数学物理方程数学物理一PPT课件

f
( x,
y, z, t )
2u a2 2u
t 2
x 2
线性的
否则成为非线性的，如u u xt u 0 一阶非线性
偏1.3分半方线程性中微ut 分所 c方有 u程最 ux、高拟x3线阶u3偏性t 0导 方程数半x都线是性线偏性 微分的方，程而其系数 不如含果有其未 系vutt 知 数vv函含 xvux数有 cu及 u未2xv其知ux低函 00阶数偏及拟导其线数低性,阶 称一偏 阶作偏导 半微数 线分， 性方则 的程称组；作拟线性
方程古典解的存在唯一性和求解方法。这些研究方法大多都
联系着相应的物理模型进行的，所以19世纪偏微分方程的内容
也称为数学物理方程.
19世纪打开偏微分方程研究热烈局面的第一人是Fourier。
当时工业上要研究金属冶炼和热处理，迫切需要确定金属内部 各点的温度如何随时间变化！Fourier对这种热流动问题颇有兴
§1绪论
• 数学物理方程是数学建模的最好例证，从 中我们可以学习如何将一个实际问题通过 适当的简化和假设，用适当的数学结构来 表示，即如何建立一个实际问题的数学模 型，然后求解该模型，模型的解能否解释 实际问题的现象。也就是说求得的解是否 能够描述实际问题，这要通过物理实验来 验证。这一过程就是科学研究所需要的或 者说必经的过程。我们从所学的三类方程 中可以看到数学的抽象性而决定的数学模 型应用的广泛性，经典方程的经典解法具 有的一般性和普适性。
法国数学家、物理学家首先给出弦振动方程（1747年）：
2u a2 2u
t 2
x 2
2u 2u 2u x 2 y2 z 2 0
2u t 2

a2
(
2u x 2

2u y 2

2u z 2 )
并给出其解：u( x,t) 1 [(at x) (at x)]
位势方程的研究者拉普拉斯 （法1749-1827）
傅立叶（法1768----1830）--热传 导方程的研究先驱
柯西（法1789-1857） 黎曼（德1826-1866）
二、 关于偏微分方程的基本概念
1.1.方程的阶
包含在偏微分方程中的未知函数的偏导数的最高阶数.
2u a2 2u
t 2
§1绪论
一、本课程的研究对象
数学物理方程是以物理理论和实际问题为研究基础和背景
研究方法是数学分析，工具是偏微分方程理论.
本课程主要内容：介绍三种典型物理方程的求解方法.
我们把描述物理现象的偏微分方程称作数学物理方程.
什么是偏微分方程？
含有未知多元函数及其偏导数的等式称作偏微分方程.
例1 u(x, y, z,t)描述某一物体在某一时刻其内部某一点处温度
2
这引起伯努利家族、欧拉等人对弦振动的深入研究。
1752年欧拉在论文中首次出现位势方程！后来因为拉普拉斯的
出色工作，称作拉普拉斯方程. 1759年欧拉在在研究矩形鼓和球面波时建立了二维、三维波动方程
到了19世纪随着物理科学发展的不断深入方展，作为其数学模型 的偏微分方程，空前繁荣起来.众多数学家系统地研究各类偏微分
t 2
x 2
称作振动方程
例4描述梁的横振动时其位移u( x,t)所满足的方程
2u t 2

a
2
4u x4
f (x,t)
例5 描述静电、磁场的力函数u和位函数v所满足的方程
u x

v y

0

v
x

Fra Baidu bibliotek
u y

0
二、数学物理方程的起源
偏微分方程诞生于18世纪。19、20世纪是其迅速发展时期.
x 2
2u a2 4u
t 2
x 4

u x

v y

0


v x

u y

0
二阶偏微分方程 四阶偏微分方程
一阶偏微分方程组
1.2 线性微分方程
出现在偏微分方程中的未知函数和其偏导数都是线性的.
u t

a
2
(
2u x 2

2u y 2

2u z 2 )
2u y 2

2u z 2
（0 laplace的位势方程）
u a2 2u（Fourier的热传导方程）
t
x 2
18世纪著名数学家、物理学家 达朗贝尔（1717-1783欧拉（1707-1783））
弦振动的研究先驱
欧拉 - -球面波研究先驱
数学物理方程中的著名数学家物理学家
x
y
1.4非齐次、齐次偏微分方程
在线性偏微分方程中，不含有未知函数及偏导数的非零项称作 非齐次项。含有非奇次项的方程称之为非齐次方程；否则称作
趣.1807年想巴黎科学院提交了用数学研究热传导的论文。
u a2 2u ,
t
x 2
并创立了所谓的分离变量法！他的研究是沿用18世纪数学物理界流行的
“形式”风气进行的.却在理论上因为缺乏严格性而遭到质疑.
Fourier用实验的方法验证了任何函数都可以展开成三角级数的 形式。但他没有给出证明和函数可以展开成级数应该具备的条
本课遇到一二阶线性偏微分方程的一般表达形式
一阶线性偏微分方程的一般表达形式
a(x, y) u b(x, y) u c(x, y)u f (x, y)
x
y
二阶线性偏微分方程的一般表达形式
A( x,
y)
2u x2

2B(x,
y)
2u xy

C(x,
y)
2u y 2
D(x, y) u E(x, y) u F (x, y)u G(x, y) 0
u a2 ( 2u 2u 2u) f ( x, y, z,t) 热传导方程
t
x 2 y 2 z 2
例2
2u 2u 2u 0
x 2 y 2 z 2
称作拉普拉斯方程
例3 描述弦（杆）振动时其位移u( x, t )所满足的方程
2u a2 2u
件。1829年德国数学家狄里赫雷给出了严格的证明.
19世纪对数学物理方程有重要贡献的另外是法国两位数学家 Poisson和Laplace和英国数学家格林以及德国数学家黎曼..
这三类方程及其求解构成数学物理方程的主要内容
2u t 2

a
2
2u x 2
(达朗贝尔的弦振动方程）
2u x 2