积分变换第二章课件
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积分变换二章12节-PPT精选文档
变换或者不存在，或者为非常义下的广义函 数给应用带来很大的不方便。
对于任意一个函数 (t ), 能否经过适当地改造
使其进行Fourier变换时克服上述两个缺点？
3
首先将(t) 乘上u(t), 这样t小于零的部分的
函数值就都等于0了.
而大家知道在各种函数中, 指数函数ebt (b>0)
的上升速度是很快的了, 因而e-bt下降的速度也 是很快的.
1 e - ( s - k ) t 1( R e ( s ) k ) . s - k 0 s - k
其实k为复数时上式也成立, 只是收敛区间为 Re(s)> Re(k).
ekt 1 s-k
9
2.拉氏变换的存在定理 若函数f(t)满足: (1). 在t0的任一有限区间上分段连续; (2). 当t时, f(t)的增长速度不超过某一指数函 数, 即存在常数M>0及c0, 使得
0
0
b 其 中 s j,f( t)( t) u ( t)
若再设F(s)Gb
s-b
j
则 得 F(s)f(t)e-stdt 0
6
定义 设函数f(t)当t0时有定义, 而且积分
f(t)e- std t (s是 一 个 复 参 量 ) 0
在s的某一域内收敛, 则由此积分所确定的函数可写
第二章 Laplace变换
2.1 Laplace变换的概念 2.2 Laplace变换的性质 2.3 Laplace逆变换 2.4 卷积 2.5 Laplace变换的应用
1
§2.1 Laplace变换的概念
1 问题的提出 2 Laplace变换
存在定理 3 典型例题
2
1.问题的提出
对于任意一个函数 (t ), 能否经过适当地改造
使其进行Fourier变换时克服上述两个缺点？
3
首先将(t) 乘上u(t), 这样t小于零的部分的
函数值就都等于0了.
而大家知道在各种函数中, 指数函数ebt (b>0)
的上升速度是很快的了, 因而e-bt下降的速度也 是很快的.
1 e - ( s - k ) t 1( R e ( s ) k ) . s - k 0 s - k
其实k为复数时上式也成立, 只是收敛区间为 Re(s)> Re(k).
ekt 1 s-k
9
2.拉氏变换的存在定理 若函数f(t)满足: (1). 在t0的任一有限区间上分段连续; (2). 当t时, f(t)的增长速度不超过某一指数函 数, 即存在常数M>0及c0, 使得
0
0
b 其 中 s j,f( t)( t) u ( t)
若再设F(s)Gb
s-b
j
则 得 F(s)f(t)e-stdt 0
6
定义 设函数f(t)当t0时有定义, 而且积分
f(t)e- std t (s是 一 个 复 参 量 ) 0
在s的某一域内收敛, 则由此积分所确定的函数可写
第二章 Laplace变换
2.1 Laplace变换的概念 2.2 Laplace变换的性质 2.3 Laplace逆变换 2.4 卷积 2.5 Laplace变换的应用
1
§2.1 Laplace变换的概念
1 问题的提出 2 Laplace变换
存在定理 3 典型例题
2
1.问题的提出
积分变换 ppt课件
16
可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示,
这个线段的长度表示d-函数的积分值, 称为d-函数
的强度.
d (t)
1
O
t
d-函数有性质：
d d (t)f(t)dtf(0)及 (tt0)f(t)dtf(t0).
（ ft为 连 续 函 数 ）
可见d-函数和任何连续函数的乘积在实轴上的
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个
函数能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电
流强度, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记
成d-函数:
d
t
0
t 0 t 0
有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量,
例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技
பைடு நூலகம்
术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的
F() f(t)eitdt 1 eitdt eit 1
1
i
1
1 eiei 2sin
i
f(t)21
F()eitd1
F()costd
0
102s incostd20sin costd
9
例 2求 指 数 衰 减 函 数 f(t) e 0 ,t,
t0的 傅 氏 变 换 及 其 t0
积 分 表 达 式 ,其 中 0.
