高二数学 平行关系的判定及其性质

模型中容易观察出②中a，c还可以平行或异面；③中a，b还可
以相交或异面；④是真命题，故C正确．
4. B 解析：由题意知，点P与直线BC确定一平面a，设a与面 A′C′交于直线l，由BC平行平面A′C′及棱B′C′知，l∥BC∥B′C′，
故只有1种锯法．
5. 2 39 3
解析：如图，由题意知MN / / 2 BC, 3
题型三 面面平行 【例3】 如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1.求证： 平面AB1C∥平面A1C1D.
变式3-1
如图所示，平面a∥平面b，点A∈a，C∈a，点B∈b，D∈b，
点E证，明F分：别①在当线AB段，ACBD，在C同D上一，平且面A内E时∶，EB由=CF∶FD.求证：EF∥b. a∥b，a∩平面ABDC=AC，b∩平面 ABDC=BD，
答案： 1. (1)同一平面内 (2)同一条直线 (3)经过这条直线 两平面的交线 (4)交线 (5)同一平面 2. (1)没有公共点 (2)平面外 平面内 (3)任意一条直线 3. (1)没有公共点 (2)两条相交直线 (3)两条相交直线 两条直线 (4)同一直线 (5)同一平面
基础达标
1.(教材改编题)已知直线a，b，平面a，满足a a，则使
证明：EF∥平面PAD；
知识准备：知道空间几何体的线面平行定理；
解：在△PBC中，E，F分别是PB，PC 的中点，∴EF∥BC.
又BC∥AD，∴EF∥AD. 又∵AD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD. ∴EF∥平面PAD.
∴AC∥BD. ∵AE∶EB=CF∶FD，∴EF∥BD. 又∵EF⊄b，BD⊂b，∴EF∥b. ②当AB与CD异面时，如图， 设平面ACD∩b=DH，且DH=AC. ∵a∥b，a∩平面ACDH=AC， ∴AC∥DH，∴四边形ACDH是平行四边
形．
在AH上取一点G，使AG∶GH=CF∶FD. 又∵AE∶EB=CF∶FD，∴GF∥HD， EG∥BH. 又EG∩GF=G，∴平面EFG∥平面b. ∵EF⊂平面EFG，∴FE∥b.
2. 直线与平面平行 (1)定义：直线a和平面a________，叫做直线与平面平行． (2)线面平行的判定定理：如果__________的一条直线和________ 的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． (3)面面平行的性质：如果两平面互相平行，那么一个平面内的 __________平行于另一个平面． 3. 平面与平面平行 (1)定义：如果两个平面__________，那么这两个平面叫做平行 平面． (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有__________平行于 另一个平面，那么这两个平面平行． (3)判定定理的推论：如果一个平面内的__________分别平行于 另一个平面内的________，则这两个平面平行． (4)线面垂直的性质：如果两平面垂直于________，则这两个平 面平行． (5)平行公理：如果两平面平行于________，则这两个平面平 行．
第四节 平行关系的判定及其性质
基础梳理
1. 平行直线 (1)定义：__________不相交的两条直线叫做平行线． (2)公理4：平行于________的两条直线互相平行． (3)线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行， ____________的平面和这个平面相交，那么这条直线就和 ______平行． (4)面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个 平面相交，那么它们的______平行． (5)线面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于________， 那么这两条直线平行．
4. 有一木块如图所示，点P在平面A′C′内，棱BC平 行于平面A′C′及棱B′C′，要经过P和棱BC将木料锯开， 锯开的面必须平整，有N种锯法，N为( 百度文库 B
A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数
解析：由题意知，点P与直线BC确定一平面a，设a 与面A′C′交于直线l，由BC平行平面A′C′及棱B′C′知， l∥BC∥B′C′，故只有1种锯法．
对角线AC与BD相交于点O，E、F分别是BC、AP的中点．求证 ：EF∥平面PCD.
