的值域要先考虑函数的定义域，换元后马上写出新元的取值范围 （四）课堂小结：本节课学习了函数的三种表示方法,在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数. （五）作业：1.车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3 500辆次,其中电动车保管费是每辆一次0.5元,自行车保管费是每次一辆0.3元.(1)若设自行车停放的辆次数为x,总的保管费收入为y 元,试写出y 关于x 的函数关系式;(2)若估计前来停放的3 500辆次自行车中,电动车的辆次不小于25%,但不大于40%,试求该保管站这个星期日收入保管费总数的范围.2.水池有2个进水口,1个出水口,每个水口进出水的速度如图1-2-2-9甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图1-2-2-9丙所示(至少打开一个水口).图1-2-2-9给出以下三个论断: ①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水不出水;其中一定正确的论断是( )A.①B.①②C.①③D.①②③3.求值域y=x4+ x2-2(六)教学反思：。
函数概念教案
函数概念教案一、教学目标1. 理解函数的概念；2. 掌握函数的定义与表示方法；3. 能够正确使用函数进行数学运算；4. 能够分析并解决与函数相关的实际问题。
二、教学内容1. 函数的定义与概念；2. 函数的表示方法与性质；3. 函数的运算与应用。
三、教学步骤步骤一：引入1. 开场导入：介绍函数的概念，以一个日常生活中的例子引入，如“每天早上起床后都要刷牙”，将这个过程比喻成函数的概念，即“起床刷牙”函数。
2. 引导学生思考一件事情或过程是否符合函数的定义，让学生尝试举其他例子。
步骤二：函数的定义与表示方法1. 讲解函数的定义：函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的元素的特殊关系。
2. 引入函数的符号表示方法：f(x) = y，其中f(x)表示函数名称，x称为自变量，y称为因变量。
3. 举例解释函数的含义：比如f(x) = 2x，表示自变量x经过函数f(x)的运算后得到的结果是2倍的x。
步骤三：函数的性质与特点1. 介绍函数的定义域与值域概念：函数的定义域是自变量可能取值的集合，值域是函数的所有可能结果的集合。
2. 讲解函数的奇偶性：如果函数满足f(x) = f(-x)，则称该函数为偶函数；如果函数满足f(x) = -f(-x)，则称该函数为奇函数。
3. 给出一些例子并让学生判断函数的奇偶性。
步骤四：函数的运算与应用1. 讲解函数的四则运算规则：加法、减法、乘法、除法。
强调在进行运算时要根据函数的定义域与值域进行合理的运算。
2. 给出具体的函数表达式并进行运算练习，比如f(x) = 2x + 3，g(x) = x^2，让学生计算f(g(x))等。
3. 引导学生思考函数在实际生活中的应用，比如利用函数进行数据分析、计算预期收益等。
步骤五：练习与拓展1. 给学生一些函数的运算和应用题目进行练习，并讲解答案与解题思路。
2. 引导学生思考更多与函数相关的问题，如反函数、复合函数、函数的图像、函数的极限等。
课时1函数的概念(一)(经典公开课)
一、导入新课 在初中我们已经接触过函数的概念，知道了函数是刻画变量之间对应关 系的数学模型和工具．如：某物体从高度为 100 m 的高空自由下落，物 体下落的距离 s(m)与所用时间 t(s)的平方成正比，这个规律用数学式子可 以表示为 s＝12gt2，其中 g 取 9.8 m/s2.
二、提出问题 1．时间 t 的变化范围构成的集合 A 是什么？ 2．下落的距离 s 的变化范围构成的集合 B 是什么？ 3．下落后的某一时刻 t，能同时有两个 s 与之对应吗？ 4．集合 A 中的元素与集合 B 中的元素构成怎样的对应关系？ [学习目标] 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合 语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念．(数学抽象) 2.体会集 合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．(数学抽象) 3.了解构成函 数的要素．(数学抽象) 4.能求给定函数的定义域．(数学运算)
题型 2◆求函数的值 典例 已知函数 f(x)＝1＋x2x2.求： (1)f(a)＋f1a； (2)f(1)＋f(2)＋f(3)＋f12＋f13； (3)f(1)＋f(2)＋…＋f(99)＋f(100)＋f12＋f13＋…＋f1100.
12 解：(1)由题意，函数 f(x)＝1＋x2x2，可得 f(a)＋f1a＝1＋a2a2＋1＋aa12＝1＋a2a2 ＋a2＋1 1＝aa22＋ ＋11＝1. (2)由(1)可得 f(2)＋f12＝1，f(3)＋f13＝1， 又由 f(1)＝1＋1212＝12，所以 f(1)＋f(2)＋f(3)＋f12＋f13＝12＋1＋1＝52.
函数的概念是学生进入高中阶段遇到的一个难点，由于运用集合与对应 的观点来诠释函数，因而这部分内容显得较为抽象，学生学习起来比较 吃力．为了得出函数的概念，教材是通过如下步骤来实现的：(1)回顾初 中函数的概念；(2)列举 4 个函数实例；(3)归纳 4 个问题的共同特征；(4) 给出函数的定义．
函数的单调性与导数课堂导入
2ax
1 x2
，x
0，1 若f
x在
x 0，1上是增函数，求a的取值范围.
解：由已知得
f
'(x )
2a
2 x3
因为函数在（0，1]上单调递增，
f
x
0，即a
1 x3
在x
0，1上恒成立，
而g
x
1 x3
在（0，1]上单调递增，
g xmax g 1 1
a 1.
当a
1时，f
'(x)
2
2 x3
对x 0，1也有f ' x>0
2
2
当 f (x)
单调递减.
0
,
1
即
2
17
x
1 2
17
时,
函数 f
(x)
例3 、如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注 入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应 的水的高度h与时间t的函数关系图象.
分析：以容器（2）为例，由于容器上细 下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高 度反h 增映(1加在) 得图慢象，（h A以(）2后) 上高.度增h 加(3得) 越来越h (快4) ，
f ' x 1 1 cos x 0，
2
f x 在， 上是单调函数，
而当x 0时，f x 0，
方程x 1 sin x 0有唯一的根x 0. 2
题型三 构造函数证明不等式
例4、已知：m，n N ，且1 m n.
求证：1 mn 1 nm .