如果成立
F(w) f(t)ejwdt t
f(t)1 F(w)ejwdt w
2
并称F(ω)为f (t)的象函数
或付里叶变换，记为
F[f(t)]；称f (t)为F(ω)的象 原函数或付里叶逆变换，
记为F-1[F(ω)]
8
例1
求矩形脉冲函数
积分变换-2 拉普拉斯变换
f (t + T ) = f (t) t > 0
且 f (t)在一个周期内分段连续，则有 T 1 st F(s) = f (t)e dt (Re s > 0) sT ∫ 0 1 e
2-2 Laplace变换的基本性质 Laplace变换的基本性质
1、线性性质 2、相似性质 3、延迟性质 4、位移性质 5、微分性质 6、积分性质 7、卷积与卷积定理
2-1 Laplace变换的概念 Laplace变换的概念
（1）Laplace变换实际上就是一种单边的广 Laplace变换实际上就是一种单边的广 义的Fourier变换。 义的Fourier变换。 （2）Laplace变换的复反演积分公式： Laplace变换的复反演积分公式 复反演积分公式：
1[F(s)] = 1 β + j∞F(s)est ds (t > 0) f (t) = L 2πj ∫β j∞
2-1 Laplace变换的概念 Laplace变换的概念
如何克服上述两个缺点？ （1）单位阶跃函数
1, t ≥ 0 H(t) = 0, t < 0 用H(t)乘以 f (t)，这样得到的 f (t)H(t)，在
t < 0时就等于零，在 t ≥ 0 时仍为 f (t) ， 就有可能使其积分区间由 ( ∞,+∞) 变为 [0,+∞)
2-1 Laplace变换的概念 Laplace变换的概念
Fourier变换的局限： Fourier变换的局限： （1）绝对可积的条件较强，许多简单的常见函数 （如单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数以及线 性函数等）都不满足这个条件，都不能作古典的 Fourier变换。 Fourier变换。 （2）可以进行Fourier变换的函数必须在整个数轴 ）可以进行Fourier变换的函数必须在整个数轴 上有定义，但在物理和无线电技术等实际应用中， 许多以时间t 许多以时间t作为自变量的函数往往在 t <0 时是无意义的或是不需要考虑的，像这样的函数 都不能取Fourier变换。 都不能取Fourier变换。
积分变换第二章课件4
积分变换
若
F
s
1
s2 s2
2
,
求
f
t.
因为
F s
s2 1 s2
ss
2
s2
1
s2
1
所以
f
t
L
1
s
2
s
1
s s2 1
cos t
∗
cos t
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t
0
Байду номын сангаасcos
cos
t
d
1 2
t
0
cos
t
cos 2
t
d
1 t cos t sin t
2
积分变换
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第第‹#5›页
∗ ∗ ∗
∗ ∗
2.卷积的运算性质
3） f1(t ) f2(t ) f3(t ) f1(t) f3(t) f2(t) f3(t)
即卷积满足分配律.
4）对卷积,有下面的不等式成立：
积分变换
f1(t) f2(t) f1(t) f2(t)
即函数卷积的绝对值不大于函数绝对值的卷积.
由于二重积分绝 对可积,可以交 换积分次序.
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第第‹1#0›页
二、卷积定理
积分变换
∗
L [ f1(t ) f2 (t )]
0
f1
(
)
f
2
(t
)
e
st
d
t
d
令 t u, 则
f2 (t ) estd t
0
f2 (u) e s(u )d u
积分变换第02讲
5
例2 求指数函数 f (t)=e kt 的拉氏变换(k为实数). 根据拉氏变换的定义, 有
L[ f (t)] = ∫ e e dt = ∫ e−(s−k)tdt
0 0 +∞ kt −st +∞
这个积分在Re(s)>k时收敛, 而且有
∫
+∞
0
e
−(s−k)t
1 −(s−k)t +∞ 1 dt =− e = 0 s −k s −k
F(s) = ∫ f (t)e−stdt 0 在半平面Re(s)>c上一定存在, 并且在Re(s) > c的
半平面内, F(s)为解析函数.
