构造判断矩阵的讲解(层次分析法).ppt

? 什么是权重（权系数）？
在决策问题中，通常要把变量Z表示成变量 x1，x2，… ，xn
的线性组合：z ? n
w1 x1
+
w2 x2
+L+
wn xn
其中 wi ? 0, ? wi ?.1 则 w , w ,..., w 叫各因素对于目
标Z的权重， i? 1
1
2
n
w?
( w1 , w2 ,...,
T
wn )
??0.089??
??0.268??
? ? 1 (1.769 + 0.974 + 0.268) ? 3.009
3 0.587 0.324 0.089
得到排序结果 ：w=(0.588,0.322,0.090)T, ? max=3.009
2. 层次单排序及其一致性检验
对应于判断矩阵最大特征根λmax的特征向量， 经归一化 ( 使向量中各元素之和等于 1)后记为W。
CI接近于 0，有满意的一致性
CI 越大，不一致越严重
为衡量CI 的大小，引入 随机一致性指标 RI 。方法为
随机构造500个成对比较矩阵 A1, A2,L , A500
则可得一致性指标 CI1,CI2 ,L,CI500
RI ?
CI1 + CI2 + L
CI500
?
?1 + ?2 +L
500
+ ?500 ? n
了500样本判断矩阵计算的平均随机一致性指标检验值。 平均随机一致性指标
阶数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 RI 0 0 0.58 0.9 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59
基本概念
层次分析法的基本步骤归纳如下
1. 建立层次结构模型 该结构图包括目标层，准则层，方案层。
2. 构造成对比较矩阵 从第二层开始用成对比较矩阵和 1~9尺度。
3. 计算单排序权向量并做一致性检验 对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量， 利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性 检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量； 若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。
?定义 一致性指标C.I.为：
CI ? ? max ? n
n?1
一般情况下，若C.I. ≤0.10,就认为判断矩阵具有一致性。据此而计算的值 是可以接受的。
显然，随着 n的增加判断误差就会增加，因此判断一致性时应考虑到 n的影响，使
用随机性一致性比值 C.R. =C.I./ R.I. ，其中R.I.为平均随机一致性指标。下表给出
率 CR 较大的成对比较矩阵。
例1 大学毕业生就业选择问题 获得大学毕业学位的毕业生，在“双向选择”
时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。 就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，
例如： ①能发挥自己才干作出较好贡献（即工作岗位适
合发挥自己的专长）；
②工作收入较好（待遇好）； ③生活环境好（大城市、气候等工作条件等）； ④单位名声好（声誉等）；
衡量判断矩阵质量的标准是矩阵中的判断是 否有满意的一致性，如果判断矩阵存在如下 关系，则称判断矩阵具有完全一致性。
bij=bik/bjk
为了考察 AHP决策分析方法得出的结果是否基本合理，需要对判断矩阵进行一 致性检验。
目标层
O(选择旅游地)
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
叫权向量 .
注意， X1，X2，… ，Xn中有的不是基数变量，
而有可能是序数变量如舒适程度或积极性 之类。
小石块W1小石块W2
设想： 把一块单位重量的石头砸成 n块小石块
…
小石块Wn
?利用判断矩阵计算各因素C对目标层Z的权重（权系数）
a. 将A的每一列向量归一化得：w~ij
?
n
? aij /
a ij
1
7
5
5
? ?
1 / 7 1 1 / 2 1 / 3? A是正互反阵
1/5 1/5
2 3
1 1
1
? ?
1 ??
稍加分析就发 现上述成对比
要由A确定C1,… , Cn对O的权向量
较矩阵有问题
层次单排序和一致性检验
对判断矩阵求其相对应的特征向量Ｗ，即
ＢＷ＝λmax Ｗ
其中Ｗ的分量（Ｗ１，Ｗ２，···，Ｗn）就是对应于n个要素的相 对重要度，即权重系数。
⑤工作环境好（人际关系和谐等） ⑥发展晋升机会多（如新单位或前景好）等。
一致性指标 CI ? 5.073 ? 5 ? 0.018
5?1
随机一致性指标 RI=1.12 (查表)
一致性比率 CR=0.018/1.12=0.016<0.1
通过一致 性检验
层次总排序的一致性检验
设 B 层 B1, B2,L , Bn 对上层( A 层)中因素 Aj ( j ? 1,2,L, m)
…Cn
? 1 2 5?
?1 1/ 3 1/8 ?
B1 ? ??1/ 2 1
2
? ?
B2
?
? ?
3
1
1
/
3
? ?
…Bn
??1/ 5 1/ 2 1 ??
?? 8 3 1 ??
最大特征根 ? 1 =3.005
? 2 =3.002 … ? 5 =3.0
权向量
w1(3)
w2(3)
… w5(3)
=(0.595，0.277，0.129) =(0.082，0.236，0.682)
500
n?1
Saaty的结果如下
随机一致性指标 RI
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
定义一致性比率 ： CR ? CI
RI
一般，当一致性比率 CR ? CI ? 0 .1 时，认为 A
心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个，即每层 不要超过9个因素。
建立判断矩阵
例如：如果 C为购一台满意的设备， P1为功能强， P2为价格低， P3为维修容易。通 过对 P1，P2和P3的两两比较后做出的判断矩阵 P如下：
P1
P2
P3
P1
1
1/3
2
P2 3
1
5
P3 1/2
1/5
1
功能强 价格低 易维修
4. 计算总排序权向量并做一致性检验 计算最下层对最上层总排序的权向量。
利用总排序一致性比率
CR ? a1CI 1 + a 2CI 2 + L + a mCI m a1 RI1 + a 2 RI 2 + L + a m RI m
CR ? 0.1
进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进 行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比
? b. 对 w~ij 按行求和得： w~i ? n w~ij
i?1
? c. 将w~i 归一化 wi
?
w~i /
n
w~i
,
j?1
w
?