解： 1 m n，m，n N ，
练习：P93
4、求证: 函数 f (x) 2x3 6x2 7
减函数. 解: f (x) 2x3 6x2 7 f (x) 6x2 12x.
函数的单调性与导数(说课)
05 课程总结
本节课的收获
01
理解了函数的单调性与导数的关系
通过本节课的学习，学生们能够理解函数的单调性与其导数之间的关系，
掌握利用导数判断函数单调性的方法。
02
掌握了求导的基本法则
学生们学会了使用求导的基本法则，如链式法则、乘积法则、商的求导
法则等，能够熟练地求出函数的导数。
03
增强了数学思维能力
04 导数与函数的单调性
导数与单调性的关系
01
02
03
导数大于零
函数在该区间内单调递增。
导数小于零
函数在该区间内单调递减。
导数等于零
函数可能存在拐点或极值 点。
单调性判定定理的应用
判断函数单调性
通过求导数并分析导数的 正负来判断函数的单调性。
确定极值点
通过导数为零的点来确定 可能的极值点，并结合单 调性判断是否为极值点。
通过本节课的学习，学生们不仅掌握了相关的数学知识，更重要的是培
养了他们的数学思维能力，如逻辑推理、抽象思维和归纳演绎等。
课程中的不足与改进
部分学生对于求导法则的运用还不够熟练
在练习过程中，发现部分学生对于求导法则的运用还不够熟练，需要在课后加强练习和巩固。
部分学生对单调性与导数的关系理解不够深入
在讨论单调性与导数的关系时，发现部分学生对其理解不够深入，需要在后续课程中加强这方面的讲解和练习。
详细描述
基本初等函数的导数公式包括指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三 角函数的导数。复合函数的导数法则涉及到内外函数的导数计算，以及链式法 则的应用。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。
认识函数数学教案
认识函数数学教案
标题：认识函数数学教案
一、教学目标
1. 学生能够理解函数的基本概念。
2. 学生能够掌握函数的表示方法。
3. 学生能够解决与函数有关的问题。
二、教学重点和难点
1. 教学重点：函数的概念和表示方法。
2. 教学难点：理解和应用函数的概念。
三、教学过程
1. 导入新课：
通过实际生活中的例子引入函数的概念，如身高与年龄的关系，距离与时间的关系等。
2. 讲授新课：
（1）定义函数：讲解什么是函数，函数的输入和输出，以及函数的基本性质。
（2）函数的表示方法：介绍如何用图像、表格和解析式表示函数。
（3）函数的应用：通过实例让学生了解函数在现实生活中的应用。
3. 练习与实践：
设计一些练习题，让学生自己动手解题，以此检验他们对函数的理解程度。
4. 小结：
总结本节课的主要内容，强调关键知识点。
5. 布置作业：
设计一些相关的作业，让学生在课后继续巩固所学知识。
四、教学反思
对本节课的教学效果进行反思，分析学生的学习情况，为下一次教学提供参考。
高中数学 第三章函数的概念与性质函数的概念讲义 新人教A版必修一第一册
3.1.1 函数的概念最新课程标准：在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。
了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．知识点一函数的概念1．函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的定义域和值域函数y＝f(x)中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(domain)；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range)．显然，值域是集合B的子集．状元随笔对函数概念的3点说明(1)当A , B为非空实数集时，符号“ f ：A→B ”表示A到B的一个函数．(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)符号“f ”表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．知识点二区间的概念1．区间的几何表示定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b]2.实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”；“－∞”读作“负无穷大”；“＋∞”读作“正无穷大”．3．无穷大的几何表示定义 符号 数轴表示{x |x ≥a } [a ，＋∞) {x |x >a } (a ，＋∞) {x |x ≤b } (－∞，b ] {x |x <b }(－∞，b )状元随笔 关于无穷大的2点说明 (1)“∞”是一个符号，而不是一个数．(2)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号． 知识点三 同一函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． [教材解难]1．教材P 60思考根据问题1的条件，我们不能判断列车以350 km/h 运行半小时后的情况，所以上述说法不正确．显然，其原因是没有关注到t 的变化范围．2．教材P 63思考反比例函数y ＝kx(k ≠0)的定义域为{x |x ≠0}，对应关系为“倒数的k 倍”，值域为{y |y ≠0}．反比例函数用函数定义叙述为：对于非空数集A ＝{x |x ≠0}中的任意一个x 值，按照对应关系f “倒数的k (k ≠0)倍”，在集合B ＝{y |y ≠0}中都有唯一确定的数k x和它对应，那么此时f ：A →B 就是集合A 到集合B 的一个函数，记作f (x )＝k x(k ≠0)，x ∈A .3．教材P 66思考初中所学习的函数传统定义与高中的近代定义之间的异同点如下：不同点：传统定义从变量变化的角度，刻画两个变量之间的对应关系；而近代定义，则从集合间的对应关系来刻画两个非空数集间的对应关系．相同点：两种对应关系满足的条件是相同的，“变量x 的每一个值”以及“集合A 中的每一个数”，都有唯一一个“y 值”与之对应．[基础自测]1．下列从集合A 到集合B 的对应关系f 是函数的是( ) A ．A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1}，f ：A 中的数平方 B ．A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数开方 C ．A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数D ．A ＝{平行四边形}，B ＝R ，f ：求A 中平行四边形的面积解析：对B ，集合A 中的元素1对应集合B 中的元素±1，不符合函数的定义；对C ，集合A 中的元素0取倒数没有意义，在集合B 中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对D ，A 集合不是数集，故不符合函数的定义．综上，选A.答案：A 2．函数f (x )＝x －1x －2的定义域为( ) A ．(1，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[1,2) D ．[1,2)∪(2，＋∞) 解析：使函数f (x )＝x －1x －2有意义， 则⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，即x ≥1，且x ≠2.所以函数的定义域为{x |x ≥1且x ≠2}．故选D. 答案：D3．下列各组函数表示同一函数的是( )A ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1 C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0) D ．y ＝x ＋1，x ∈Z 与y ＝x －1，x ∈Z解析：A 中两函数定义域不同；B 中两函数值域不同；D 中两函数对应法则不同． 答案：C4．用区间表示下列集合：(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12≤x <5＝________； (2){x |x <1或2<x ≤3}＝________.解析：(1)注意到包括不包括区间的端点与不等式含不含等号对应，则{x |－12≤x <5}＝[－12，5)． (2)注意到集合中的“或”对应区间中的“∪”，则{x |x <1或2<x ≤3}＝(－∞，1)∪(2,3]．答案：(1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，5 (2)(－∞，1)∪(2,3]题型一 函数的定义[经典例题]例1 根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A 到集合B 的函数： (1)A ＝{1,2,3}，B ＝{7,8,9}，f (1)＝f (2)＝7，f (3)＝8； (2)A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5,6}，对应关系如图所示；(3)A ＝R ，B ＝{y |y >0}，f ：x →y ＝|x |；(4)A ＝Z ，B ＝{－1,1}，n 为奇数时，f (n )＝－1，n 为偶数时，f (n )＝1. 