7
+∞
Mect f (t) M O t
8
说明：由条件2可知, 对于任何t值(0≤t<+∞), 有 | f (t)e st |=| f (t)|e−βt ≤ Me−(β−c)t, Re(s)=β, 若令β−c ≥ ε >0 (即β ≥ c+ε = c1>c), 则 | f (t)e−st| ≤ Me−εt. 所以 ∫
1
§1 Laplace变换的概念 t<0 0, 设指数衰减函数ϕ (t ) = − β t ( β > 0). e , t ≥ 0
考虑 f ( t ) t ∈ ( −∞, +∞ ) ,有 f ( t ) u ( t ) =f ( t ) t ≥ 0. 若存在 β > 0, 使 lim e
t →∞ −βt −βt
解 : 根据(2,1)式, 有
+∞ 0
= 1.
例7 : 求函数f (t ) = e − βtδ (t ) − βe − βt u (t ) ( β > 0)的拉氏变换.
例2 求指数函数 f (t)=e kt 的拉氏变换(k为实数). 根据拉氏变换的定义, 有
L[ f (t)] = ∫ e e dt = ∫ e−(s−k)tdt
0 0 +∞ kt −st +∞
这个积分在Re(s)>k时收敛, 而且有
∫
+∞
0
e
−(s−k)t
1 −(s−k)t +∞ 1 dt =− e = 0 s −k s −k
F(s) = ∫ f (t)e−stdt 0 在半平面Re(s)>c上一定存在, 并且在Re(s) > c的
半平面内, F(s)为解析函数.
7
+∞
Mect f (t) M O t
8
说明：由条件2可知, 对于任何t值(0≤t<+∞), 有 | f (t)e st |=| f (t)|e−βt ≤ Me−(β−c)t, Re(s)=β, 若令β−c ≥ ε >0 (即β ≥ c+ε = c1>c), 则 | f (t)e−st| ≤ Me−εt. 所以 ∫
1
§1 Laplace变换的概念 t<0 0, 设指数衰减函数ϕ (t ) = − β t ( β > 0). e , t ≥ 0
考虑 f ( t ) t ∈ ( −∞, +∞ ) ,有 f ( t ) u ( t ) =f ( t ) t ≥ 0. 若存在 β > 0, 使 lim e
t →∞ −βt −βt
解 : 根据(2,1)式, 有
+∞ 0
= 1.
例7 : 求函数f (t ) = e − βtδ (t ) − βe − βt u (t ) ( β > 0)的拉氏变换.
积分变换第二章课件6
j
则得
F (s) f (t )estd t 0
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第第‹#2›页
Laplace变换的概念
积分变换
设函数 f (t) 当t 0时有定义, 而且积分
f (t)estd t (s为一个复参量) 0
在s的某一域内收敛, 则由此积分所确定 的函数可写为
F (s) f (t)estd t 0
L [ f n(t)] snF(s) sn1 f 0 sn2 f 0 f n1 0
n1
snF (s) sn1i f i 0 Re s c i0
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第第‹#6›页
Laplace变换的性质
积分变换
特别得，当 f 0 f 0 f n1 0 0时，有
F(s) L [tf (t)]Res c
推论:
F (n)(s) 1n L [tn f n (t)] Re s c
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第第‹#8›页
Laplace变换的性质
积分变换
三、积分性质
如果L
f (t) F s,则 L
t
0
f
(t
)dt
1 s
F
s
t
t
t
1
L
dt
0
函数 f (t) 的Laplace变换式
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第第‹#3›页
Laplace变换的概念
积分变换
记作: F(s) L [ f (t)], F (s)
称为 f (t) 的Laplace变换.
若F(s) 是 f (t) 的Laplace变换,则称 f (t)
为 F(s) 的Laplace逆变换.
积分变换第2讲傅氏变换
证明F (1）= 2d()，因为
F 1 2d () 1 2d () ejtd 1
2
所以1和2d() 构成傅氏变换对.