(w1, w2 ,..., wn )T，即为近似特征根（权向量）
i?1
? d. 计算
?
?
1 n ( Aw) i n i?1 wi
，作为最大特征根的近似值。
?1 例： A ? ??1/ 2
设要比较各准则C1,C2,… , Cn对目标O的重要性 1
Ci :Cj ? aij
选 择
C1
旅 C2
C1
?1
? ?
2
游 地
C3 A ? ? 1 / 4
C4
? ?
1/ 3
C5
?? 1 / 3
A?
C2
(a ij ) n? n , a ij ?
C3
C4
0, a ji
C5
?
a ij
1 / 2 4 3 3 ? A~成对比较阵
2 1
6? 4??
列向量 归一化
?0.6 ??0.3
0.615 0.308
0.545? 0.364??
按行求和
?1.760? ??0.972??
??1/ 6 1/ 4 1??
??0.1 0.077 0.091??
??0.268??
?0.587?
?1 .769 ?
归一化 ??0.324?? ? w Aw ? ??0.974??
③ 对向量wi ? (w1, w2,..., wn) T归一化：
n
wi ? wi / ? wj.........( i ? 1,2,..., n) j? 1
所得的 w ? ( w1, w2,..., wn ) T即为所求得特征向量，亦即
判断矩阵的层次单排序结果（即权重系数）
层次单排序和一致性检验
（二）一致性检验
构造判断矩阵
在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性 的结果，则常常不容易被别人接受，因而 Santy等人提 出：一致矩阵法，即：
1. 不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较
2. 对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸 因
判断素矩相阵互是比表较示的本困层难所，有以因提素高针准对确上度一。层某一个因素的 相对重要性的比较。判断矩阵的元素aij 用Santy的1—9标 度方法给出。
计算权重 系数的方 法
和积法
方根法
（1）和积法 ① 将判断矩阵的每一列元素做归一化处理：
n
bij ? bij / ? bkj.........(i, j ? 1,2,..., n) k? 1
② 将归一化的判断矩阵按行相加：
n
wi ? ? bij.........(i ? 1,2,..., n) j?1
最大特征根 ?=5.073
准则层对目标的 成对比较阵
? 1 1/ 2
? ?
2
1
A? ? 1/ 4 1/7
? ?
1/3
1/ 5
?? 1 / 3 1 / 5
4 3 3?
7
5
ห้องสมุดไป่ตู้
5
? ?
1 1/ 2 1/ 3?
2
1
1
? ?
3 1 1 ??
权向量(特征向量 )w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110) T
到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。
选择旅游地 记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为
w(2) ? (0.263,0.475,0.055,0.090,0.110) T
同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量
方案层对C1(景色)的 成对比较阵
方案层对C2(费用)的 成对比较阵
的层次单排序一致性指标为 CI j ，随机一致性指为 RI j ，
则层次总排序的一致性比率为：
CR ? a1CI 1 + a 2CI 2 + L + a mCI m a1 RI1 + a 2 RI 2 + L + a m RI m
当 CR ? 0.1 时，认为层次总排序通过一致性检验。层次
总排序具有满意的一致性，否则需要重新调整那些一致性比 率高的判断矩阵的元素取值。
=(0.166，0.166，0.668)
组合权向量 第3层对第2层的计算结果
w(2) 0.263 0.475 0.055 0.090 0.110
0.595
w( 3 ) k
0.277
0.129
0.082 0.236 0.682
0.429 0.429 0.142
0.633 0.193 0.175
0.166 0.166 0.668
由于λ 连续的依赖于 aij ，则λ 比n 大的越多， A 的不 一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为 被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不 一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用 λ-n 数值的大小来衡量 A 的不一致程度。
定义一致性指标 : CI ? ? ? n
n?1
CI=0，有完全的一致性
? k 3.005 3.002 3
3.009 3
CIk 0.003 0.001 0
0.005 0
RI=0.58 (n=3), CIk 均可通过一致性检验 方案P1对目标的组合权重为 0.595? 0.263+ …=0.300 方案层对目标的组合权向量为 (0.300, 0.246, 0.456) T
W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因 素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排 序。
能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，所 谓一致性检验是指对 A确定不一致的允许范围。 定理：n 阶一致阵的唯一非零特征根为 n
定理：n 阶正互反阵 A的最大特征根 ? ?n, 当且仅当 ? =n
时A为一致阵
RI 的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通过 一致性检验。可用其归一化特征向量作为权向量，否则 要重新构造成对比较矩阵A，对 aij 加以调整。
一致性检验：利用一致性指标和一致性比率 <0.1
及随机一致性指标的数值表，对 A 进行检验的过程。
“选择旅游地”中 准则层对目标的权 向量及一致性检验