投影矩阵的计算过程

投影矩阵的计算过程

3d模型经过世界坐标变换、相机坐标变换后，下一步需要投影变换。投影变换的目的就是要把相机空间转换到标准视图空间，在这个空间的坐标都是正规化的，也就是坐标范围都在[-1,1]之间，之所以转换到这个空间是为了后续操作更方便。

下面的讨论都是以列向量来表示，这样在变换操作时，采用的是矩阵左乘法，如果采用的是行向量的话，那就相反，矩阵右乘法即是向量在左边乘以变换矩阵。采用哪种表示并不影响结果，只需要把该种表示下得出的变换矩阵转置一下，就是采用另外一种表示模式需要的结果。 常见的投影有两种，正交投影和透视投影，正交投影相对来说更简单，所以先来看看正交投影。

最简单的正交变换矩阵

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

这个正交变换是不可逆变换，变换后x和y保留，z变成了0，在实际应用中，更常见的情况是限定x、y、z在一定的范围内的进行投影变换，比如x[l,r],y[b,t],z[n,f]。那么要把这段空间中的点变换到-1和1之间，只要完成两个变换，首先把坐标轴移到中心，然后进行缩放就可以了。采用列向量的话，那就是缩放矩阵乘以平移矩阵。

2/(r-l) 0 0 0 1 0 0 -

(r+l)/2 2/(r-l) 0 0 -(r+l)/(r-l)

0 2/(t-b) 0 0 x 0 1 0 -

(b+t)/2 = 0 2/(t-b) 0 -(t+b)/(t-b)

0 0 2/(f-n) 0 0 0 1 -

(n+f)/2 0 0 2/(f-n) -(f+n)/(f-n)

0 0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 1

透视投影类比于我们人眼系统，看一个物体，会有远小近大的效果。在转换到相机空间后，相机是这个空间的原点，和正交投影体是一个长方体或者立方体不同，透视投影体是一个锥体被近平面截取掉头部剩下的空间。假定仍然采用上面的坐标表示。在透视投影下，空间上面

的任何一点P投影到近平面上某点q，通过三角几何学我们可以得到

q x=p x*n/p z ,y点同理。假定直接投影到近平面，则该矩阵很简单,用Ma表示下面的矩阵

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 1/n 0

则齐次空间某点（x，y，z ，1）被该矩阵转换后变成了 (x ,y z, z/n) ,除以z/n,则变成了(nx/z,ny/z,n ,1) 正好吻合上面的公式。

但是我们知道投影变换需要把坐标变换到-1和1之间，假定先不考虑z 轴的变换，在x轴和y轴上面经过上述变换后，已经投影在近平面了，假设近平面xy在[l,r] 和[b,t]之间了，因此只需要和上面的正交投影一样，进行平移和缩放操作就可以了，平移矩阵M b为

1 0 0 -(l+r)/2

0 1 0 -(t+p)/2

0 0 1 -(f+n)/2

0 0 0 1

以及缩放矩阵M c

2/(r-l) 0 0 0

0 2/(t-b) 0 0

0 0 2/(f-n) 0

0 0 0 1

M c XM b XM a

得到的矩阵为

2/(r-l) 0 -(r+l)/（n*(r-l)） 0

0 2/(t-b) -(t+b)/（n*(t-b)) 0

0 0 j k

0 0 1/n 0

j k 为未知数，这个矩阵也可以同时乘以n，则变为

2n/(r-l) 0 -(r+l)/(r-l) 0

0 2n/(t-b) -(t+b)/(t-b) 0

0 0 j k

0 0 1 0

为了求解 J k，我们需要把z变换到-1 和1

因此当z=n时为-1， z=f时为1

(j*n+k)/n= j+k/n=-1;

同理 j+k/f=1;

得到 k=2f*n/(n-f)

j=-(n+f)/(n-f)

代入上面的矩阵，就得出通用的正交变换矩阵。

而且在一般情况下 r=-l ，b=-t

因此上述矩阵可以简化为

n/r 0 0 0

0 n/t 0 0

0 0 -(n+f)/(n-f) 2f*n/(n-f)

0 0 1 0

n/r 和 n/t可以进一步简化成水平半视角和垂直半视角的三角函数来表示，而水平视角和垂直视角和透视窗口的宽高比有是成正比的，最终上面两行可以用宽高比和某个半视角的余切来表示。

这是在列向量情况下得出的投影矩阵，如果采用行向量，只需要把上面的矩阵转置一下即可。