2. 数学建模(高等数学)案例

数学建模案例
对于第3条假设中订货可以瞬时完成，可解释为 由于需求是确定和已知的，只需要提前订货，使得贮 存量为零时立即进货即可。当然，贮存量降到零不符 合实际生产的需要，应该有一个最低库存量，可以认 为模型中贮存量是在这个最低存量之上计算的。
模型 建立
订货周期T，订货量Q与每天需求量r之间满足
Q rT
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一致性存贮模型的库存曲线
库存量 (Q)
Q
最大库存量
Q 平均库存量 2
时间（t）
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问题 分析
不允许缺货的贮存数学模型
在不允许缺货的情况下，只考虑两种费用：
（1）订货时需付的一次性订货费；
（2）货物贮存费 至于货物本身的价格，下面将看到它与要讨论的 问题无关。 建立模型的目的是在单位时间内需求量为常数 的情况下，制订最优贮存策略。 即多长时间订一次货，每次订多少货，使总费用最小
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高等数学建模案例
文理学院数学系 金中
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贮存模型 背景 知识
工厂要定期地订购各种原料，在仓库里供生产 之用。商店要成批地购进各种商品，放在货柜中以 备零售。水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和航运。 无论是原料、商品还是水的贮存，都有贮存多少的 问题。原料、商品贮存得太多，贮存费用高；贮存 得太少，则无法满足需求。水库雨季蓄水过量，更 可能危及安全。当影响贮存量的因素包含随机性时， 如顾客对商品的需求，天气对蓄水的影响，需要建 立贮存模型。
式（4）、（5）没有影响。
（5）式表明，订货费c1越高，需求量越大，订货批量 Q应越大；贮存费c2越高，订货批量Q应越小，这些关系 当然是符合常识的，不过公式在定量上表明的关系却是 通过建模得到的。
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背景 知识 问 题 分 析
允许缺货的贮存数学模型
考察一个商店经理制订最优订货周期和最优订 货批量是经常碰到的问题。 设市场对某种商品的需求是确定的和已知的。仅是 允许缺货时因失去销售机会而使利润减少，减少的 利润可以视为因缺货而付出的费用。于是，这个模 型的第1、2条假设条件与不允许缺货的贮存模型相 同，而第3条改为： （3）每隔T天订货Q吨，允许缺货，每天每吨货物 缺货费为c3
（ 3）
C C 0 , 0，可以求出T，Q的最优值 利用微分法，令 T Q
分别记作T ´，Q´，有
T 2c1 c 2 c3 rc 2 c3 c3 2rc1 Q c 2 c 2 c3
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若记
c2 c3 c3 ( 1)
（ 3）
则与不允许缺货的贮存模型相比有
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库存问题与库存曲线
假设： 1. 在总需求一定的情况下，等量地分批进货，并以均匀的速度 消耗这些原料（或商品）； 2. 当一批原料（或商品）用完的时候，下一批原料（或商品） 可以瞬间入库进行补充而忽略不计搬运入库的时间，从而不 会有停工待料（或缺货）的现象发生。
即“一致需求，均匀消耗，瞬间入库，不许短缺” 在此假设下建立的模型叫“一致性存贮模型”。
1 C c1 c 2 rT 2 2
（ 2）
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这个贮存模型的目标函数不能是一个周期的总费用 C
而应取作每天的平均费用，记作C(T)，显然
C c1 1 C (T ) c 2 rT T T 2
（ 3）
模型分析
制订最优贮存策略归结为求订货周期T，使C(T)最小。
dC 利用微分法，令 0 dT
最近供货方胜利集团为了进一步开拓市场，提出 了“一次性订货600吨或以上者，价格可以优惠5%” 的条件，那么，东风化工厂该不该接受这个条件呢？
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模型 假设
为了叙述方便，设时间以天为单位，货物以吨 为单位，每隔T天订一次货（T称为订货周期）。 订货量为Q吨。
订货费、贮存费及单位时间需求量均为已知常数。 模型要以总费用为目标函数确定订货周期T和订货 量的最优值。假设条件可归纳如下： （1）每次订货费为c1,每天每吨货物贮存费为c2； （2）每天的货物需求量为r吨； （3）每T天订货Q吨，当贮存量降为零时，订货立即 到达。
（ 1）
订货后贮存量由Q均匀地下降，记任意时刻t的贮 存量为q，则q(t)的变化规律可以用图1表示
数学建模案例 q
Q A r T 图1 t
0
考察一个订货周期的总费用：订货费为c1; 贮存费是
c2 q(t )dt 其中积分恰等于图中三角形的面积为A，显然
0 T
1 A QT 2
由（1）可知，一个订货周期T内的总费用为
，不难求得 （ 4）
2c1 r c2
T
2c1 rc 2
再根据（1）有，
Q
（ 5）
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Q
2c1 r c2
（ 5）
这就是经济理论中著名的经济订货批量公式（EOQ公式） 货物本身的价格可不考虑，这是因为若记每吨货 的价格为k，则一周期的总费用 C 中应添加kQ，由于
Q rT 所以公式（3）中增加一常数项kr，对求解结果
于是总费用为
1 1 C c1 c 2 QT1 c3 r (T T1 ) 2 2 2
（ 2）
模型的目标函数仍为每天的平费用。
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模型分析
将（2）代入（1），可知平均费用是T和Q的二元函数 记作C（Q，T），且
c1 c2 Q 2 c3 (rT Q) 2 C (Q, T ) T 2rT 2rT
T T
Q Q
即允许缺货时订货周期应增大，而订货批量应减 少，当缺货费c3越大时，T´和Q´就越接近T，Q。分析 知，缺货造成的损失越大时，越不允许缺货。
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该不该接受供货商的优惠条件？
东风化工厂每年生产所需的12000吨化工原料都 是由胜利集团以每吨500元的价格分批提供的，每次 去进货都要支付400元的手续费，而且原料进厂以后 还要按每月5元的价格支付库存费。
即假设条件改为：
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模型假设
（1）每次订货费为c1,每天每吨货物贮存费为c2；
（2）每天的货物需求量为r吨；
（3）每隔T天订货Q吨，允许缺货，每天每吨货物 缺货费为c3 q
模型建立
Q A r
T
缺货时贮存量q视作负值， T1 q(t)如图2所示；货物在t=T1 0 B 时售完，有一段时间缺货 （这时需求量仍为r，在t=T 时下一次订货量Q到达。
t 图2
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于是
Q rT1
（ 1）
T
一个订货周期T内的总费用：订货费c1; 贮存费c2 0 q(t )dt ,
c3 | q(t ) | dt，其中积分等于三角形面积B，易知
T1
1 其中积分等于图中三角形面积A， A QT1，缺货费 2 T
B
1 r (T T1 ) 2 2