第七讲 受弯构件的内力

（2）求1-1截面上的剪力和
弯矩
列平衡方程 ∑Fy=0 FQ1 ＋ FP=0
C
FP=100kN 1 ABaidu Nhomakorabea 1 2
M = 75kN· m 3 4 B
3
4
FBy
FQ1=－FP=－100kN (负剪力) ∑M1=0 M1＋FP×a=0
C
1.5m FAy 1.5m
1.5m
FP=100kN A
M1
M1=－FP a= －100×1.5
A P1
↙K ↘
P1
P2
B
HA A VA
↙ K
Q
M
N
（3）M: 其数值等于该截面一侧所有外力对截面 形心力矩的代数和。（左顺右逆为正）
十堰职业技术学院
例7-1 试用截面法求图示悬臂梁1-1、2-2截面上的剪力和 弯矩。已知：q=15kN/m，FP =30kN。
1 2
q
FP
B
A 1
2m
2
1m
解 由于悬臂梁具有一端为自由端的特征，所以在计算
FP=100kN C A FAy
1.5m
∑M2=0 M2＋ FP×a=0
M2=－FP a =－100×1.5 = － 150KN· m (负弯矩)
M2
FQ2
十堰职业技术学院
（4）求3-3截面的剪力和弯矩
∑Fy =0 FQ3－FBy=0
FQ3=FBy=25kN (正剪力) ∑M3=0 M3＋M＋FBy×a=0
M
十堰职业技术学院
3.3用截面法求指定截面的内力 在梁的横截面上,一般有三个内力分量:轴力N、剪 力Q、弯矩M。计算内力的基本方法是截面法(见图)。 其结论是： （1）N: 其数值等于该截 面一侧所有外力沿截面法线方 向投影的代数和。 （2）Q:其数值等于该截面 一侧所有外力沿截面切线方向 投影的代数和。（左上右下为 正）
FQ1 M1
B
计算结果为正，说明1-1截面上剪力的实际方向与图中假定的方向一 致，即1-1截面上的剪力为正值。
计算结果为负，说明1-1截面上弯矩的实际方向与图中假定的方向相反， 十堰职业技术学院 即1-1截面上的弯矩为负值。
∑M1=0 M1 ＋ q×1×2.5 ＋ FP×3=0 M1=－q×1×2.5－FP×3 =－15×1×2.5－30×3=－127.5kN· m
FQ
C
FBy
十堰职业技术学院
３．２剪力和弯矩的正负号规定 外力使脱离体产生顺时针转动趋势时为正 剪力：
F
FQ F
FQ
外力使脱离体产生逆时针转动趋势时为负
F FQ
FQ
F
十堰职业技术学院
弯矩：外力使脱离体产生下凹变形为正，或使脱离体产生
下部受拉时为正
M
外力使脱离体产生上凸变形为负, 或使脱离体产生
上部受拉为负
十堰职业技术学院
房屋建筑中的楼（屋）面梁、挑梁
十堰职业技术学院
火车轮轴
十堰职业技术学院
（２） 平面弯曲
工程中常见的梁，其横截面大多为矩形、工字形、 T形、十字形、槽形等
它们都有对称轴，梁横截面的对称轴和梁的轴线所 组成的平面通常称为纵向对称平面 。
十堰职业技术学院
平面弯曲
纵向对称面
•具有纵向对称面 •外力都作用在此面内
•弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
十堰职业技术学院
十堰职业技术学院
2
梁的类型
凡是通过静力平衡方程就能够将梁的支座反力全部
求出的梁，统称为静定梁。 梁的三种基本形式 悬臂梁 (Cantilever beam )。梁的一端固定，另一端自由。
FP
十堰职业技术学院
简支梁(Simple Beam )。梁的一端为固定铰支座， 另一端
B
FBy
十堰职业技术学院
∑Fy=0
∑MC=0
FAy－FQ=0
－FAy x+M=0 FyA
A
1
FP
B
FQ=FAy (↓) M=FAy x () x A FAy M FQ C M FP
1
FBy
弯矩M ： 构件受弯时，横截面上其作 用面垂直于截面的内力偶矩。
剪力FQ ： 构件受弯时，横截面上其作 用线平行于截面的内力。
为可动铰支座。
M
FP
q
外伸梁(Overhanging beam )。简支梁的一端或两端伸出支座 之外。
M FP q
十堰职业技术学院
3
梁的内力——剪力和弯矩的计算
３.１梁的内力——剪力和弯矩
现以图示梁为例来分析。 设荷载FP和支座反力FAy、 A
a
FP B l FP
FBy均作用在同一纵向对称
平面内，组成了平衡力系使 梁处于平衡状态，欲计算任 一截面1-1上的内力。 FAy A
（2）求2-2截面上的剪力和弯矩
取2-2截面的右侧为隔离体。 ∑Fy =0 FQ2－FP－q×1=0 FQ2= FP＋q×1 =30＋15×1=45kN (正剪力) ∑M2=0 M2
1
2 q=15kN/m
FP =30kN
A 1
2m
2
B
1m
q
FP
B
FQ2
M2 ＋ q×1×0.5 ＋ FP×1=0
M2=－q×1×0.5－FP×1 =－15×1×0.5－30×1 =－37.5kN· m (负弯矩)
Contents
1
2 3
平面弯曲的概念
梁的类型
梁的内力——剪力和弯矩的计算
4
梁的内力图
十堰职业技术学院
1
平面弯曲的概念
１.１弯曲和平面弯曲
（１） 弯曲:
受力特点：杆件受到垂直于杆件轴线方向的外力或在杆
轴线所在平面内作用的外力偶的作用。
变形特点：杆轴线由直变弯。
M
FP
q
以弯曲变形为主的构件通常称为梁。
=－150kN· m (负弯矩)
FQ1
十堰职业技术学院
（3）求2-2截面上的剪力和弯矩
∑Fy=0 FQ2 ＋ FP－FBy－=0
C
FP=100kN 1 A2 1 2
M = 75kN· m 3 4 B
FQ2=－FP＋FBy =－100＋125 =25kN (正剪力)
3
4
FBy
1.5m FAy 1.5m
内力时可以不求其支座反力。
十堰职业技术学院
（1）求1-1截面的剪力和弯矩
取1-1截面的右侧为隔离体。11截面上的剪力和弯矩都按照正方 向假定。 1
2 q=15kN/m
FP =30kN
A 1
∑Fy=0 －FP－q×1＋FQ1=0 FQ1= FP＋q×1 =30＋15×1=45kN
2m
2
B
1m
q FP
十堰职业技术学院
例7-2 用截面法求外伸梁指定截面上的剪力和弯矩。
FP=100kN 1 A2 C 1 2 M = 75kN· m 3 3 4 4 FBy B
1.5m FAy 1.5m
1.5m
解 （1）求支座反力 ∑MB=0
FAy 125kN (↑)
∑Fy=0 FBy=25kN (↓)
十堰职业技术学院
FP=100kN 1 A2 C
1 1.5m 2
M = 75kN· m