高三第一轮复习难点整理五——速度关联类问题求解,速度的合成与分解

难点5 速度关联类问题求解·速度的合成与分解

一、分运动与合运动的关系

1、一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果（v分、s分）互不干扰，即：独立性

2、合运动与分运动同时开始、进行、同时结束，即：同时性

3、合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代，即：等效性

二、处理速度分解的思路

1、选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动）

2、确定该点合速度方向（通常以物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变

3、确定该点合速度（实际速度）的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向

4、作出速度分解的示意图，寻找速度关系

典型的“抽绳”问题：

所谓“抽绳”问题，是指同一根绳的两端连着两个物体，其速度各不相同，常常是已知一个物体的速度和有关角度，求另一个速度。要顺利解决这类题型，需要搞清两个问题：

（1）分解谁的问题

哪个运动是合运动就分解哪个运动，物体实际经历的运动就是合运动。

（2）如何分解的问题

由于沿同一绳上的速度分量大小相同，所以可将合速度向沿绳方向作“投影”，将合速度分解成一个沿绳方向的速度和一个垂直于绳方向的速度，再根据已知条件进行相应计算。

其实这也可以理解成“根据实际效果将合运动正交分解”的思路。

1、如图所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v 运动。当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？

解法一：应用微元法

设经过时间Δt ，物体前进的位移Δs 1=BC ，如图所示.过C 点作CD ⊥AB ，当Δt →0时，∠BAC 极小，在△ACD 中，可以认为AC =AD ，在Δt 时间内，人拉绳子的长度为Δs 2=BD ，即为在Δt 时间内绳子收缩的长度.

由图可知：BC =

θ

cos BD

① 由速度的定义：物体移动的速度为v 物=

t

BC

t s ∆=∆∆1 ② 人拉绳子的速度v =t BD

t s ∆=∆∆2

③

由①②③解之：v 物=θ

cos v

解法二：应用合运动与分运动的关系

绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动，所以物体在水平面上运动的速度v 物是合速度，将v 物按如图所示进行分解

其中：v =v 物cos θ，使绳子收缩

v ⊥=v 物sin θ，使绳子绕定滑轮上的A 点转动 所以v 物=θ

cos v

解法三：应用能量转化及守恒定律

由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功

人对绳子的拉力为F ，则对绳子做功的功率为P 1=Fv ；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F ，则绳子对物体做功的功率为P 2=Fv 物cos θ，因为P 1=P 2所以 v 物=θ

cos v

2、如图所示，物体A 置于水平面上，A 前固定一滑轮B ，高台上有一定滑轮D ，一根轻绳一端固定在C 点，再绕过B 、D 。BC 段水平，当以速度v 0拉绳子自由端时，A 沿水平面前进，求：当跨过B 的两段绳子夹角为α时A 的运动速度v

解法一：应用微元法

设经过时间Δt ，物体前进的位移Δs 1=BB ’，如图所示。 过B ’点作B ’E ⊥BD 。

当Δt →0时，∠BDB ’极小，在△BDB ’中，可以认为DE =B ’D 。 在Δt 时间内，人拉绳子的长度为Δs 2=BB ’+BE ，即为在Δt 时间内绳子收缩的长度。

由图可知：BE =

θ

cos '

BB ①

由速度的定义：物体移动的速度为v 物=t

BB t s ∆∆∆'

=1 ②

人拉绳子的速度v 0=

t

BB t BE BB t s ∆∆∆∆)

cos +1('=+'=2α ③ 由①②③解之：v 物=θ

cos +10

v

解法二：应用合运动与分运动的关系

物体动水平的绳也动，在滑轮下侧的水平绳缩短速度和物体速度相同，设为v 物。 根据合运动的概念，绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动。

也就是说“物体”的方向（更直接点是滑轮的方向）是合速度方向，与物体连接的BD 绳上的速度只是一个分速度，所以上侧绳缩短的速度是v 物cos a

因此绳子上总的速度为v 物+v 物cos α=v 0，得到v 物=θ

cos +10

v

解法三：应用能量转化及守恒定律

由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功

设该时刻人对绳子的拉力为F ，则人对绳子做功的功率为P 1=Fv 。

绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F ，则绳子对物体做功的功率为分为2部分，BD 绳对物体做功的功率为P 2=Fv 0cos α，BC 绳对物体做功的功率为P 2’=Fv 0

由P 1=P 2+P 2’得到v 物=θ

cos +10

v

3、一根长为L 的杆OA ，O 端用铰链固定，另一端固定着一个

小球A ，靠在一个质量为M ，高为h 的物块上，如图所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v 向右运动时，小球A 的线速度v A （此时杆与水平方向夹角为θ）

解题方法与技巧：

选取物与棒接触点B 为连结点。（不直接选A 点，因为A 点与物块速度的

v 的关系不明显）因为B 点在物块上，该点运动方向不变且与物块运动方向一致，故B 点的合速度（实际速度）也就是物块速度v ；B 点又在棒上，参与沿棒向A 点滑动的速度v 1和绕O 点转动的线速度v 2。因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解，由速度矢量分解图得：v 2=v sin θ

设此时OB 长度为a ，则a =h /sin θ

令棒绕O 点转动角速度为ω，则：ω=v 2/a =v sin 2θ/h 故A 的线速度v A =ωL =vL sin 2θ/h

4、如图所示，A 、B 两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别

置于光滑水平面上，若A 车以速度v 0向右匀速运动，当绳与水平面的夹角分别为α和β时，B 车的速度是多少？