【解析】 对于集合A 中的任意一个值，在集合B 中都有唯一的值与之对应，因此(1)(4)中对应关系f 是从集合A 到集合B 的一个函数．(2)集合A 中的元素3在集合B 中没有对应元素，且集合A 中的元素2在集合B 中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是集合A 到集合B 的函数．(3)A 中的元素0在B 中没有对应元素，故所给对应关系不是集合A 到集合B 的函数. 1.从本题(1)可以看出函数f(x)的定义域是非空数集A ，但值域不一定是非空数集B ，也可以是集合B 的子集．2．判断从集合A 到集合B 的对应是否为函数，一定要以函数的概念为准则，另外也要看A 中的元素是否有意义，同时，一定要注意对特殊值的分析．方法归纳(1)判断一个集合A 到集合B 的对应关系是不是函数关系的方法：①A ，B 必须都是非空数集；②A 中任意一个数在B 中必须有并且是唯一的实数和它对应．[注意] A 中元素无剩余，B 中元素允许有剩余．(2)函数的定义中“任意一个x ”与“有唯一确定的y ”说明函数中两变量x ，y 的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．跟踪训练1 (1)设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 (2)下列对应是否是函数？ ①x →3x，x ≠0，x ∈R ；②x →y ，其中y 2＝x ，x ∈R ，y ∈R . 解析：(1)图号 正误 原因① × x ＝2时，在N 中无元素与之对应，不满足任意性② √ 同时满足任意性与唯一性③ × x ＝2时，对应元素y ＝3∉N ，不满足任意性 ④ ×x ＝1时，在N 中有两个元素与之对应，不满足唯一性(1)①x∈[0，1]取不到[1，2]. ③y∈[0，3]超出了N∈[0，2]范围.④可取一个x 值，y 有2个对应，不符合题意.(2)①是函数．因为任取一个非零实数x ，都有唯一确定的3x与之对应，符合函数定义．②不是函数．当x ＝1时，y ＝±1，即一个非零自然数x ，对应两个y 的值，不符合函数的概念．答案：(2)①是函数②不是函数 (2)关键是否符合函数定义．题型二 求函数的定义域 [经典例题] 例2 (1)函数f (x )＝x ＋1x －1的定义域是( ) A.[－1,1)B ．[－1,1)∪(1，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．(1，＋∞)(2)求下列函数的定义域． ①y ＝x ＋2＋1x 2－x －6；②y ＝(x －1)0|x |＋x.【解析】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －1≠0，解得x ≥－1，且x ≠1.所以所求函数的定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)． 【答案】 (1)B(1)依据分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0，列不等式组求定义域． 【解析】(2)①要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x 2－x －6≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－2，x ≠－2且x ≠3，得x >－2且x ≠3.所以所求函数的定义域为(－2,3)∪(3，＋∞)． ②要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，|x |＋x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠1，x >0，所以x >0且x ≠1，所以所求函数的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)． 【答案】(2)见解析(2)依据分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0,0的0次幂没有意义，列不等式组求定义域．方法归纳求函数的定义域(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0.(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．跟踪训练2 求下列函数的定义域： (1)f (x )＝6x 2－3x ＋2；(2)f (x )＝(x ＋1)|x |－x；(3)f (x )＝2x ＋3－12－x＋1x.解析：(1)要使函数有意义，只需x 2－3x ＋2≠0， 即x ≠1且x ≠2，故函数的定义域为{x |x ≠1且x ≠2}．(2)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x |－x >0，解得x <0且x ≠－1.所以定义域为(－∞，－1)∪(－1,0)． (3)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x >0，x ≠0，解得－32≤x <2，且x ≠0.故定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，0∪(0,2)． (1)分母不为0(2)⎩⎪⎨⎪⎧偶次根式被开方数≥0(x ＋1)0底数不为0(3)⎩⎪⎨⎪⎧偶次根式被开方数≥0分母不为0题型三 同一函数[教材P 66例3]例3 下列函数中哪个与函数y ＝x 是同一个函数？ (1)y ＝(x )2;(2)u ＝3v 3；(3)y ＝x 2； (4)m ＝n 2n.【解析】 (1)y ＝(x )2＝x (x ∈{x |x ≥0})，它与函数y ＝x (x ∈R )虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与函数y ＝x (x ∈R )不是同一个函数．(2)u ＝3v 3＝v (v ∈R )，它与函数y ＝x (x ∈R )不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数y ＝x (x ∈R )是同一个函数．(3)y ＝x2＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x <0，x ，x ≥0，它与函数y ＝x (x ∈R )的定义域都是实数集R ，但是当x <0时，它的对应关系与函数y ＝x (x ∈R )不相同．所以这个函数与函数y ＝x (x ∈R )不是同一个函数．(4)m ＝n 2n＝n (n ∈{n |n ≠0})，它与函数y ＝x (x ∈R )的对应关系相同但定义域不相同．所以这个函数与函数y ＝x (x ∈R )不是同一个函数．教材反思判断同一函数的三个步骤和两个注意点(1)判断同一函数的三个步骤(2)两个注意点：①在化简解析式时，必须是等价变形； ②与用哪个字母表示无关．跟踪训练3 试判断下列函数是否为同一函数．(1)f (x )＝x 2－xx，g (x )＝x －1；(2)f (x )＝x x ，g (x )＝x x； (3)f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2； (4)f (x )＝|x |，g (x )＝x 2. 解析：应关系来确定，因而只要判断定义域和对应关系是否对应相同即可．题型四 求函数的值域[经典例题] 例4 求下列函数的值域． (1)y ＝3－4x ，x ∈(－1,3]． (2)y ＝2xx ＋1. (3)y ＝x 2－4x ＋5，x ∈{1,2,3}． (4)y ＝x 2－4x ＋5.【解析】 (1)因为－1<x ≤3，所以－12≤－4x <4，所以－9≤3－4x <7， 所以函数y ＝3－4x ，x ∈(－1,3]的值域是[－9,7)． (2)因为y ＝2x x ＋1＝2(x ＋1)－2x ＋1＝2－2x ＋1≠2， 所以函数y ＝2xx ＋1的值域为{y |y ∈R 且y ≠2}． (3)函数的定义域为{1,2,3}， 当x ＝1时，y ＝12－4×1＋5＝2，当x ＝2时，y ＝22－4×2＋5＝1，当x ＝3时，y ＝32－4×3＋5＝2， 所以这个函数的值域为{1,2}，(4)因为y ＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1，x ∈R 时，(x －2)2＋1≥1， 所以这个函数的值域为[1，＋∞)．状元随笔 (1)用不等式的性质先由x∈(－1,3]求－4x 的取值范围，再求3－4x 的取值范围即为所求．(2)先分离常数将函数解析式变形，再求值域． (3)将自变量x ＝1,2,3代入解析式求值，即可得值域． (4)先配方，然后根据任意实数的平方都是非负数求值域.