同理, 因为
F 1 2d ( 0 )
1
2
2d
(
0 ) ejtd
e j0t
所以，F（ej0t）= 2d ( 0 )
F
1
1[F()]= 2
F () ejtd f t
付氏积分定理即为:
F -1 [F [f(t)] =1/2*( f(t+0)+f(t-0))
例1
求函数f
(t)
0, et ,
t 0的傅氏变换及 t0
其积分表达式,其中 0.这个f (t)叫做指数
O
(即：d
(
f
)
lim
0
d
(
f
))
即 f C
d f
d (t) f (t)d t @lim
0
d (t) f (t) d t
则 可得 d f f 0
可证
lim
0
d (t) f (t)d t
f (0)
0
1 cost
Fc ( f (t))
f
(t ) cost
d
t
sint
0
2. 单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函 数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在 电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电 势作用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械 系统受冲击力作用后的运动情况等. 研究此类 问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.
复变函数与积分变换第二章_解析函数
z0 可微等价.
与一元实函数类似, 记
df ( z0 ) f ( z0 ) z f ( z0 ) dz ,
称之为 f ( z ) 在 z0 处的微分. 如果函数 f ( z ) 在区域D内处处可微, 则称
f ( z ) 在区域D内可微, 并记为
df ( z ) f ( z ) dz .
也称 z0 是 f ( z ) 的解析点. (2) 若 f ( z ) 在区域D内每一点都解析，则称
f ( z ) 在区域D内解析, 或者称 f ( z ) 是区域D内的
解析函数.
(3) 设G是一个区域，若闭区域 D G , 且 f ( z ) 在G内解析，则称 f ( z ) 在闭区域 D 上 解析. 函数 f ( z ) 在 z0 处解析和在 z0 处可导意义 不同，前者指的是在 z0 的某一邻域内可导, 但后者只要求在 z0 处可导. 函数 f ( z ) 在 z0 处解析和在 z0的某一个邻 域内解析意义相同.
连续，但处处不可导.
定理1.1
例2.2 证明 f ( z ) x 2 yi 在复面内处处
设 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ), 则 f (x)
(3) 求导法则
复变函数中导数的定义与一元实函数
导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函
数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而
当 z0 0 时, 由 z zz , z0 z0 z0 得
2
2
f ( z ) f ( z0 ) z 2 z z0 2 z0
( z 2 z z0 2 z ) ( z0 2 z z0 2 z0 ).
f ( z ) f ( z0 ) 2 z z0 ( z z0 ) z z 0 . 故 z z0 z z0
复变函数与积分变换课件第2章
例：设f(z)在z0处连续，且f(z0)不等于0，那么可以
找到z0的一个邻域，在这个邻域内f(z)不等于0
1 导数的定义
定义 设函数w=f(z)在包含z0的某邻域D内有定义 ，点z0+⊿z∈D. 如果极限
f ( z0 Δ z ) - f ( z0 ) lim Δ z 0 Δz
存在, 则称f(z)在z0可导, 此极限值就称为f(z)在z0 的导数, 记作
பைடு நூலகம்
定义 如果函数f(z)不仅在z0可导，而且在z0的某 个邻域内的任一点都可导, 则称f(z)在z0解析。 如果f(z)在区域D内每一点解析, 则称f(z)在D内解 析, 或称f(z)是D内的一个解析函数(全纯函数 或正则函数)
如果f (z)在点z0不解析，就称z0是f (z)的奇 点。
(1) w=f (z) 在 D 内解析等价于在D内可导。 (2) 函数f (z)在 z0 点可导，未必在z0解析。 （3）函数在区域D内的点z处解析，则z 一 定是D的内点。
（4） f ( z ) z Re( z )
例3. 证明 sin ' z cos z
例4 如果f '(z)在区域D处处为零, 则f(z)在D内为一常
数 .
