复变函数与积分变换第二章 ppt课件
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复变函数与积分变换第二章
故不连续。 故不连续。
( 2 )在负实轴上 ∀ P ( x , 0 )( x < 0 ) Q lim+ arg z = π
y→ 0 y→ 0
y z o z
(z)
lim− arg z = − π
∀P ( x ,0)
x
∴ arg z 在负实轴 上不连续。 上不连续。
定理2.3 连续函数的和、差、积、商 (分母不为 连续函数的和、 分母不为0) 定理 分母不为 仍为连续函数; 仍为连续函数 定理2.4 连续函数的复合函数仍为连续函数。 连续函数的复合函数仍为连续函数。 定理 定理2.5 定理 设 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ), 则 f (z)
z → z0
内处处连续， 若在区域 D 内处处连续，则称 f ( z )在 D 内连续 ; 若 z 、 z 0 ∈ C , 且 lim f ( z ) = f ( z 0 )，则称 f ( z )
z → z0
在曲线 C 上点 z 0处连续 .
证明f 在原点及负实轴上不连续。 例4 证明 (z)=argz在原点及负实轴上不连续。 在原点及负实轴上不连续 证明 (1) Q f ( z ) = arg z 在原点没有定义， 在原点没有定义，
复变函数的极限与连续性
1. 函数的极限 2. 相关定理 3.函数的连续性 函数的连续性
复变函数的极限
定义2.2 定义 设复变函数w=f(z)在z0的某个去心 在 设复变函数 邻域内有定义, 是复常数 是复常数. 邻域内有定义 A是复常数 若对任意给定的ε >0, 使得对一切满足0<|z-z0|<δ 的z , 都有 存在δ >0, 使得对一切满足
复变函数与积分变换-PPT课件
i i 1 2 1 2
推广至有限个复数的乘法
i i i n 1 2 z z z r e r e r e 12 n 1 2 n i ( ) 1 2 n r r r e 12 n
浙江大学
除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
n 1 1 n
浙江大学
x iy z1 x1 iy1 1 iy 1 x 2 2 x2 iy iy z2 x2 iy2 2 x 2 2
x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2
x y
2 2 2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w r (cos isin ) 0 n n 1 2 2 n w r (cos i sin ) 1 n n 1 4 4 n w r (cos i sin ) 2 n n
1 n
2 ( n 1 ) 2 ( n 1 ) w r (cos i sin )
z z ( z z ) e 3 1 2 1 1 3 ( 1i)( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z i 3 2 2
i 3
z3
z2
x
O
z1
3 3 1 3 z i 3 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z1
O 加法运算 x
z z z z 1 2 1 2
浙江大学
y
z1
z2
推广至有限个复数的乘法
i i i n 1 2 z z z r e r e r e 12 n 1 2 n i ( ) 1 2 n r r r e 12 n
浙江大学
除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
n 1 1 n
浙江大学
x iy z1 x1 iy1 1 iy 1 x 2 2 x2 iy iy z2 x2 iy2 2 x 2 2
x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2
x y
2 2 2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w r (cos isin ) 0 n n 1 2 2 n w r (cos i sin ) 1 n n 1 4 4 n w r (cos i sin ) 2 n n
1 n
2 ( n 1 ) 2 ( n 1 ) w r (cos i sin )
z z ( z z ) e 3 1 2 1 1 3 ( 1i)( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z i 3 2 2
i 3
z3
z2
x
O
z1
3 3 1 3 z i 3 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z1
O 加法运算 x
z z z z 1 2 1 2
浙江大学
y
z1
z2
复变函数与积分变换__第2章
连续 可导
复 变 函 数
解析
判 别 方 法 指数函数 对数函数 幂 函 数 三角函数 双曲函数
解析函数与调和 函数的关系
初等解析函数
第二章
解析函数
§2.1 解析函数的概念 §2.2 解析函数与共轭调和函数的关系 §2.3 初等函数
§2.1 解析函数的概念
1 复变函数的导数 2 解析函数的概念
一、复变函数的导数
三、柯西-黎曼方程