证明：如图，取PD的中点G，连接FG、 CG，
∵FG是△PAD的中位线， ∴FG/ / 1/2 AD. 在菱形ABCD中，/A/D BC，又E为 BC的中点， ∴CE/ / FG，∴四边形EFGC是平行四
边形，
∴EF∥CG. 又EF⊄面PCD，CG⊂面PCD， ∴EF∥面PCD.
BC2 AC2 AB2 2AC ABcos A=39,
MN 2 39 . 3
基础达标
题型一 线线平行 【例1】 已知四边形ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别 是边AB、BC、CD、DA的中点，且AC⊥BD.求证：四边形EFGH 是矩形． 证明
证明：如图，连接BD. ∵EH是△ABD的中位线， ∴EH∥BD，EH=1/2BD. 又∵FG是△CBD的中位线， ∴FG∥BD，FG=1/2BD. ∴FG∥EH，且FG=EH， ∴四边形EFGH是平行四边形． ∵AC⊥BD，HG∥AC，HE∥BD， ∴HG⊥HE，∴平行四边形EFGH为矩形．
5. 在△ABC中，AB=5，AC=7，∠A=60°，G为重心，
过G的平面a与BC平行，AB∩a=M，AC∩a=N，则 MN=_2 _33_9_____.
解析： 如图，由题意知MN綊BC，BC2=AC2+AB2-
2AC×ABcos A=49+25-2´7´51´ =39，
∴MN=2 39 .
2
3
答案： 1. B 2. D 3. C 解析：根据平行直线的传递性可知①正确；在长方体
题型二 线面平行 【例2】 (2010·浙江改编)如图，在平行四边形ABCD中， AB=2BC，∠ABC=120°，E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE 翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCDE，F为线段A′C的中点． 求证：BF∥平面A′DE.
证明：如图，取A′D的中点G，连接GF，GE.
由题意易知，
FG∥1/2CD， FG=CD， 又BE∥CD，BE=1/2CD， 所以FG∥BE，FG=BE， 故四边形BEGF为平行四边形． 所以BF∥EG， 又EG⊂平面A′DE，BF⊄平面A′DE， 所以BF∥平面A′DE.
变式2-1 (2011·潍坊模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面是菱形，
b∥a的条件为( B )
A. b∥a
B. b∥a且b a
C. a与b异面 D. a与b不相交
2. (教材改编题)如果一条直线与两个平行平面中的一个
平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是( D )
A. 平行
B. 相交
C. 在平面内
D. 平行或在平面内
3. (2010×湖北)用a，b，c表示三条不同的直线，y表示
平面，给出下列命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c； ③若a∥y，b∥y，则a∥b；④若a⊥y，b⊥y，则a∥b.
其中正确的命题是( C ) A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④
解析：根据平行直线的传递性可知①正确；在长方体模
型中容易观察出②中a，c还可以平行或异面；③中a， b还可以相交或异面；④是真命题，故C正确．
答案： D 解析：由于两条平行直线的平行投影可以平行也可以重合， 因此A不对．平行于同一直线的两个平面可以平行也可以相交， 故B不对．垂直于同一平面的两个平面可以相交也可以平行， 故C不对．由于垂直于同一平面的两条直线平行，故D正确．
2. (2010·陕西)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形， PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E、F分别是PB，PC的 中点．
变式1-1 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外的一 点，在四棱锥P-ABCD中，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G 和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.
证明：如图，
连接AC交BD于O，连接MO， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=OC， 又∵PM=MC， ∴AP∥MO. ∵AP⊄平面DBM，MO⊂平面DBM， ∴AP∥平面DBM. ∵平面APGH∩平面DBM=GH， ∴AP∥GH.
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1. (2010·山东)在空间，下列命题正确的是( ) A. 平行直线的平行投影重合 B. 平行于同一直线的两个平面平行 C. 垂直于同一平面的两个平面平行 D. 垂直于同一平面的两条直线平行 知识准备：1. 理解平行投影、中心投影的概念； 2. 知道平面与平面的位置关系； 3. 知道线面平行与垂直的判定与性质．