4.高阶导数
二阶及二阶以上的导数称为高阶导数
例 应用公式
sin( z
2
) cos z ,
（n) 求 sin z
1.解析函数的概念
例2
求f ( z) z 在z 0时的极限. z
z z0
例3 求极限 lim cos z 例4 证明 f ( z ) Re z
在z 0时的极限不存在 .
z
定理2
若 lim f ( z ) A lim g ( z ) B, 则
积分变换第二章 - 副本——复变函数与积分变换课件PPT
= 1 tes t 1 estdt
s
0 s0
1 s2
Re s 0
(t)
tu( t )
1 s2
Laplace变换存在定理
定理 设函数 f (t) 在 t 0 的任何有限区间 内分段连续, 并且当 t 时, f (t)的增长速度不 超过某一指数函数, 即存在常数 M 0 和 s0 0,
sint
s2
2
cost
s2
s
2
例5 求 f (t) tn (n 1)的Laplace变换.
解 如果n是正整数, 则有
L tn
n! sn1
(Re(s) 0).
tn
n! sn1
当 n 1 不是正整数时, 利用复变函数论的
方法, 可求出
L[tn]
第2章 Laplace变换
§2.1 Laplace变换的概念 §2.2 Laplace变换的性质 §2.3 Laplace 逆变换 §2.4 Laplace变换的应用
Fourier积分存在定理
若函数 f (t)在任何有限区间上满足狄氏条件： 即函数在任何有限区间上满足: (1)连续或只有有限个第一类间断点; (2)至多有有限个极值点;
并且在(-∞,+∞)上绝对可积则有:
f (t) 1
2
f
(
)e
j
d
e
j
t
d
f (t)
f (t
0)
f (t
0)
2
t 为连续点; t 为间断点.
在(, )绝对可积是指的
|
f (t) |dt
收敛。
Fourier变换在许多领域中发挥着重要的作用, 但是在通常意义下，Fourier变换存在的条件需要 实函数f (t)在(-,+)上绝对可积. 很多常见的初等 函数(例如，常数函数、多项式函数、正弦与余弦 函数等)都不满足这个要求. 另外，很多以时间t 为 为自变量的函数，当t<0时，往往没有定义，或者 不需要知道t<0的情况. 因此, Fourier变换在实际 应用中受到一些限制.
复变函数与积分变换课堂PPT第二章
由加法定理, 可以推出exp z的周期性。 它的周期是 ,即
其中k为任何整数。这个性质是实变指数函数没有的。
2.对数函数
和实变函数一样，对数函数定义为指数函数的反 函数。将满足方程
的函数w = f (z)称为对数函数。令
,则
所以 因此
由于Arg z为多值函数，所以对数函数 w = f (z)为多 值函数，并且每两个值相差 的整数倍,记作
是两个互为
反函数的单值函数，且
。
iv) 微分的概念 设函数w =f (z)在z0可导, 则有
其中
因此,
是 的高阶无穷
小量, 而
是函数w=f (z) 的改变量 的线性部
分, 称为函数w = f (z)在点z0的微分, 记作
如果函数在z0的微分存在, 则称函数 f (z)在z0可微。
特别, 当f (z) = z时, 得
如果在曲线交点处 uy与 vy都不为零，由隐函数求导
法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为
和
利用柯西-黎曼方程得
例4 如果 f (z) = u + iv为一解析函数，且 f '(z)0， 则曲线族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2必互相正交，其中c1, c2为 常数。
[证] 利用柯西-黎曼方程得
例3 研究函数
和
的解析性。
[解] 由解析函数的定义与前面的例题可知，
在复平面内是解析的，而
却是处
处不解析的。下面研究
的解析性。
由于
如果 ，那么当
时，上式的极限是零。如果
，令
沿直线
趋于 ，由于k 的任意性，
不趋于一个确定的值。所以当
时，
的极限不存在。
因此，
其中k为任何整数。这个性质是实变指数函数没有的。
2.对数函数
和实变函数一样，对数函数定义为指数函数的反 函数。将满足方程
的函数w = f (z)称为对数函数。令
,则
所以 因此
由于Arg z为多值函数，所以对数函数 w = f (z)为多 值函数，并且每两个值相差 的整数倍,记作
是两个互为
反函数的单值函数，且
。
iv) 微分的概念 设函数w =f (z)在z0可导, 则有
其中
因此,
是 的高阶无穷
小量, 而
是函数w=f (z) 的改变量 的线性部
分, 称为函数w = f (z)在点z0的微分, 记作
如果函数在z0的微分存在, 则称函数 f (z)在z0可微。
特别, 当f (z) = z时, 得