2. 区域解析的条件 定理 函数 w f ( z ) u( x, y ) i v( x, y ) 在区域 D 内解析的 充要条件是： u( x, y ) 和 v( x , y ) 在区域 D 内可微，且 满足 C R 方程。 推论 若函数 u( x, y ) 和 v( x , y ) 的四个偏导数 u x , u y , v x , v y 则函数 在区域 D 内存在且连续，并满足 C R 方程，
注解：
利用这些法则，我们可以计算常数、多项式以及
有理函数的导数，其结果和数学分析的结论基本 相同. 根据定理可知: 任务！！！
(1) 所有多项式在复平面内是处处解析的. 用定义讨论函数的解析 P ( z ) 寻求研究解 性绝不是一种好办法！ ( 2) 任何一个有理分式函数 在不含分母为 Q( z ) 析性的更好 的方法 零的点的区域内是解析 的, 使分母为零的点是
定理（函数在一点可导的充分条件）
设函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 定义在区域D 内, 则 f ( z ) 在 D内一点 z x yi 可(微)导的充分 条件是: (1) ux ,u y , v x , v y 在点 ( x , y )连续 ( 2 ) u( x , y ), v ( x , y )在点( x , y )满足C-R条件 u v u v , . x y y x
复 变 函 数
解析
判 别 方 法 指数函数 对数函数 幂 函 数 三角函数 双曲函数
解析函数与调和 函数的关系
初等解析函数
第二章
解析函数
§2.1 解析函数的概念 §2.2 解析函数与共轭调和函数的关系 §2.3 初等函数
§2.1 解析函数的概念
1 复变函数的导数 2 解析函数的概念
一、复变函数的导数
三、柯西-黎曼方程
2. 区域解析的条件 定理 函数 w f ( z ) u( x, y ) i v( x, y ) 在区域 D 内解析的 充要条件是： u( x, y ) 和 v( x , y ) 在区域 D 内可微，且 满足 C R 方程。 推论 若函数 u( x, y ) 和 v( x , y ) 的四个偏导数 u x , u y , v x , v y 则函数 在区域 D 内存在且连续，并满足 C R 方程，
注解：
利用这些法则，我们可以计算常数、多项式以及
有理函数的导数，其结果和数学分析的结论基本 相同. 根据定理可知: 任务！！！
(1) 所有多项式在复平面内是处处解析的. 用定义讨论函数的解析 P ( z ) 寻求研究解 性绝不是一种好办法！ ( 2) 任何一个有理分式函数 在不含分母为 Q( z ) 析性的更好 的方法 零的点的区域内是解析 的, 使分母为零的点是
定理（函数在一点可导的充分条件）
设函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 定义在区域D 内, 则 f ( z ) 在 D内一点 z x yi 可(微)导的充分 条件是: (1) ux ,u y , v x , v y 在点 ( x , y )连续 ( 2 ) u( x , y ), v ( x , y )在点( x , y )满足C-R条件 u v u v , . x y y x
复变函数和积分变换第2章解析函数.ppt
的可导性与解析性．
解由例2.1、例2.2知 在C 上可导， 在 上处处不可导，从而由导数的运
算法则知，函数f(z)=
在z≠0时不可导.当z=0时,可得
即 在z=0处可导．综上所述，函数f(z)= 仅在z=0可导，故在全平面 C上处处不解析． 由复变函数的求导法可推出解析函数的以下性质:
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复变函数与积分变换
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复变函数与积分变换
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定理2.2f(z)=u(x,y)+iυ(x,y)在某点z=x+iy可导的充分必要条件是 ①u(x,y),v(x,y)在点(x,y)处可微； ②在点(x,y)处有
此时f(z)的导数为
称式(2.3)为柯西—黎曼（Cauch-Riemann）方程，或简称为C.-R.条件．
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复变函数与积分变换
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下面我们列出复变函数导数的运算法则，其证明方法与微积分中方法类似. 如果函数f(z)，g(z)在区域D内可导，则在对任意z∈D有
②设函数ξ=g(z)在区域D内可导，w=f(ξ)在区域G内可导，且对于D内每一 点z，函数值ξ=g(z)均在区域G内，则对任意z∈D有
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2.1解析函数的概念 2.1.1复变函数的导数与微分 (1)复变函数的导数 把一元实变函数的导数概念形式推广到复变函数中来，就得到复变函数导数 的概念. 定义2.1设w=f(z)是定义在区域D内的复变函数，z0,z0+Δz∈D，若极限
存在，则称f(z)在点z0可导，这个极限值称为f(z)在z0的导数，记作
复变函数与积分变换
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第2章 解析函数
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复变函数与积分变换
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复变函数与积分变换第二章_解析函数
z0 可微等价.
