欧拉平衡微分方程..

2
可先将3个结点的电路 【解】 等效变换为2个结点的电路， 5A 然后利用两个结点电压公 式求出结点b的电压，再根 据等效变换电路求出结点a 的电压。
I1
I3
I4
3
6
6

c

b
I3
I4
12V
U bc
15 12 6 6 9V 1 1 1 6 6 6
a I 2 3
3
6
6
【解】 (1)将图 (a)中的R4支路断开，如图 (b)所示，其开路电压为
2.3 叠加定理
=
对于图 (b) ，利用两个结点电压公式，得
U ab U S1 U S2 10 9 R1 R2 2 3 8V 1 1 1 1 1 1 R1 R2 R3 2 3 6
+
I3
U ab 8 1.33A R3 6
对于图 (c)，由于三个电阻被短路，故
I2 20 16 4A , I1 I1 I1 30 12 18A , I 2 I 2 I3 10 4 14A I3 I3
2.3 叠加定理
【例2.3-2】 在图中，若US=10V，IS=2A，R1=2Ω，R2=3Ω，R 3=6Ω。用叠加原理求I1和I3。
2.4 戴维南定理
任何一个含源的一端口网络都可以用一个等效电源来表示。 对于负载支路来说，任意线性含源一端口网 等效为电压源的称为 戴维南定理，等效为电流源的称为诺顿定 理。本章只介绍戴维南定理。
络，都可以用一个理想的电压源和电阻串联
戴维南定理的定义：
含源一端 的电路模型来等效，其中理想电压源的电压 口网络 开路 US等于线性含源一端口网络的开路电压UOC ，
(5)整理上式，得
U ab
U S1 U S2 IS R1 R2 1 1 1 R1 R2 R3
两结点电 压公式
2.2 结点电压法
IS U ab U S1 U S2 R1 R2 1 1 1 R1 R2 R3
注意：式中，分母是电流源支路除外的各支路电阻的倒 数之和，分子是电流源电流的代数和。其中US1/R1和US2/R2是电 压源支路的短路电流，或者说是经过电源等效变换后，等效电 流源的电流。IS的参考方向指向结点a取正号，离开结点a取负 号；US的参考方向离开结点a取正号，指向结点a取负号。 (6)求出结点电压Uab后，根据欧姆定律即可求出各支路电流，即



15V
c

12V
2.2 结点电压法
a I 2 3
3
b
I3
I4
6
6
U bc

15V
c

12V
15 12 6 6 9V 1 1 1 6 6 6
a I 2 3
I1
b
I3
I4

15 U bc 15 9 I2 1A 33 6 U 9 I 3 bc 1.5A 6 6 I 4 I 2 I 3 1 1.5 0.5A
第2章 线性电路分析方法
本章主要内容
本章主要以电阻电路为例介绍几种常用的分析方法，即支 路电流法、结点电压法、叠加定理和戴维南定理。 【引例】 图为电桥测量电路，当电桥不平衡时，
IL 0 ， 电路就有电压输出。
用什么方法快捷地求出 I L？
2.1 支路电流法
以图(a)为例，支路电流法的分析步骤为： (1)标出各支路电流的参考方向; (2)判别电路的支路数和结点数， 确定独立方程数，独立方程数等 于支路数; 对于具有b条支路的电路，未 知变量为b个，因此要列出b个独 立的电路方程。 (3)根据KCL，列写结点的独立电流 方程，独立电流方程数为n-1 ； (4)根据KVL，列写独立的回路 电压方程，独立电压方程数为b -(n-1) ，或为网孔数； (5)联立独立电流、电压方程，求解各支路电流。
I2
R3 6 I1 30 20A R2 R3 3 6
I1 I 2 30 20 10A I3
2.3 叠加定理
I1 30A
20A I2
10A I3
U S2 72 16A , R2 R1 // R3 3 2 // 6 R3 6 I 2 I1 16 12 4A I1 I2 16 12A , I 3 R1 R3 26 I2
2.3 叠加定理
【例2.3-1】 在图中，若US1=120V，US2=72V，R1=2Ω，R2=3Ω ，R3=6Ω。用叠加原理求各支路电流。
=
+
【解】 画出两个电压源单独作用时的电路如图 (b)、(c)所示
I1 U S1 120 30A R1 R2 // R3 2 3 // 6
2.3 叠加定理
(1) 画出两个电压源单独作用时的电路如图 (b)和(c)所示。其中 ，不起作用的电压源相当短路; (2) 在图(b)和图(c)中标出各电压源单独作用时各支路电流分量 的参考方向。 (3) 求出各支路的电流分量，然后将它们叠加。
I2 , I 3 I 3 I3 I1 I1 I1 , I 2 I 2
0 I3
I3 1.33 0 1.33A I3 I3
2.3 叠加定理
使用叠加定理时应注意以下几点： (1) 叠加定理只能适用于线性电路; (2) 独立电压源不起作用时用短路线代替，独立电流源 不起作用时用开路代替；电路的其他参数均保持不变; (3) 功率不能用叠加定理计算; (4) 对于含有三个电源或三个以上电源的电路，可先将 电源分成两组，再用叠加定理求解; (5) 最后求电压、电流的代数和时，要注意电压、电 流分量的参考方向。
I1要回到原电路求，即
I1 I S I 2 5 1 4A U ac 15 3I 2 15 3 1 12V