方法归纳求函数值域的常用方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到． (2)配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．(3)换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f (x )＝ax ＋b ＋cx ＋d (其中a ，b ，c ，d 为常数，且ac ≠0)型的函数常用换元法．(4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．跟踪训练4 求下列函数的值域： (1)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x ＋1； (3)y ＝1－x21＋x2；(4)y ＝－x 2－2x ＋3(－5≤x ≤－2)．解析：(1)将x ＝1,2,3,4,5分别代入y ＝2x ＋1，计算得函数的值域为{3,5,7,9,11}． (2)因为x ≥0，所以x ＋1≥1， 即所求函数的值域为[1，＋∞)． (3)因为y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2，所以函数的定义域为R ， 因为x 2＋1≥1，所以0<21＋x 2≤2.所以y ∈(－1,1]．所以所求函数的值域为(－1,1]． (4)y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4. 因为－5≤x ≤－2， 所以－4≤x ＋1≤－1. 所以1≤(x ＋1)2≤16. 所以－12≤4－(x ＋1)2≤3. 所以所求函数的值域为[－12,3]． (3)先分离再求值域 (4)配方法求值域一、选择题1．下列各个图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )解析：对于1个x 有无数个y 与其对应，故不是y 的函数．答案：A2．函数f (x )＝x ＋3＋(2x ＋3)3－2x 的定义域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，32D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，－32解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，3－2x >0，2x ＋3≠0，解得－3≤x <32且x ≠－32，故选B.答案：B3．已知函数f (x )＝－1，则f (2)的值为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．不确定解析：因为函数f (x )＝－1，所以不论x 取何值其函数值都等于－1，故f (2)＝－1.故选B.答案：B4．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A ．y ＝x ＋1和y ＝x 2－1x －1B ．y ＝x 2和y ＝(x )2C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x(x )2解析：只有D是相同的函数，A与B中定义域不同，C是对应法则不同．答案：D二、填空题5. 用区间表示下列数集．(1){x|x≥2}＝________；(2){x|3<x≤4}＝________；(3){x|x>1且x≠2}＝________.解析：由区间表示法知：(1)[2，＋∞)；(2)(3,4]；(3)(1,2)∪(2，＋∞)．答案：(1)[2，＋∞)(2)(3,4] (3)(1,2)∪(2，＋∞)6．函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．解析：由f(x)的图象可知－5≤x≤5，－2≤y≤3.答案：[－5,5] [－2,3]7．若A＝{x|y＝x＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}，则A∩B＝________.解析：由A＝{x|y＝x＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}，得A＝[－1，＋∞)，B＝[1，＋∞)，∴A∩B＝[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)三、解答题8．(1)求下列函数的定义域：①y＝4－x；②y＝1|x|－x；③y＝5－x＋x－1－1x2－9；(2)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式，并写出此函数的定义域．解析：(1)①4－x≥0，即x≤4，故函数的定义域为{x|x≤4}．②分母|x|－x≠0, 即|x|≠x，所以x<0.故函数的定义域为{x|x<0}．③解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 5－x ≥0，x －1≥0，x 2－9≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤5，x ≥1，x ≠±3.故函数的定义域是{x |1≤x ≤5，且x ≠3}．(2)设矩形一边长为x ，则另一边长为12(a －2x )， 所以y ＝x ·12(a －2x )＝－x 2＋12ax ，函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧ x >012(a －2x )>0⇒0<x <a 2，定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2. 9．求下列各函数的值域：(1)y ＝x ＋1，x ∈{2,3,4,5,6}；(2)y ＝x 2－4x ＋6；(3)y ＝x ＋2x －1. 解析：(1)因为当x 分别取2,3,4,5,6时，y ＝x ＋1分别取3,4,5,6,7， 所以函数的值域为{3,4,5,6,7}．(2)函数的定义域为R .因为y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2≥2，所以该函数的值域为[2，＋∞)．(3)设t ＝2x －1，则x ＝t 2＋12，且t ≥0. 问题转化为求y ＝1＋t 22＋t (t ≥0)的值域． 因为y ＝1＋t 22＋t ＝12(t ＋1)2(t ≥0)， 所以y 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 故该函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. [尖子生题库]10．(1)已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，求函数f (x －5)的定义域；(2)已知函数f (x －1)的定义域是[0,3]，求函数f (x )的定义域．解析：(1)由－1≤x －5≤5，得4≤x ≤10，所以函数f (x －5)的定义域是[4,10]．(2)由0≤x≤3，得－1≤x－1≤2，所以函数f(x)的定义域是[－1,2]．。
高中数学 第三章函数的概念与性质函数的单调性讲义 新人教A版必修一第一册
3.2.1 单调性与最大(小)值最新课程标准：借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．第1课时 函数的单调性知识点一 定义域为I 的函数f (x )的单调性状元随笔 定义中的x 1，x 2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x 1，x 2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x 1<x 2； (3)属于同一个单调区间． 知识点二 单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．状元随笔 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接. 如函数y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝1x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减． [教材解难]1．教材P 77思考f (x )＝|x |在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增； f (x )＝－x 2在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减．2．教材P 77思考(1)不能 例如反比例函数f (x )＝－1x，在(－∞，0)，(0，＋∞)上是单调递增的，在整个定义域上不是单调递增的．(2)函数f (x )＝x 在(－∞，＋∞)上是单调递增的．f (x )＝x 2在(－∞，0]上是单调递减，在[0，＋∞)上是单调递增的． [基础自测]1．