数学模型

模型思想通常也叫做“数学模型”或者“数学建模”，它是用数学语言和工具，对现实世界的一些信息进行适当的简化，经过推理和运算，对相应的数据进行分析、预测、决策和控制，并且经过实践的检验，如果检验的结果是正确的，就可以用来指导实践。模型思想是三中基本思想之一，由模型思想派生出的下位数学思想有化简思想、量化思想、函数思想、方程思想、随机思想等。在小学阶段适合渗透的主要有函数思想、方程思想等。

2012版新课标（《全日制义务教育数学课程标准》）在“课程内容”中提出了十个核心词（数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识），并一一给出描述，模型思想就是其中的一个。

什么是“模型思想”？数学模型的教学与通常的数学教学之间有什么关系？怎样帮助小学生建立模型思想？怎样应用模型思想呢？

模型思想通常也叫做“数学模型”或者“数学建模”，它是用数学语言和工具，对现实世界的一些信息进行适当的简化，经过推理和运算，对相应的数据进行分析、预测、决策和控制，并且经过实践的检验，如果检验的结果是正确的，就可以用来指导实践。

数学模型在当今市场经济和信息化社会中已经有课比较广泛的应用，无论解决哪个领域的或者，都要用到数学、都要用到数学建模方法。如大学建模教科书上有：人口增长数学模型、导弹核武器竞赛问题。动物形体问题、电饭锅销售模型、公路运输问题、投资决策模型等。其实数学模型的发展有着悠久的历史，并且是推动数学发展的重要动力之一。在古代，中国以解决实际问题为主要特征的“数学建模”就十分活跃，注重算法创新的中国古代数学家是“数学建模”的好手。像老师们熟悉的“田忌赛马”、“韩信点兵”、“邑方几何”、“四表望远”、“锯木求径”等都是中国古代数学模型算法，十分有名。在近代，以学习数学模型为内容的课程最早产生20世纪60年代的美国研究生教育。1985年，也是美国首先出现了大学生建模竞赛。荷兰从1990年开始组织高中学生进行数学建模竞赛。

中国从1983年开始在清华大学等高等院校开设数学建模课程并从1992年起每年举行一次全国大学生数学建模竞赛。

数学具有高度抽象性、严密逻辑性和应用广泛性的特点，由于小学生擅长形象思维的认知，所以小学阶段的数学模型除了具有抽象性、精确性、和简约性之外，还具有直观性。因此，数学模型在小学中的呈现，主要有描述性语言（自然语言）、图形语言和符号语言三中形式。以“乘法分配律”为例。

1.用描述性语言表达：两个数的和与一个数相乘，等于这两个数分别与这个数相乘，再把两个积相加。这么长的一串话，不理解的人读了也白读。

2.用图形语言表达：

知道长方形面积计算公式的人都看的懂，这是乘法分配律比较常见的一种几何模型，非常直观，但它的局限性在于只能揭示非负数的乘法运算定律，因为长度、面积都不可能是负值。

3.用符号语言表达：（a+b）×c=ac+bc.不仅非常简练，而且足够准确，同时三个字母可以表示一切实数。这只是符号语言所具有优势之一。

三种语言表达中符号语言最具有优势，但并不说明小学生最重要的就是发展他们的符号语言表达。因为小学生的年龄特点使得他们需要描述性语言表达的数学模型。如人教版二年级上册第11页“百以内的进位加法”例3“36+35”，通过摆一摆小棒来表示的算理，就十分形象直观，在表示算理的基础上再列竖式，总结出算法（建立数学模型）：“数位对齐，个位相加，个位满十，向十位进一”，这种用描述性语言表达的数学模型具有直观操作性，便于学生的掌握和应用。

另外图形语言的表达也是必不可少的。例如在教授“鸡兔同笼”的应用问题，用图形语言表达就十分形象直观，便于学生理解，在图形语言表达的基础上再归结到假设法来解决。因此相比而言，描述性语言和图形语言在众多的数学模型中是不可或缺的，但真正的数学模型还是符号模型，因为抽象的符号都具有精确性和简约性，并且没有歧义。

2012版新课标在课程内容部分明确提出了“初步形成模型思想”，并具体阐述为：模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径，建立

和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。这段叙述揭示了在教学中如何帮助小学生建立数学“模型思想”的三点具体要求：

1.从现实情境中抽象出数学模型。

“抽象”是在认识事物的过程中舍弃其非本质属性，从而取其本质属性。数学模型的抽象性、概括性都很强，任何一个数、一个公式、一种符号、一个概念和规律都是抽象、概括的结果。正如恩格斯曾经说过：“数和形的概念不是从其他任何地方，而是从现实世界中得来的。”建立数学模型最重要的就是使学生能体会到数学与现实社会的天然联系，把生活中的数学原型生动地展现在教学中。例如人教版六年级下册第95页“你知道吗”中的“七桥问题”（图1）：18世纪东普鲁士的哥尼斯堡城，有一条叫普列格的小河穿过，河上有两个小岛，有7座桥把两个小岛与河岸联系起来。