海明校验码

二、海明百度文库的组成
海明码是由Richard Hamming于1950年提出的， 它具有一位纠错能力。由编码纠错理论得知：任 何一种编码是否具有检错能力和纠错能力，都与 编码的最小距离有关。根据纠错理论得： L-1=D+C 且 D≥C 即编码最小距离L 越大，则其检测错误的位数D 也 越大，纠正错误的位数C 也越大，且纠错能力恒 小于或等于检错能力。如当编码最小距离L=3时， 这种编码可视为最多能检错两位，或能检错一位、 纠错一位。可见，倘若能在信息编码中增加几位 检测位，增大L，便能提高检错和纠错能力。海 明码就是根据这一理论提出的。
C1 检测g1小组包含第1,3,5,7,9,11……位
C2 检测g2小组包含第2,3,6,7,10,11,14,15……位 C4 检测g3小组包含第4,5,6,7,12,13,14,15……位 C8 检测g4小组包含第 8,9,10,11,12,13,14,15,24……位
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. . 其余检测位的小组所包含的位也可类推。
• 以上均以n=4为例，其实对任意不同n位的 信息，均可按上述步骤配置海明码，即先 求出需增加的检测位位数k，再确定Ci的位 置，然后，按奇或偶原则配置Ci各位的值即 可。值得注意的是按奇配置和按偶配置所 求得的Ci值正好相反，而新的检测位Pi的取 值与奇偶原则是相对应的，可自行分析。 • 海明码常常被用在纠错一位的场合。若欲 实现检错两位，实用时还得再添加一位检 测位。
• 由此可见，传送结果P4、P2均不呈偶数， 显然出了差错。那么，错位在哪一位呢？ 极为有意思的是，P4、P2、P1所构成的二 进制值恰恰是出错的位置，即P4P2P1=110， 表示第六位出错。发现错误后，计算机便 自动地将错误的第六位“1”纠正为“0”。
• 又如，若收到按偶配置的海明码为1100101， 则经检测得： P4=4⊕5⊕6⊕7，即P4=0⊕1⊕0⊕1=0 P2=2⊕3⊕6⊕7，即P2=1⊕0⊕0⊕1=0 P1=1⊕3⊕5⊕7，即P1=1⊕0⊕1⊕1=1 • 所以，出错位为：P4P2P1=001，即第一位。 可是第一位不是欲传送的信息位，而是检 测位，在一般情况下，可以不予纠正。
• 令b4b3b2b1＝0101，则 C1＝b4⊕b3⊕b1＝0⊕1⊕1＝0； C2＝b4⊕b2⊕b1＝0⊕0⊕1＝1； C4＝b3⊕b2⊕b1＝1⊕0⊕1＝0； • 故0101的海明码应为：C1 C2 b4 C4 b3 b2 b1，即0100101。
三、海明码的纠错过程 • 海明码的纠错过程，实际上是对传送后的海明 码形成新的检测位Pi（i=1,2,4,8……），根据Pi 的状态，便可直接指出错误的位置。Pi的状态是 由原检测位Ci及其所在小组内“1”的个数确定的。 倘若按配偶原则配置的海明码，其传送后形成 新的检测位Pi应为0，否则说明传送有错，并且 还可以直接指出出错的位置。由于Pi和Ci有其对 应关系，故Pi可由下式确定： P1=1⊕3⊕5⊕7，即P1=C1⊕b4⊕b3⊕b1 P2=2⊕3⊕6⊕7，即P2=C2⊕b4⊕b2⊕b1 P4=4⊕5⊕6⊕7，即P4=C4⊕b3⊕b2⊕b1
• 这种小组的划分有如下特点： ①每个小组gi有一位且仅有一位为它所独占， 这一位是其它小组所没有的，即gi小组独占 第2i-1位（i=1,2,3,……） ②每两个小组gi和gj共同占有一位是其它小组 所没有的，即每两个gi和gj共同占有第2i-1+ 2j-1位（i,j=1,2,……） ③每三个小组gi、gj和gl共同占有第2i-1+ 2j-1 + 2l-1位，是其它小组所没有的； • 依次类推，便可确定每组所包含的各位。
海明校验码
海明校验码是以奇偶校验为基础，校验位是多位。 一、什么是码距?
码距就是两个码字C1与C2之间不同的比特数。如： 1100与1010的码距为2；1111与0000的码距为4。
一个编码系统的码距就是整个编码系统中任意(所 有)两个码字的最小距离。若一个编码系统有四种编 码分别为：0000，0011，1100，1111，此编码系 统中0000与1111的码距为4；0000与0011的码距为 2，是此编码系统的最小码距。因此该编码系统的码 距为2。
例如：欲传递信息为b4b3b2b1(n=4)，根据 2k≥n+k+1，可求出配置成海明码需增添检测位 k=3，且它们位置的安排如下： 二进制序号 1 2 3 4 5 6 7 名称 C1 C2 b4 C4 b3 b2 b1 如果按照配偶原则来配置海明码，则 C1 应使1,3,5,7位中的“1”的个数为偶数； C2 应使2,3,6,7位中的“1”的个数为偶数； C4 应使4,5,6,7位中的“1”的个数为偶数； 故 C1应为3位⊕5位⊕7位，即C1＝b4⊕b3⊕b1； C2应为3位⊕6位⊕7位，即C2＝b4⊕b2⊕b1； C4应为5位⊕6位⊕7位，即C4＝b3⊕b2⊕b1；
设欲检测的二进制代码为n位，为使其具有纠错能力， 需添加k位检测位，组成n+k位的代码。为了能准确对错 误定位以及指出代码没错，新增添的检测位数k应满足： 2k≥n+k+1 （海明不等式） 由此可求得不同代码长度n所需检测位的位数k，如表1：
表1 代码长度与检测位位数的关系
• K的位数确定后，便可由它们所承担的检测任务， 设定它们在被传送代码中的位置及它们的取值 。 • 设n+k位代码自左至右依次编为第1，2， 3，…...，n+k位，而将k位检测位记为Ci（i=1， 2，4，8……），分别安插在n+k位代码编号的 第1，2，4，8，……2k-1位上。这些检测位的位 置设置，是为了保证它们能分别承担n+k位信息 中，不同数位所组成的“小组”的奇偶检查任 务，使检测位和它所负责检测的小组中1的个数 为奇数或为偶数，具体分配如下：
设已知传送的正确海明码（按配偶原则配置）为 0100101，若传送后接收到的海明码为0100111， 其出错位可按下述步骤进行： 令： 二进制序号 1 2 3 4 5 6 7 正确的海明码 0 1 0 0 1 0 1 接收到的海明码 0 1 0 0 1 1 1 则新的检测位为： P4=4⊕5⊕6⊕7，即P4=0⊕1⊕1⊕1=1 P2=2⊕3⊕6⊕7，即P2=1⊕0⊕1⊕1=1 P1=1⊕3⊕5⊕7，即P1=0⊕0⊕1⊕1=0