吉林省吉林市2020届高三数学第三次调研测试试题 理

吉林市普通中学2020学年度高中毕业班第三次调研测试

理科数学

本试卷共22小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案 无效。

4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

1. 已知集合{1,1},A =-2{|20,}B x x x x Z =+-<∈，则U A B =

A. {1}-

B. {1,1}-

C. {1,0,1}-

D. {1,0,1,2}-

2. 欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将

指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论

里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”,4i i e π表示的复数位于复平面内 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限

D. 第四象限

3. 已知角α的终边经过点(P -，则sin2α的值为

A. 2

B. 2

- C. 12- D. 4- 4. “,,,a b c d 成等差数列”是“a d b c +=+”的 A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D.

5． 正三棱锥的三视图如右图所示，则该正三棱锥

正视图侧视图

的表面积为

6. 已知双曲线22

22:1(0,

0)y x C a b a b

-=>>的焦点F

到渐近线距离与顶点A 到渐近线距

离之比为3:1，则双曲线C 的渐近线方程为 A.

y =± B. y =

C. y x =

D. y x = 7. 已知

AB 是圆22620x y x y +

-+=内过点(2,1)E 的最短弦，则||AB 等于

A. B. C. D. 8. 执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为

A. 213log 32+

B. 2log 3

C. 2

D. 3

9. 将函数sin(2)3y x π

=+的图像向右平移

14

个周期后，所得图像对应的函数为()f x ， 则函数()f x 的单调递增区间为 A. 7[,]()1212

k k k Z ππππ++∈ B. [,]()63k k k Z ππππ-+∈ C. 5[,]()1212

k k k Z ππππ-+∈ D. [,]()36k k k Z ππππ-+∈ 10. 已知,αβ是[0,]π上的两个随机数，则满足1sin βα

<的概率为 A. 2π B. 22π C. 4π

D. 24π 11. 已知抛物线24y x =的焦点F ，

点(4,3)A ，P 为抛物线上一点，

且P 不在直线AF 上，

则PAF ∆周长取最小值时，线段PF 的长为 A. 1 B. 134 C. 5 D. 214

12. 设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意实数x ，都有()()2f x f x x =-+，

当0x <时，()21f x x '<+，若(1)()22f a f a a -≤-+-，则实数a 的最小值为

A. 1-

B. 12-

C. 12

D. 1

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13. 52()x x

-

展开式中含x 项的系数为 . 14. 已知向量(,1),(1,1)r r a m b =-=，若||||||a b a b -=+r r r r ，则实数m = . 15. 某煤气站对外输送煤气时，用1至5号五个阀门控制，且必须遵守以下操作规则：

（ⅰ）若开启3号，则必须同时开启4号并且关闭2号；

（ⅱ）若开启2号或4号，则关闭1号；

（ⅲ）禁止同时关闭5号和1号.

现要开启3号，则同时开启的另两个阀门是 .

16. 已知函数23,()63,x x a f x x x x a +>⎧=⎨

++≤⎩，若函数()()2g x f x x =-恰有2个不同的零

点，则实数a 的取值范围为 .

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17:21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分

17. （12分）

锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆

， （1）求sin cos B C 的值；

（2

）若6cos sin 3B C a =

=，求b c +最大值.

18. （12分）

2020年11月15日，我市召开全市创建全国文明城市动员大会，会议向全市人民发出动员令，吹响了集结号。为了了解哪些人更关注此活动，某机构随机抽取了年龄在1575:岁之间的100人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如图所示，其分组区间为： [15,25),[25,35),[35,45),[45,55),[55,65),

把年龄落在[15,35)和[35,75)内的人分别

称为“青少年人”和“中老年人”，经统计“青少年人”与“中老年人”的人数之比为2:3.

（1）求图中,a b 的值，若以每个小区间的 中点值代替该区间的平均值，估计这100人年

龄的平均值x ；

（2）若“青少年人”中有15人关注此活动，

根据已知条件完成题中的22⨯列联表，根据此统计结果，问能否有99%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注此活动？

附参考公式：2

2(),()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++. 19.（12分）

岁）