下列说法中正确的有( )①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上是增函数； ③函数y ＝－1x在定义域上是增函数；④y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由于①中的x 1，x 2不是任意的，因此①不正确；②③④显然不正确． 答案：A2．函数y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则( ) A ．m >12 B ．m <12C ．m >－12D ．m <－12解析：使y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则2m －1<0，即m <12.答案：B3．函数y ＝－2x 2＋3x 的单调减区间是( ) A ．[0，＋∞) B．(－∞，0) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 解析：借助图象得y ＝－2x 2＋3x 的单调减区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞，故选D.答案：D4．若f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，则x1，x2的大小关系为________．解析：∵f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，∴x1>x2.答案：x1>x2题型一利用函数图象求单调区间[经典例题]例1 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为( )A．(－3,1)∪(1,4) B．(－5，－3)∪(－1,1)C．(－3，－1)，(1,4) D．(－5，－3)，(－1,1)【解析】在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1,4)．【答案】 C观察图象，若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数，对应的区间是增(减)区间．跟踪训练1 函数f(x)的图象如图所示，则( )A．函数f(x)在[－1,2]上是增函数B．函数f(x)在[－1,2]上是减函数C．函数f(x)在[－1,4]上是减函数D．函数f(x)在[2,4]上是增函数解析：函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数，图象下降对应减函数，故选A.答案：A根据图象上升或下降趋势判断．题型二函数的单调性判断与证明[教材P79例3]例2 根据定义证明函数y ＝x ＋1x在区间(1，＋∞)上单调递增．【证明】 ∀x 1，x 2∈(1，＋∞)， 且x 1<x 2，有y 1－y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)． 由x 1，x 2∈(1，＋∞)，得x 1>1，x 2>1. 所以x 1x 2>1，x 1x 2－1>0. 又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0. 于是x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)<0， 即y 1<y 2.所以，函数y ＝x ＋1x在区间(1，＋∞)上单调递增.先根据单调性的定义任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，再判断f(x 1)－f(x 2)的符号． 教材反思利用定义证明函数单调性的步骤注：作差变形是解题关键．跟踪训练2 利用单调性的定义，证明函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． 证明：设x 1，x 2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)， ∵－1<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0. ∴x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)>0.即f (x 1)－f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2)．∴y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． 利用四步证明函数的单调性．题型三 由函数的单调性求参数的取值范围[经典例题]例3 已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围．【解析】 ∵f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2＝[x －(1－a )]2＋2－(1－a )2， ∴f (x )的减区间是(－∞，1－a ]． ∵f (x )在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x ＝1－a 必须在直线x ＝4的右侧或与其重合． ∴1－a ≥4，解得a ≤－3. 故a 的取值范围为(－∞，－3]．状元随笔 首先求出f(x)的单调减区间，求出f(x)的对称轴为x ＝1－a ，利用对称轴应在直线x ＝4的右侧或与其重合求解.方法归纳“函数的单调区间为I ”与“函数在区间I 上单调”的区别单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I ，指的是函数递减的最大范围为区间I ，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．跟踪训练3 例3中，若将“函数在区间(－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(－∞，4]”，则a 为何值？解析：由例3知函数f (x )的单调递减区间为(－∞，1－a ]， ∴1－a ＝4，a ＝－3.求出函数的减区间，用端点值相等求出a.一、选择题1．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b>0，则必有( )A ．函数f (x )先增后减B ．f (x )是R 上的增函数C ．函数f (x )先减后增D ．函数f (x )是R 上的减函数 解析：由f (a )－f (b )a －b>0知，当a >b 时，f (a )>f (b )；当a <b 时，f (a )<f (b )，所以函数f (x )是R 上的增函数．答案：B2．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是( ) A ．y ＝－3x ＋2 B ．y ＝3xC ．y ＝x 2－4x ＋5D ．y ＝3x 2＋8x －10解析：显然A 、B 两项在(0,2)上为减函数，排除；对C 项，函数在(－∞，2)上为减函数，也不符合题意；对D 项，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，＋∞上为增函数，所以在(0,2)上也为增函数，故选D.答案：D3．函数f (x )＝x |x －2|的增区间是( ) A ．(－∞，1] B ．[2，＋∞) C ．(－∞，1]，[2，＋∞) D．(－∞，＋∞)解析：f (x )＝x |x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，2x －x 2，x <2，作出f (x )简图如下：由图象可知f (x )的增区间是(－∞，1]，[2，＋∞)． 答案：C4．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3) B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3.答案：C 二、填空题5．如图所示为函数y ＝f (x )，x ∈[－4,7]的图象，则函数f (x )的单调递增区间是____________．解析：由图象知单调递增区间为[－1.5,3]和[5,6]． 答案：[－1.5,3]和[5,6]6．若f (x )在R 上是单调递减的，且f (x －2)<f (3)，则x 的取值范围是________． 解析：函数的定义域为R .由条件可知，x －2>3，解得x >5. 答案：(5，＋∞)7．函数y ＝|x 2－4x |的单调减区间为________．解析：画出函数y ＝|x 2－4x |的图象，由图象得单调减区间为：(－∞，0]，[2,4]．答案：(－∞，0]，[2,4] 三、解答题8．判断并证明函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上的单调性．解析：函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋1＝x 1－x 2x 1x 2，由x 1，x 2∈(0，＋∞)，得x 1x 2>0， 又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0， 于是f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．9．作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图象，并指出函数的单调区间．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图象如图所示．由图象可知：函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞)． [尖子生题库]10．已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，求x 的取值范围． 解析：∵f (x )是定义在[－1,1]上的增函数， 且f (x －2)<f (1－x )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，x －2<1－x ，解得1≤x <32，所以x 的取值范围为1≤x <32.。