如果在曲线交点处 uy与 vy都不为零，由隐函数求导
法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为
和
利用柯西-黎曼方程得
例4 如果 f (z) = u + iv为一解析函数，且 f '(z)0， 则曲线族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2必互相正交，其中c1, c2为 常数。
[证] 利用柯西-黎曼方程得
例3 研究函数
和
的解析性。
[解] 由解析函数的定义与前面的例题可知，
在复平面内是解析的，而
却是处
处不解析的。下面研究
的解析性。
由于
如果 ，那么当
时，上式的极限是零。如果
，令
沿直线
趋于 ，由于k 的任意性，
不趋于一个确定的值。所以当
时，
的极限不存在。
因此，
第二章 卷积积分与积分变换ppt课件
F(t)(t)dtF()
(b)δ(t)为偶函数，即 δ(t) = δ(t)
2 脉冲响应
例：设如图所示单自由度系统在t = 0以前静止， 在t = 0时受到脉冲力δ(t)的激励。 运动微分方程
m& x&cx&kxf(t)Fˆ(t)
x(0)0,x&(0)0
这里：0－表示小于零但无限接近于零的时刻， 0+表示大于零但无限接近于零的时刻。
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
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-1.5
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0.5
1
1.5
i
i3
i5
Re[
4
e ] i(2n1)0t
n1 i(2n1)
同样
2
dp
1 2 (ap
ibp )
ip
0
p 1,3,5,L p 2, 4, 6,L
g(t)
2
ei(2n1)0t
ni(2n1)
1
(b)δ(t)为偶函数，即 δ(t) = δ(t)
2 脉冲响应
例：设如图所示单自由度系统在t = 0以前静止， 在t = 0时受到脉冲力δ(t)的激励。 运动微分方程
m& x&cx&kxf(t)Fˆ(t)
x(0)0,x&(0)0
这里：0－表示小于零但无限接近于零的时刻， 0+表示大于零但无限接近于零的时刻。
0
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0.5
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-0.5
-1
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-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1
0.5
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
1
0.5
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
i
i3
i5
Re[
4
e ] i(2n1)0t
n1 i(2n1)
同样
2
dp
1 2 (ap
ibp )
ip
0
p 1,3,5,L p 2, 4, 6,L
g(t)
2
ei(2n1)0t
ni(2n1)
1
积分变换2-2.ppt
变 换
f (0) 应理解为 lim f (t). t 0
像函数的微分性质：
ℒ[tf (t)] F(s) (Re(s) c)
(2.2.4)
-4-
第二节 拉普拉斯变换的性质
或 ℒ 1[F(s)] tf (t) (t 0)
更一般的
第
ℒ[(t)n f (t)] F (n)(s)
二
章或
(Re(s) c)
解
ℒ [t
t et sin 2t dt] 0t
d[ ds
ℒ
[
t et sin 2t dt ]]
0t
二 章
d ds
[1ℒ s
et [
sin t
2t
]]
d ds
[1 s
ℒ
s
[et sin 2t]ds
拉 普 拉 斯
d1 2
[
ds s
s
(s 1)2 4 ds]
变 换
d
1
[(
arctan
s
1 ]
0
0
-3-
第二节 拉普拉斯变换的性质
注意到 | f (t )est | Me(Resc)t
因此当Re s c 时
第
二 章
lim f (t )est 0
t
拉 所以 ℒ[ f (t)] sF (s) f (0) (Re(s) c)
普
拉 斯
必须说明：对于在 t 0 处含有脉冲的函数 f (t),
二
章 更一般地有
(2.2.2)
拉 普
ℒ [ f (n)(t )] snF (s) sn1 f (0) f (n1)(0)
拉
(Re(s) c)
(2.2.3)