与一元实函数类似, 记
df ( z0 ) f ( z0 ) z f ( z0 ) dz ,
称之为 f ( z ) 在 z0 处的微分. 如果函数 f ( z ) 在区域D内处处可微, 则称
f ( z ) 在区域D内可微, 并记为
df ( z ) f ( z ) dz .
也称 z0 是 f ( z ) 的解析点. (2) 若 f ( z ) 在区域D内每一点都解析，则称
f ( z ) 在区域D内解析, 或者称 f ( z ) 是区域D内的
解析函数.
(3) 设G是一个区域，若闭区域 D G , 且 f ( z ) 在G内解析，则称 f ( z ) 在闭区域 D 上 解析. 函数 f ( z ) 在 z0 处解析和在 z0 处可导意义 不同，前者指的是在 z0 的某一邻域内可导, 但后者只要求在 z0 处可导. 函数 f ( z ) 在 z0 处解析和在 z0的某一个邻 域内解析意义相同.
连续，但处处不可导.
定理1.1
例2.2 证明 f ( z ) x 2 yi 在复面内处处
设 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ), 则 f (x)
(3) 求导法则
复变函数中导数的定义与一元实函数
导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函
数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而
当 z0 0 时, 由 z zz , z0 z0 z0 得
2
2
f ( z ) f ( z0 ) z 2 z z0 2 z0
( z 2 z z0 2 z ) ( z0 2 z z0 2 z0 ).
f ( z ) f ( z0 ) 2 z z0 ( z z0 ) z z 0 . 故 z z0 z z0
复变函数与积分变换课件第2章
例：设f(z)在z0处连续，且f(z0)不等于0，那么可以
找到z0的一个邻域，在这个邻域内f(z)不等于0
1 导数的定义
定义 设函数w=f(z)在包含z0的某邻域D内有定义 ，点z0+⊿z∈D. 如果极限
f ( z0 Δ z ) - f ( z0 ) lim Δ z 0 Δz
存在, 则称f(z)在z0可导, 此极限值就称为f(z)在z0 的导数, 记作
பைடு நூலகம்
定义 如果函数f(z)不仅在z0可导，而且在z0的某 个邻域内的任一点都可导, 则称f(z)在z0解析。 如果f(z)在区域D内每一点解析, 则称f(z)在D内解 析, 或称f(z)是D内的一个解析函数(全纯函数 或正则函数)
如果f (z)在点z0不解析，就称z0是f (z)的奇 点。
(1) w=f (z) 在 D 内解析等价于在D内可导。 (2) 函数f (z)在 z0 点可导，未必在z0解析。 （3）函数在区域D内的点z处解析，则z 一 定是D的内点。
（4） f ( z ) z Re( z )
例3. 证明 sin ' z cos z
例4 如果f '(z)在区域D处处为零, 则f(z)在D内为一常
数 .
4.高阶导数
二阶及二阶以上的导数称为高阶导数
例 应用公式
sin( z
2
) cos z ,
（n) 求 sin z
1.解析函数的概念
例2
求f ( z) z 在z 0时的极限. z
z z0
例3 求极限 lim cos z 例4 证明 f ( z ) Re z
在z 0时的极限不存在 .
z
定理2
若 lim f ( z ) A lim g ( z ) B, 则
积分变换第二章 - 副本——复变函数与积分变换课件PPT
= 1 tes t 1 estdt
s
0 s0
1 s2
Re s 0
(t)
tu( t )
1 s2
Laplace变换存在定理
定理 设函数 f (t) 在 t 0 的任何有限区间 内分段连续, 并且当 t 时, f (t)的增长速度不 超过某一指数函数, 即存在常数 M 0 和 s0 0,
sint
s2
2
cost
s2
s
2
例5 求 f (t) tn (n 1)的Laplace变换.