高中函数的概念说课稿
高中函数的概念说课稿“说课”有利于提高教师理论素养和驾驭教材的能力，也有利于提高教师的语言表达能力，因而受到广大教师的重视，登上了教育研究的大雅之堂。
以下是小编整理的函数的概念说课稿，希望对大家有帮助！尊敬的各位考官大家好，我是今天的x号考生，今天我说课的题目是《函数的概念》。
新课标指出：数学课程要面向全体学生，适应学生个*发展的需要，使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上都能得到不同的发展。
今天我将贯彻这一理念从教材分析、学情分析、教学过程等几个方面展开我的说课。
一、说教材首先谈谈我对教材的理解，《函数的概念》是北师大版必修一第二章2.1的内容，本节课的内容是函数概念。
函数内容是高中数学学习的一条主线，它贯穿整个高中数学学习中。
又是沟通代数、方程、、不等式、数列、三角函数、解析几何、导数等内容的桥梁，同时也是今后进一步学习高等数学的基础。
函数学习过程经历了直观感知、观察分析、归纳类比、抽象概括等思维过程，通过学习可以提高了学生的数学思维能力。
二、说学情接下来谈谈学生的实际情况。
新课标指出学生是教学的主体，所以要成为符合新课标要求的教师，深入了解所面对的学生可以说是必修课。
本阶段的学生已经具备了一定的分析能力，以及逻辑推理能力。
所以，学生对本节课的学习是相对比较容易的。
三、说教学目标根据以上对教材的分析以及对学情的把握，我制定了如下三维教学目标：(一)知识与技能理解函数的概念，能对具体函数指出定义域、对应法则、值域，能够正确使用“区间”符号表示某些函数的定义域、值域。
(二)过程与方法通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用*与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用进一步加深*与对应数学思想方法。
(三)情感态度价值观在自主探索中感受到成功的喜悦，激发学习数学的兴趣。
四、说教学重难点我认为一节好的数学课，从教学内容上说一定要突出重点、突破难点。
高中数学试讲教案函数
高中数学试讲教案函数
一、教学目标：
1. 知识目标：学生能够理解函数的定义，掌握函数的符号表示和性质。
2. 能力目标：学生能够运用函数的相关知识解决实际问题。
3. 情感目标：培养学生对数学的兴趣和探索精神。
二、教学重点：
1. 函数的定义和符号表示。
2. 函数的性质和特点。
三、教学难点：
1. 运用函数的相关知识解决实际问题。
2. 培养学生对函数的理解和探索能力。
四、教学过程：
1. 导入：通过实际问题引入函数的概念，引发学生对函数的思考和讨论。
2. 讲授：简要讲解函数的定义和符号表示，介绍函数的性质和特点，引导学生理解函数的基本概念。
3. 练习：让学生通过练习题目巩固函数的相关知识，培养运用函数解决问题的能力。
4. 拓展：引导学生探索函数的更多应用领域，激发学生对函数的兴趣和热爱。
五、归纳总结：总结本节课学习的重点和难点，强化学生对函数的理解和掌握。
六、作业布置：布置相关作业，巩固学生对函数的学习成果。
七、评价反馈：通过课堂练习和作业检查，评价学生对函数的理解和掌握情况，及时给予反馈和指导。
八、课后反思：对本节课的教学过程进行反思，总结教学中的不足之处，为下一次的教学改进提供参考。
函数的概念说课稿(精选)
函数的概念说课稿（精选）篇一：《函数概念》说课稿尊敬的各位评委、老师们：大家好！今天我说课的内容是《函数的概念》，选自人教版高中数学必修一第一章第二节。
下面介绍我对本节课的设计和构思，请您多提宝贵意见。
我的说课有以下六个部分：一、背景分析1、学习任务分析2、学情分析学生在初中已经学习了函数的概念，初步具备了学习函数概念的基本能力，但函数的概念从初中的变量学说到高中阶段的对应说很抽象，不易理解。
另外，通过对集合的学习，学生基本适应了有效的课堂模式，初步具备了小组合作、自主探究的学习能力。
基于以上的分析，我认为本节课的教学重点为：函数的概念以及构成函数的三要素；教学难点为：函数概念的形成及理解。
二、教学目标设计根据《课程标准》对本节课的学习要求，结合本班学生的情况，故而确立本节课的教学目标。
1、知识与技能（方面）通过丰富的实例，让学生①了解函数是非空数集到非空数集的一个对应；②了解构成函数的三要素；③理解函数概念的本质；⑤会求一些简单函数的定义域。
2、过程与方法（方面）在教学过程中，结合生活中的实例，通过师生互动、生生互动培养学生分析推理、归纳总结和表达问题的能力，在函数概念的构建过程中体会类比、归纳、猜想等数学思想方法。
3、情感、态度与价值观（方面）让学生充分体验函数概念的形成过程，参与函数定义域的求解过程以及函数的求值过程，使学生感受到数学的抽象美与简洁美。
三、课堂结构设计为充分调动学生的学习积极性，变被动学习为主动愉快的探究，我使用有效教学的课堂模式，课前学生通过结构化预习，完成问题生成单，课中采用师生互动、小组讨论、学生展写、展讲例题，教师点评的方式完成问题解决单，课后完成问题拓展单，课堂结构包含：复习旧知，引出课题（约2分钟）创设情境，形成概念（约5分钟）剖析概念（约12分钟）例题分析，巩固知识，小组讨论，展写例题（约8分钟）小组展讲，教师点评（约10分钟）总结反思，知识升华（约2分钟）（最后）布置作业，拓展练习。
函数的概念说课教案8篇
函数的概念说课教案8篇在我们日常的教学生涯中，难免会遇到要写教案的情况，教案是需要结合实际的教学进度和内容的，下面是作者为您分享的函数的概念说课教案8篇，感谢您的参阅。
函数的概念说课教案篇1教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；教学过程：一、引入课题1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题备用实例：我国#年4月份非典疫情统计：日期#新增确诊病例数#3、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；4、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．二、新课教学（一）函数的有关概念1．函数的概念：设a、b是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个数x，在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：a→b 为从集合a到集合b的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈a．其中，x叫做自变量，x的取值范围a叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈a}叫做函数的值域（range）．注意：○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论（由学生完成，师生共同分析讲评）（二）典型例题1．求函数定义域课本p20例1解：（略）说明：○1函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例；○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．巩固练习：课本p22第1题2．判断两个函数是否为同一函数课本p21例2解：（略）说明：○1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
九年级第十次课 函数专题讲义(2)
第1页/共4页第十次课 函数专题讲义（2）一、学习目标：1、 知道每一种函数的一般表达式、图像及其性质；2、 会用待定系数法、数形结合确定函数的解析式。
二、学习重难点：1、重点：能够根据题目条件特点，熟练运用待定系数法、数形结合确定 函数的解析式。
2、难点：恰当的选择表达式，确定函数的解析式，掌握解函数背景综合题的思想方法。