5A
3
6
6

c

12V
2.3 叠加定理
叠加定理：在多个电源作用的电路中，若求每一条支路 的电流，可将各个电源单独作用时在每一条支路产生的电流分 量求出来，其电流分量的代数和就是这些电源共同作用在每一 条支路产生的电流。 叠加定理的分析步骤为： (1) 画出两个电压源单独作用时的电路如图 (b)和(c)所示。其中 ，不起作用的电压源相当短路。
各支路电流为
I1
U S1 U ab 120 84 18A R1 2
U S2 U ab 72 84 I2 4A R2 3
U ab 84 I3 14A R3 6
2.2 结点电压法
【例2.2-3】试用结点电压法求图中的a、b两点电压和各支路 电流。 b a I 3
I1 I 2 U S1 U S2 120 72 9.6A R1 R2 23
U oc US1 I1 R1 US2 I 2 R2 120 9.6 2 72 9.6 3 100.8V
2.4 戴维南定理
(3)将图（b）的电源去掉，得到无源电阻网络 ，如图（c）。由图 (c)求出一端口网络的等效 电阻 R1 R2 23
电阻等于所有独立电源置零、从有源一端口
开路电压 网络开路的端子之间看进去的等效电阻 Req。
2.4 戴维南定理
戴维南定理的求解过程如图所示：
2.4 戴维南定理
【例2.4-1】 在图中，若US1=120V，US2=72V，R1=2Ω，R2=3Ω ，R3=6Ω。用戴维南定理求电流I3。
【解】 (1)将图 (a)中的R3支路断开，如图 (b)所示。 (2)由图 (b)求出含源一端口网络的开路电压UOC。
IS U ab U S1 U S2 12 9 4 R1 R2 2 3 7V 1 1 1 1 1 1 R1 R2 R3 2 3 6
I1
U ab U S1 7 12 U U S2 7 9 2.5A ，I 2 ab 5.33A R1 2 R2 3 U ab 7 1.17A R3 6
I3
2.2 结点电压法
【例2.2-2】 在图 中，若US1=120V，US2=72V，R1=2Ω， R2=3Ω，R3=6Ω。用结点电压法求各支路电流。 【解】 设图中的结点b为参考 点，结点电压为
U ab U S1 U S2 120 72 R1 R2 3 V 84V 2 1 1 1 1 1 1 R1 R2 R3 2 3 6
U ab U S1 I1 , R1 U ab U S2 I2 , R2 U ab I3 R3
2.2 结点电压法
【例2.2-1】 在图 中，若IS=4A，US1=12V，US2=9V， RS=10Ω， R1=2Ω，R2=3Ω，R3=6Ω。用结点电压法求I1、I2 、I3。 【解】 由两个结点的电压公式，得
【来自百度文库】
I1 I 2 I 3 I1 R1 I 3 R3 U S1 I R I R U S2 2 2 3 3
I1 I 2 I 3 2 I1 6 I 3 120 3I 6 I 72 3 2
I1 18A I 2 4A I 14A 3
I3 14A
2.2 结点电压法
以图为例，结点电压法的分析步骤为：
(1)标出各支路电流的参考方向； (2)选结点b为参考点。结点a的电位 用Uab表示。 (3)列出结点a的KCL电流方程，即
I1 I 2 I 3 IS
U ab
(4) 以结点电压表示各支路电流，即
U ab U S1 U ab U S2 U ab IS R1 R2 R3
Req R1 // R2 R1 R2 23 1.2
(4) 画出戴维南等效电路如图d
I3 U oc 100.8 14A Req R3 1.2 6
2.4 戴维南定理
【例2.4-2】 在图中，若US=5V，IS=5A，R1=2Ω，R2=3Ω，R3= 6Ω，R4=1Ω。用戴维南定理求I4。
2.1 支路电流法
有2个结点，3条 支路，两个网孔
根据支路电流法的步骤，可列出3个独立方程，即
I1 I 2 I 3
I1 R1 I 3 R3 U S1
KCL方程 网孔KVL 方程
I 2 R2 I 3 R3 U S2
2.1 支路电流法
, US2=72V，R1=2Ω， 【例2.1-1】 在图 (a)中，若US1=120V， R2=3Ω，R3=6Ω。求各支路电流。
2.3 叠加定理
【例2.3-3】 在图中，若US1=10V，US2=9V， IS=1A，R1=2Ω， R2=3Ω，R3=6Ω。用叠加原理求I3。
=
+
【解】 当电路中有三个或三个以上电源作用时，为了求解方 便，可将电源分成组，再用叠加定理求解。此电路中有两个电 压源，故可作为一组。其电压源和电流源单独作用时的电路如 图 (b)、(c)所示。
=
US 10 1.25A R1 R3 2 6
+
R3 6 IS 2 1.5A R1 R3 26
【解】 画出两个电源单独作用时的电路如图 (b)、(c)所示。
I1 I 3
I1
IS I1 2 1.5 0.5A I3
I3 1.25 0.5 1.75A I1 I1 I1 1.25 1.5 0.25A , I 3 I 3
2.1 支路电流法
【例2.1-1】 在图 中，若US=120V，IS=24A，R1=2Ω，R2=3Ω，R 3=6Ω。用支路电流法求I3。
【解】
I1 I S I 2 I 3 I1 R1 I 3 R3 U S I R I R 0 2 2 3 3
I1 24 I 2 I 3 2 I1 6 I 3 120 3 I 6 I 0 3 2