解 如果n是正整数, 则有
L tn
n! sn1
(Re(s) 0).
tn
n! sn1
当 n 1 不是正整数时, 利用复变函数论的
方法, 可求出
L[tn]
第2章 Laplace变换
§2.1 Laplace变换的概念 §2.2 Laplace变换的性质 §2.3 Laplace 逆变换 §2.4 Laplace变换的应用
Fourier积分存在定理
若函数 f (t)在任何有限区间上满足狄氏条件： 即函数在任何有限区间上满足: (1)连续或只有有限个第一类间断点; (2)至多有有限个极值点;
并且在(-∞,+∞)上绝对可积则有:
f (t) 1
2
f
(
)e
j
d
e
j
t
d
f (t)
f (t
0)
f (t
0)
2
t 为连续点; t 为间断点.
在(, )绝对可积是指的
|
f (t) |dt
收敛。
Fourier变换在许多领域中发挥着重要的作用, 但是在通常意义下，Fourier变换存在的条件需要 实函数f (t)在(-,+)上绝对可积. 很多常见的初等 函数(例如，常数函数、多项式函数、正弦与余弦 函数等)都不满足这个要求. 另外，很多以时间t 为 为自变量的函数，当t<0时，往往没有定义，或者 不需要知道t<0的情况. 因此, Fourier变换在实际 应用中受到一些限制.
复变函数与积分变换课堂PPT第二章
由加法定理, 可以推出exp z的周期性。 它的周期是 ,即
其中k为任何整数。这个性质是实变指数函数没有的。
2.对数函数
和实变函数一样，对数函数定义为指数函数的反 函数。将满足方程
的函数w = f (z)称为对数函数。令
,则
所以 因此
由于Arg z为多值函数，所以对数函数 w = f (z)为多 值函数，并且每两个值相差 的整数倍,记作
是两个互为
反函数的单值函数，且
。
iv) 微分的概念 设函数w =f (z)在z0可导, 则有
其中
因此,
是 的高阶无穷
小量, 而
是函数w=f (z) 的改变量 的线性部
分, 称为函数w = f (z)在点z0的微分, 记作
如果函数在z0的微分存在, 则称函数 f (z)在z0可微。
特别, 当f (z) = z时, 得
如果在曲线交点处 uy与 vy都不为零，由隐函数求导
法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为
和
利用柯西-黎曼方程得
例4 如果 f (z) = u + iv为一解析函数，且 f '(z)0， 则曲线族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2必互相正交，其中c1, c2为 常数。
[证] 利用柯西-黎曼方程得
例3 研究函数
和
的解析性。
[解] 由解析函数的定义与前面的例题可知，
在复平面内是解析的，而
却是处
处不解析的。下面研究
的解析性。
由于
如果 ，那么当
时，上式的极限是零。如果
，令
沿直线
趋于 ，由于k 的任意性，
不趋于一个确定的值。所以当
时，
的极限不存在。
因此，
其中k为任何整数。这个性质是实变指数函数没有的。
2.对数函数
和实变函数一样，对数函数定义为指数函数的反 函数。将满足方程
的函数w = f (z)称为对数函数。令
,则
所以 因此
由于Arg z为多值函数，所以对数函数 w = f (z)为多 值函数，并且每两个值相差 的整数倍,记作
是两个互为
反函数的单值函数，且
。
iv) 微分的概念 设函数w =f (z)在z0可导, 则有
其中
因此,
是 的高阶无穷
小量, 而
是函数w=f (z) 的改变量 的线性部
分, 称为函数w = f (z)在点z0的微分, 记作
如果函数在z0的微分存在, 则称函数 f (z)在z0可微。
特别, 当f (z) = z时, 得
如果在曲线交点处 uy与 vy都不为零，由隐函数求导
法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为
和
利用柯西-黎曼方程得
例4 如果 f (z) = u + iv为一解析函数，且 f '(z)0， 则曲线族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2必互相正交，其中c1, c2为 常数。
[证] 利用柯西-黎曼方程得
例3 研究函数
和
的解析性。
[解] 由解析函数的定义与前面的例题可知，
在复平面内是解析的，而
却是处
处不解析的。下面研究
的解析性。
由于
如果 ，那么当
时，上式的极限是零。如果
，令
沿直线
趋于 ，由于k 的任意性，
不趋于一个确定的值。所以当
时，
的极限不存在。
因此，
复变函数课件第二章
的导数,
记作
dw f ( z 0 z ) f ( z0 ) f ( z0 ) lim . dz z z0 z 0 z
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
y 1 0 当 z 0(x 0, y 0) 时， lim z 0 x iy i y lim ∴ z 0 不存在，即处处不可导。 x iy
y lim 0 当 z 0(x 0, y 0) 时， z 0 x iy
复变函数与积分变换
复变函数与积分变换
在定义中应注意: z0 z z0 (即z 0)的方式是任意的.