三、 教学内容：（ 一）限时检测： 1．已知13a c b d ==，则a cb d++的值是 ▲ ． 2．如图4，，DE ∥BC ，当△ADE 与△ABC 的周长比为1:3时，那么DE ︰BC ＝ ▲ ．3．如图5，已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点E 和点F 分别在AD 和BC 上，EF 是梯形ABCD 的中位线，若EF a =，DC b =，则用,a b 表示AB = ▲ ．4．计算：= ▲ ． 550 624x +的顶点是此抛物线的最高点，那么m 的取值范围是 ▲ ． 7．周长为16的矩形的面积y 与它的一条边长x 之间的函数关系式为y ＝ ▲ ．8．在直角坐标系中，已知点P 在第一象限内，点P 与原点O 的距离OP=2，点P 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为60°，则点P 的坐标是 ▲ ．9．如图6，正方形CDEF 内接于Rt △ABC ，点D 、E 、F 分别在边AC 、AB 和BC 上，当AD=2，BF=3时，正方形CDEF 的面积是 ▲ ．10．如图7，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 平分∠BCD ，∠BAC=∠D ，若AD=4，BC=10，则AC= ▲ ．11．如图8，△ABC 的两条中线AD 和BE 相交于点G ，过点E 作EF//BC 交AD 于点F ，那么FGAG= ▲ ．12．如图9，将一张矩形纸片ABCD 沿着过点A 的折痕翻折，使点B 落在AD 边上的点F ，折痕交BC 于点E ，将折叠后的纸片再次沿着另一条过点A 的折痕翻折，点E 恰好与点D 重合，此时折痕交DC 于点G ，则CG ∶GD 的值为 ▲ ． （二）例题解析：例题一如图13，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x 轴交于点A(－1，0）和点B ，与y 轴交于点C (0，2)， 对称轴为直线1x ，对称轴交x 轴于点E ． （1）求该抛物线的表达式，并写出顶点D 的坐标；（2）设点F 在抛物线上，如果以A 、E 、F 、D 为顶点的四边形是梯形，求点F 的坐标； （3）联结BD ，设点P 在线段BD 上，若△EBP 与△ABD 相似，求点P 的坐标．（三）课堂练习：1、已知二次函数的图像的顶点在原点O ，且经过点A （1，41）（1） 求此函数的解析式；（2） 将该抛物线沿着y 轴向上平移后顶点落在点P 新抛物线于点M 和N ，且S △PMN ＝23，求：MN 2、如图10，已知平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 是边BC 的中点，联结DE 交AC于点G ．设AD ＝a，DC ＝b ，（1）试用a 、b表示向量OC ； （2）试用a 、b表示向量DG ．3、如图11，一棵大树在一次强台风中折断倒下，未折断树杆AB 与地面仍保持垂直的关系，而折断部分AC 与未折断树杆AB 形成53°的夹角．树杆AB 旁有一座与地面垂直的铁塔DE ，测得BE ＝6米，塔高DE ＝9米．在某一时刻的太阳照射下，未折断树杆AB 落在地面的影子FB 长为4米，且点F 、B 、C 、E 在同一条直线上，点F 、A 、D 也在同一条直线上．求这棵大树没有折断前的高度．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈4、如图12，在△ABC 中，AC=BC ，∠重合），作EF ⊥AB 交边BC 于点F ，联结 AE D GF CB 图8图6 C B A E D F图7D C B AAC FBDF图9图10 图11第3页/共4页（1）求证：△BEC ～△BFA ；（2）若BE ：EA=1：2，求∠ECF 的余弦值．四、课堂小结：1、 牢记各种函数的一般表达式；2、 牢记每一种二次函数的顶点、对称轴、变化趋势确定方法。
初中教案函数导入模板
教学目标：1. 让学生了解函数的概念，理解函数的定义。
2. 培养学生运用函数解决实际问题的能力。
3. 培养学生的数学思维和逻辑推理能力。
教学重点：1. 函数的定义。
2. 函数的性质。
教学难点：1. 理解函数的定义。
2. 掌握函数的性质。
教学过程：一、导入1. 创设情境：同学们，你们知道什么是函数吗？请结合生活实际举例说明。
2. 引导学生思考：函数在我们的生活中无处不在，那么，如何定义函数呢？二、新课讲授1. 函数的定义（1）出示定义：一般地，设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的规则f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都能找到唯一的数y与之对应，那么就称f：A→B是一个从集合A到集合B的函数，记作y=f（x），x∈A。
（2）解释定义中的关键词：a. 集合A、B：定义域和值域；b. 确定的规则f：函数表达式；c. 唯一性：对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都能找到唯一的数y 与之对应。
（3）举例说明：a. y=2x（x∈R）是一个函数；b. y=√x（x≥0）是一个函数；c. y=x²（x∈R）是一个函数。
2. 函数的性质（1）单调性：若对于任意x1、x2∈A（x1<x2），都有f（x1）<f（x2），则称函数f在定义域A上单调递增；若对于任意x1、x2∈A（x1<x2），都有f（x1）>f （x2），则称函数f在定义域A上单调递减。
（2）奇偶性：若对于任意x∈A，都有f（-x）=f（x），则称函数f是偶函数；若对于任意x∈A，都有f（-x）=-f（x），则称函数f是奇函数。
三、课堂练习1. 判断以下函数是否为函数，并说明理由：a. y=x²+1（x∈R）b. y=√x（x≥0）c. y=2x（x∈R）2. 分析以下函数的单调性和奇偶性：a. y=x²b. y=2xc. y=√x四、课堂小结1. 回顾函数的定义和性质。
2. 强调函数在数学和生活中的重要性。
艺术生文化课补课数学讲义 正切函数的图像
4-1.4.3正切函数的性质与图象（1）一、复习引入：问题：正弦曲线是怎样画的？正切线? 二、讲解新课：1．正切函数tan y x =的定义域是什么？ 2．正切函数是不是周期函数？ 3．作tan y x =，x ∈⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ的图象说明：（1）正切函数的最小正周期是π；（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数R x xy ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”。
（3）正切曲线是由被相互平行的直线()2x k k Z ππ=+∈所隔开的无穷多支曲线组成的。
4．正切函数的性质：（1）定义域：____________________； （2）值域：__________观察：当x 从小于()z k k ∈+2ππ，2π+π−→−k x 时，tan x −−→+∞ 当x 从大于()z k k ∈+ππ2，ππk x +−→−2时，-∞−→−x tan 。
（3）周期性：___________；（4）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，_____________；（5）单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-ππππ2,2内，_____________。
5.讲解范例：例1比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-413tan π与⎪⎭⎫ ⎝⎛-517tan π的大小 例2讨论函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4tan πx y 的性质例3求函数y ＝tan2x 的定义域 例4观察正切曲线写出满足下列条件的x 的值的范围：tan x ＞0例5不通过求值，比较tan135°与tan138°的大小6.练习1.求下列函数的周期：（1）3tan 5y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）tan 36y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭2.求函数⎪⎭⎫⎝⎛-=33tan πx y 的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，并说明它的图象可以由正切曲线如何变换得到。
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学情分析基础较好，对于知识灵活运用需要训练课题一次函数导入专题学习目标与考点分析学习目标：1、对于一次函数的性质和图像的熟练运用和把握2、理解一次函数与二元一次方程组的联系3、理解一次函数和正比例函数的联系和区别考点分析：1、一次函数的性质和图像的把握2、正比例函数的性质和一次函数的区别学习重点重点：1、一次函数性质和图像的理解2、正比例函数图像与一次函数图像区别学习方法讲练结合练习巩固学习内容与过程一、知识点梳理一次函数（一）函数1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
