数论综合一(学生版)

学科培优数学

“数论综合一”

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知识定位

在近几年的重点中学小升初分班考试中，数论题目的分值大都超过了行程问题，占据了考试内容最显著的地位！数论题目灵活多变，能较充分考察你思维的开拓性、方法技巧的综合运用能力、创新及细心程度，易于分开学生层次。数论问题按知识体系大体可分为：整除问题、余数问题、奇偶问题、质数合数、约数倍数，这几大板块我们在之前的学习中已经都接触过了，但它们并不是数论的全部，细心的你会发现在数论这个大家族中还有一些“特别身影”，它们也是帮你解决数论问题的法宝。比如最大最小问题、关于取整运算、尾数问题、二进制应用、一些特殊变形问题等。

知识梳理

涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．

例题精讲

【试题来源】

【题目】从1开始由小到大按顺序取自然数，第一次取一个数，第二次取两个数，第三次取三个数，以后继续按照每次取一个、两个、三个的方式重复进行，第（）次取的数之和为573。

【试题来源】

【题目】小明写自然数从1到N，所写下的数字之和是28035，则N=？

【试题来源】

【题目】从1到1001的所有自然数按格式排列，用一个正方形框子框出九个数，要使这九个数的和等于（1）1995，（2）2529，（3）1998问能否办到？若能办到，请你写出正方形框里的最大数和最小数。

【试题来源】

【题目】如果四个两位质数a，b，c，d两两不同，并且满足，等式a+b=c+d．那么，

(1)a+b的最小可能值是多少?

(2)a+b的最大可能值是多少?

【试题来源】

【题目】如果某整数同时具备如下3条性质：

①这个数与1的差是质数；

②这个数除以2所得的商也是质数；

③这个数除以9所得的余数是5．

那么我们称这个整数为幸运数．求出所有的两位幸运数．

【题目】图中两个圆只有一个公共点A ，大圆直径48厘米，小圆直径30厘米．两只甲虫同时从A 出发，按箭头所指的方向以相同的速度分别爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远?

【试题来源】

【题目】有8个盒子，各盒内分别装有奶糖9，17，24，28，30，31，33，44块．甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁3人所取走．已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的2倍．问：甲取走的一盒中有多少块奶糖?

习题演练

【试题来源】

【题目】用a ，b ，c ，d ，e 分别代表五进制中五个互不相同的数字，如果(ade)5，(adc)，(aad)是由小到大排列的连续正整数，那么(cde)所表示的整数写成十进制的表示是多少?

555

【题目】将自然数按从小到大的顺序排列成螺旋形，2处拐一个弯，在3处拐第二个弯，在5处拐第三个弯…，问拐第20个弯的地方是哪个数。

【试题来源】

【题目】把连续奇数1、3、5、7……，按右边的方法排列。问：数1995在哪条射线上？是这射线的第几个数？

【试题来源】

【题目】一个正整数，如果用７进制表示为abc，如果用５进制表示为cba，请用10进制表示这个数.

【试题来源】

【题目】甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数，这个五位数的后四位是1031。如果甲数的数字和是10，乙数的数字和是8，那么甲、乙两数和是多少？

【试题来源】

【题目】有43位同学，他们身上带的钱数从8分到5角，钱数各不相同，每个同学都把身上全部的钱各自买了画片。画边有两种：3分钱一张的，和5非钱一张的。每人尽可能多卖5分钱一张的画片。问，他们能买的3分钱画片的总数是多少张？

【试题来源】

【题目】对于由1~5组成的无重复数字的五位数，如果它的首位数字不是1，那么可以进行如下

的一次置换操作：记首位数字为k，则将数字k与第k位上的数字对换．例如，24513

可以进行两次置换：24513→42513→12543．可以进行4次置换的五位数有多少个？

【试题来源】

【题目】有4个不同的数字共可组成18个不同的4位数。将这18个不同的4位数由小到大排成一排，其中第一个是一个完全平方数，倒数第二个也是完全平方数。那么这18个数的平均数是多少？

【试题来源】

【题目】有些三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字的和就减少到原来三

位数的1

3

．求所有这样的三位数．

【试题来源】

【题目】有1、A、B、C四个整数，满足A＋B＋C＝2001，而且1＜A＜B＜C。这四个整数两两求和得到六个和，把这六个数按从大到小排列起来，恰好构成一个等差数列。请问：A、B、C分别是多少？

【试题来源】

【题目】在一个国家里，国王要建N个城市，在城市之间建N-1条道路，使得从每个城市都能到达另一个城市(每条道路连接两个城市，道路不相交，不穿过其它城市)且一个城市到另

一个城市最短路线分别为1,2,3,…，

2)1

(

N

N

。若(1) N＝6；(2) N＝2006；国王的要求能否办到?

【试题来源】

【题目】有13个不同自然数，它们的和是100．问其中偶数最多有多少个?最少有多少个?

【试题来源】

【题目】设A共有9个不同的约数，B共有6个不同的约数，C共有8个不同的约数，这三个数中的任何两个都不整除，则这三个数之积的最小值是多少？

【试题来源】

【题目】有一列数，第一个数是100，第二个数是76，从第三个数起，每个数都是前面两个数的平均数，那么第2009个数的整数部分是。

【试题来源】

【题目】若自然数n使得竖式加法n＋（n＋1）＋（n＋2）不产生进位现象，便称n为“跃进数”。例如12是“跃进数”，因为12＋13＋14做竖式加法不产生进位现象；而13不是“跃进数”。那么不超过1000的“跃进数”共有个。

【试题来源】

【题目】讲1到101写在黑板上，得到12345678910111213……100101，先删去这个数中从左到右数所有位于奇数位上的数字，再删去所得的数中所有位于奇数位上的数字，…….，依次类推，那么最后删去的数字是______

【试题来源】

【题目】有一路公共汽车，包括起点和终点站在内，共有15个车站。如果有一辆车，除终点站外，每一站上车的乘客中，恰好各有一位乘客从这一站到以后的每一站。为了使每位乘客都有座位，问这辆公共汽车至少要有多少个座位？