Complex Analysis and Integral Transform
即z0 z在区域D内以任意方式趋于 0时, z f ( z0 z ) f ( z0 ) 比值 都趋于同一个数 . z
y 1 f f ( z z ) f ( z ) lim , lim lim y 0 x i y z 0 z z 0 i z x 0
当点沿不同的方向使z 0时, 极限值不同 ,
故f ( z ) Im z在复平面上处处不可导.
复变函数与积分变换
例2
Complex Analysis and Integral Transform
2
研究函数 f ( z ) z 2 , g( z ) x 2 yi 和
h( z ) z 的解析性.
解 由本节例1和例3知:
f ( z ) z 2 在复平面内是解析的 ;
记作
dw f ( z 0 z ) f ( z0 ) f ( z0 ) lim . dz z z0 z 0 z
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
y 1 0 当 z 0(x 0, y 0) 时， lim z 0 x iy i y lim ∴ z 0 不存在，即处处不可导。 x iy
y lim 0 当 z 0(x 0, y 0) 时， z 0 x iy
复变函数与积分变换
复变函数与积分变换
在定义中应注意: z0 z z0 (即z 0)的方式是任意的.
Complex Analysis and Integral Transform
即z0 z在区域D内以任意方式趋于 0时, z f ( z0 z ) f ( z0 ) 比值 都趋于同一个数 . z
y 1 f f ( z z ) f ( z ) lim , lim lim y 0 x i y z 0 z z 0 i z x 0
当点沿不同的方向使z 0时, 极限值不同 ,
故f ( z ) Im z在复平面上处处不可导.
复变函数与积分变换
例2
Complex Analysis and Integral Transform
2
研究函数 f ( z ) z 2 , g( z ) x 2 yi 和
h( z ) z 的解析性.
解 由本节例1和例3知:
f ( z ) z 2 在复平面内是解析的 ;
复变函数课件02章 解析函数
试求： f (i)
答案：－3
复变函数与积分变换
第2章 解析函数
定理2.3（解析的充要条件）
函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是： u(x,y)和v(x,y)在D内可微，且满足柯西——黎曼方程。
u v , v u x y x y
复变函数与积分变换
第2章 解析函数
和、差、积、商（除z 去0 分母为0点）仍为解析函数；
由解析函数构成的复合函数也是解析函数。
复变函数与积分变换
第2章 解析函数
§2.2 复变函数可导与 解析的充要条件
定理2.2（可导的充要条件）
函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定义域内一点z=x+iy可导的 充要条件是：u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微，且满足柯 西——黎曼方程。
u v , v u x y x y 则称v(x,y)为u(x,y)的共轭调和函数。
定理2.6
函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内是解析的函数的充 要条件为：虚部v(x,y)是实部u(x,y)的共轭调和函数。
复变函数与积分变换
第2章 解析函数
例2.12 试求一解析函数f(z) ，使其实部为 u(x,y)=x2+y2-2xy.
第2章 解析函数
例2.1 求函数 f (z) zn 的导数(n为正
整数)。
f (z) (zn ) lim (z z)n zn nzn1
z 0
z
例2.2 求函数 f (z) z2 的导数(n为正
整数)。
(z2 ) 2z
复变函数与积分变换
第2章 解析函数
某点可导
该点连续
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1 dz 1 dz2i.