*判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式6、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
8、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
（二）一次函数 1、一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。
当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。
⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数．⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．2、正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，•直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小．(1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0） (2) 必过点：（0，0）、（1，k ）(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限 (4) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小 (5) 倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴 3、一次函数及性质一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零) ① k 不为零 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b ）和（-kb，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移） （1）解析式：y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0) （2）必过点：（0，b ）和（-kb，0） （3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限 b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<0b k 直线经过第二、三、四象限 （4）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴. （6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.一次 函数()0k kx b k =+≠k ，b 符号0k >0k <0b >0b <0b =0b >0b <0b = 图象Ox yyx OOx yyx OOx yyxO性质y 随x 的增大而增大y 随x 的增大而减小4、一次函数y=kx ＋b 的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b ），.即横坐标或纵坐标为0的点.b>0b<0 b=0k>0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限 经过第一、三象限图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大k<0经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限 经过第二、四象限图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小5、正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kx ＋b 的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx 平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）6、正比例函数和一次函数及性质 正比例函数一次函数概 念一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数y 叫做x 的一次函数.当b=0时，是y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.自变量 范 围 X 为全体实数 图 象 一条直线必过点 （0，0）、（1，k ）（0，b ）和（-kb，0） 走 向k>0时，直线经过一、三象限； k<0时，直线经过二、四象限k ＞0，b ＞0,直线经过第一、二、三象限 k ＞0，b ＜0直线经过第一、三、四象限 k ＜0，b ＞0直线经过第一、二、四象限 k ＜0，b ＜0直线经过第二、三、四象限增减性 k>0，y 随x 的增大而增大；（从左向右上升） k<0，y 随x 的增大而减小。
（从左向右下降） 倾斜度 |k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴 图像的 平 移b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位； b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.6、直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系 （1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交⇔21k k ≠ （3）两直线重合⇔21k k =且21b b = （4）两直线垂直⇔121-=k k7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式典例精讲1、函数：*判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定时，Y 是否有唯一确定的值与之对应 例：（1）下列关系式中，y 不是x 的函数的有 个 ①x y 2= ②2--=x y ③xy 2=④2x y = ⑤x y =2⑥x y = ⑦x y 2010±= （2）下列各图给出了变量x 与y 之间的函数是： （ ）2、确定自变量x 取值范围的方法： （1）关系式为整式时，自变量x 的取值范围为全体实数； （2）关系式有分母时，分母不等于零；（3）关系式含有根号时，被开方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，自变量x 的取值范围还要和实际情况相符合，使之有意义。
例：（1）函数y=2x -自变量x 的取值范围是 ，21-=x y 自变量x 的取值范围是 函数32-+=x x y 自变量x 的取值范围是 ；23+-=x x y 自变量x 的取值范围是 函数y=()033-++x x 自变量x 的取值范围是（2）拖拉机的油箱装油56千克，犁地平均每小时耗油6千克，则油箱剩油量q （千克）与时间t （小时）之间的关系是 ，自变量t 的取值范围是(3) 已知等腰三角形周长为20,写出底边长y 关于腰长x 的函数解析式(x 为自变量),并写出自变量取值范围,画出函数图象.3、函数的图像:例:①如图，是一种古代计时器——“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．若用x 表示时间，y 表示壶底到水面的高度，下面的图象适合表示一小段时间内y 与x 的函数关系的是（ ）（不考虑水量变化对压力的影响）（A ） （B ）xy oAxy oB xyo Dxy o CxyO x yOyyxy y=k 3xy=k 2x y=k 1xoA B C DA B C t hO（C ） （D ）②均匀地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h 随时间t 的变化规律如图所示(图中OABC 为一折线)，则这个容器的形状为（ ）4、正比例函数及性质正比例函数一般形式：y=kx (k 不为零)其中k 叫做比例系数.① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b=0 ①解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0）②必过点：（0，0）、（1，k ）③走向和增减性：k>0时，图像经过一、三象限，k>0，y 随x 的增大而增大；k<0时，•图像经过二、四象限，y 随x 增大而减小。