2021年高中数学4.4参数方程4.4.4平摆线与圆的渐开线课后训练苏教版选修

2021年高中数学4.4参数方程4.4.4平摆线与圆的渐开线课后训练苏教版

选修

1．渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的焦点坐标为________．

2．已知一个圆的参数方程为(θ为参数)，那么圆的平摆线方程中与参数对应的点A与点B之间的距离为__________．

3．已知圆的方程为x2＋y2＝4，点P为其渐开线上一点，对应的参数，则点P的坐标为________．

4．已知圆的渐开线的参数方程是

(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数时对应的曲线上的点的坐标为________．

5．参数方程(φ为参数)表示的曲线是__________．

6．平摆线(0≤t≤2π)与直线y＝2的交点的直角坐标是__________．

7．如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH…的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是__________．

8．我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的平摆线

(φ为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为__________．

9．已知平摆线的生成圆的直径为80 mm，写出平摆线的参数方程，并求其一拱的拱宽和拱高．

10．已知圆的渐开线(φ为参数，0≤φ＜2π)上有一点的坐标为(3,0)，求渐开线对应的基圆的面积．

参考答案

1.答案：(，0)和(，0)

解析：根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r＝6，其方程为x2＋y2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为，整理可得，这是一个焦点在x

轴上的椭圆．c==(，0)和(，0)．

2.答案：

解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的平摆线的参数方程为(φ为参

数)，把代入参数方程中可得

π

3(1),

2

3,

x

y

⎧

=-

⎪

⎨

⎪=

⎩

)即.

∴|

AB==

3.答案：(π，2)

解析：由题意，圆的半径r＝2，其渐开线的参数方程为(φ为参数)．

当时，x＝π，y＝2，故点P的坐标为(π，2)．

4.答案：2

解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当时对应的坐标，只需把代入曲线的参数方程，得，，由此可得对应的点的坐标为.

5.答案：半径为3的圆的渐开线

解析：由参数方程的形式可直接得出答案．

6.答案：(π－2,2)或(3π＋2,2)

解析：由y＝2得2＝2(1－cos t)，∴cos t＝0.∵0≤t≤2π，∴或.∴x1＝＝π－2，

2

33

2πsinπ3π2 22

x

⎛⎫

-

⎪

⎝⎭

＝＝＋

∴交点的直角坐标为(π－2,2)或(3π＋2,2)．

7.答案：5π

解析：根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.

8.答案：(φ为参数)

解析：关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出平摆线方程关于直线y＝x的对称曲线方程，只需把其中的x与y互换．

9.解：∵平摆线的生成圆的半径r＝40 mm，∴此平摆线的参数方程为(t为参数)，它一拱的拱宽为2πr＝2π×40＝80π(mm)，拱高为2r＝2×40＝80(mm)．

10.解：把已知点(3,0)代入参数方程

得

解得

所以基圆的面积S＝πr2＝π×32＝9π.