流体的平衡微分方程及其积分

流体的平衡微分方程及其积分

一、流体平衡微分方程——欧拉平衡方程

如图所示，在平衡流体中取一微元六面体，边长分别为d x ，d y ，d z ，设中心点的压强为p (x,y,z )=p ，对其进行受力分析：

根据平衡条件，在x 方向有0F x

＝∑，即： 0zX y z y x

p 21z y ）21＝＋）＋－（（d dxd d d dx p d d dx x p p ρ∂∂∂∂- 01X ＝－x

p ∂∂ρ 式中：X ——单位质量力在x 轴的投影

流体平衡微分方程（即欧拉平衡微分方程）： ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=∂∂-=∂∂-=∂∂-

010101z p Z y p Y x p X ρρρ 物理意义：处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的表面力分量与质量力分量彼此相等。 压强沿轴向的变化率（z

p y p x p ∂∂∂∂∂∂，，）等于轴向单位体积上的质量力的分量（ρX ，ρY ，

ρZ ）。

二、平衡微分方程的积分

将欧拉平衡微分方程中各式，分别乘以dx 、dy 、dz ，整理： Zdz)Ydy (Xdx dz z

p dy y p x ++=∂∂+∂∂+∂∂ρdx p 因为p = p (x,y,z )

∴ Zdz)Ydy (Xdx dp ++=ρ ρ为常量； Xdx ＋Ydy ＋Zdz 应为某函数W ＝F （x ，y ，z ）的全微分： dz z W dy y W dx x W dz dy dx d ∂∂+∂∂+∂∂=++=)Z Y (X W dW dp ＝ρ 平衡流体中压强p 的全微分方程 积分得：p=ρW ＋c

假定平衡液体自由面上某点（x 0，y 0，z 0）处的压强p 0及W 0为已知，则： c ＝p 0-ρW 0 ∴ p=p 0+ρ（W-W 0） 欧拉平衡微分方程的积分

三、帕斯卡定律

处于平衡状态下的不可压缩流体中，任意点M 处的压强变化值△p 0，将等值地传递到此平衡流体的其它各点上去。

说明：只适用于不可压缩的平衡流体；

盛装液体的容器是密封的、开口的均可。

四、等压面

平衡流体中压强相等的各点所组成的面。

等压面：dp =ρ（Xdx ＋Ydy ＋Zdz ）＝0

ρ为常量，则：Xdx ＋Ydy ＋Zdz ＝0

即：质量力在等压面内移动微元长度所作的功为零。 等压面的特征：平衡流体的等压面垂直于质量力的方向 只有重力作用下的等压面应满足的条件：

1.静止；

2.连通；

3.连通的介质为同一均质流体；

4.质量力仅有重力；

5.同一水平面。

提问:如图所示中哪个断面为等压面?

答案: B-B’断面