C zz0
C1 zz0
18
例3 计算 C z21的 z d值z ，其中 为 C 包含圆周 z在内1 的任何正向简 单闭曲线．
C
1
C
2
19
解：设
C
及
1
C
2
是
C
内分别以
z 0, z 1为
圆心，互不包含也不相 交的正向圆周，
由复合闭路定理得
1
1
1
C
z2
dz z
C1
z2
dz z
C2
z2
dz z
1
1
1
1
dz dz
dz dz
C1 z 1
z C1
C 0
20
如果函f(数 z)在单连B 通 内域 处处,解 z0 析 B
那末函 F(数 z)zz0 f()d必为 B内的一个解
析函,并 数且 F(z)f(z).
证：因
F(z) z f(ξd)ξ z0
(x,y) udx vdyi (x,y) vdx udy
( x0 ,y0 )
( x0 ,y0 )
P(x,y)iQ(x,y)
所z以 z0 f()dG (z)G (z0),
令上 z z 1 ,即 式 z z 0 1f得 (中 )d G (z 1 ) G (z 0 ).[证毕]
说明: 有了以上定理, 复变函数的积分就可以用
跟微积分学中类似的方法去计算.
12
例1 计算下列积分:
1)
2i (z 2)2dz
2
2) 2i cos( z )dz
如果函 (z)在 数区 B内 域的导 f(z),数为 即 (z)f(z),那末 (z称 )为 f(z)在区 B内 域
的原.函数
显F 然 (z)zz0f()d是 f(z)的一个 . 原
原函数之间的关系:
f(z)的任何两个原函一数个相常差 . 数
证: 设G(z)和H(z)是f(z)的任何两个 ,
9
那 G ( z ) 末 H ( z ) G ( z ) H ( z )
7
两个线积分与路径无关，因此
dP udx vdy, dQ vdx udy.
即 P u, P v, Q v, Q u.
x
y
x
y
由此可知F (z) P(x, y) iQ(x, y)是E内的解析函数，
而且
F '(z) P i Q u iv f (z). x x
8
原函数的定义:
如果函f数(z在 ) 单连通B域 内处处解析
G(z为 ) f(z的 ) 一个原函 那数 末,
f z1
z0
(
ζdζ )G
(1z)G
(0z)
这里z0, z1为域B内的两. 点
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证明: 因为 z f()d也是 f(z)的原,函数 z0
所以 z f()dG(z)c, z0
当 zz0时 ,
根据柯西积分定理, 得 c G (z0),
1
格林定理：曲线积分 Pdx Qdy与路径 C
无关的充要条件是 P Q , y x
P , P , Q , Q 都连续. x y x y
2
又称为柯西-古萨定理
3
练习: 计算z积 12z1 分 3dz.
解 函数 1 在z1内解 , 析 2z3
根据柯西积分定理, 有
1 dz0.
z1 2z3
4
5
0
2
解1） ： i ;2)ee1. 3
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定理5 （复合闭路定理）如果 f ( 在z ) 多连域 内E
解析，复合闭路 C ( C 0 C 1 C n )所围的 区域全部包含于 中，那E 么
f(z)dz0
C
或C0
n
f (z)dz k1 Ck
f (z)d． z
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E1
L1
L2
L0
E2
Ln
f(z) f(z) 0 于 G (z ) 是 H (z ) c .(c 为任意常数) [证毕] 根据以上讨论可知: 如果 f(z)在区 B内 域有一个 F(z原 ), 函数 那末它就有无穷多个原函数, 一般表 F (z) 达 c(c为 式任 为 ).意常
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定理4: (类似于牛顿-莱布尼兹公式)
如果起 z0,终 点点 z为 1, 为
B
C1
z0 C2
z1
B
C1
z0
z1
C2
f(z)dz f(z)dz z1 f (z)dz
C1
C2
z0
如z 0 果 ,让 z 1 在 B 内 固 ,并 变 定 z 1 z ,令 动
便可B 确 内定 的一个 F(z单 )zz0值 f()d 函 .
6
定理3：
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复合闭路定理的一个特殊情形：
CC0 C1
闭路变形公式 :
f(z)dz f(z)dz
C0
C1
重要性在于能够把函数沿一闭曲线的积分转化到 另一闭曲线的积分．
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例2 设 C为包含 的z 0 任一正
向闭曲线，求
1
dz.
C z z0
解：以 z0为圆心作圆 C1,使 周C1含于C 的内部，由闭路式变，形得公