导数中不等式恒成立求参数范围问题类型归纳
导数中不等式恒成立求参数范围问题
一、恒成立之最值的直接应用
1.（2011北京理18）
已知函数。
⑴求的单调区间；
⑵若对于任意的，都有
≤
，求的取值范围. 解：⑴，令，
当时，与的情况如下：
所以，的单调递增区间是和：单调递减区间是， 当时，与的情况如下：
所以，的单调递减区间是和：单调递减区间是。
⑵当时，因为11
(1)k k
f k e
e
++=>，所以不会有
当时，由（Ⅰ）知在上的最大值是， 所以等价于,解 2
()()x k
f x x k e =-()f x (0,)x ∈+∞()f x 1
e
k 22
1()()x
k f x x k e k
'=-()0,f x x k '==±0k >()f x ()f x '()f x (,)k -∞-(,)k +∞(,)k k -0k <()f x ()f x '()f x (,)k -∞(,)k -+∞(,)k k -0k >1(0,),().x f x e ?∈+∞≤0k <()f x (0,)+∞2
4()k
f k e
-=1(0,),()x f x e ?∈+∞≤24()k f k e
-=
1
e ≤10.2k -≤<
综上：故当时，的取值范围是[，0].
2.（2008天津理20）已知函数，其中. ⑴若曲线在点处切线方程为,求函数的解析式； ⑵讨论函数的单调性；
⑶若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围.
解：⑴，由导数的几何意义得
，于是． 由切点在直线上可得，解得． 所以函数的解析式为． ⑵． 当时，显然(),这时在，上内是增函数． 当时，令，解得． 当变化时，，的变化情况如下表：
＋ 0 － － 0
＋
↗
极大值
↘
↘
极小值
↗
∴在，内是增函数，在，内是减函数． ⑶由⑵知，在上的最大值为与的较大者，对于任意的，不
1(0,),
()x f x e ?∈+∞≤k 1
2
-()()0≠++
=x b x
a
x x f R b a ∈,()x f y =()()2,2f P 13+=x y ()x f ()x f ??????∈2,21a ()10≤x f ??
?
???1,41b 2()1a
f x x
'=-
(2)3f '=8a =-(2,(2))P f 31y x =+27b -+=9b =()f x 8
()9f x x x
=-
+2()1a
f x x
'=-
0a ≤()0f x '>0x ≠()f x (,0)-∞(0,)+∞0a >()0f x '
=x =x ()f x '()f x
x (,-∞
(
)+∞()f x '()f x ()f
x (,-∞
)
+∞((0,)+∞()f x 1[,1]41()4f (1)f 1[,2]2
a ∈
等式在上恒成立，当且仅当，即，对任意的
成立．从而得，所以满足条件的的取值范围是．
3.已知函数.
⑴若，求的单调区间；
⑵已知是的两个不同的极值点，且，若
恒成立，求实数b 的取值范围。
解：⑴
，或1
令，解得令，解得，
的增区间为；减区间为，
⑵，即
由题意两根为，，又 且△，. 设， 或
又，， ，.
0(1)f x ≤1
[,1]410(11(4)10)f f ≤≤?????39449a b a
b ≤-≤-?
????1[,2]2a ∈74b ≤b (7
,]4
-∞2()()x f x x a e =-3a =()f x 12,x x ()f x 1212||||x x x x +≥323
3()32
f a a a a b <+-+23,()(3)x a f x x e =∴=-2()(23)0x f x x x e '=+-=3x ?=-()0f x '>(,3)
(1,)x ∈-∞-+∞()0f x '<(3,1)x ∈-()f x ∴(,3),(1,)-∞-+∞(3,1)-2()(2)0x f x x x a e '=+-=220x x a +-=12,x x 12122,x x x x a ∴+=-?=-1212||||x x x x +≥22a ∴-≤≤440a =+>12a ∴-<≤3
223233
()3()33()322
a g a f a a a a a a e a a a =--
+=---+2()3(1)(1)0a g a a a e a '=+--=?=
0a =(0)0g =2(2)68g e =-2
max ()68g a e =-268b e ∴>-
二、恒成立之分离常数
1. 已知函数 (1) 若在处的切线平行于直线，求函数的单调区间； (2) 若，且对时，恒成立，求实数的取值范围.
解: (1) 定义域为,直线的斜率为, ,,.所以
由; 由
所以函数的单调增区间为,减区间为. (2) ，且对时，恒成立
,即(ln 1)a x x >-. 设.
当时, , 当时, ,.
()ln 1,.a
f x x a R x
=
+-∈()y f x =0(1,)P y 1y x =-+()y f x =0a >(0,2]x e ∈()0f x >a
()ln 1,.a
f x x a R x
=
+-∈)(x f ),0(+∞1y x =-+1-x x a x f 1)('2+-
=11)1('-=+-=a f 2=∴a 222
12)('x
x x x x f -=+-=20)('>>x x f 得200)('<< (0,2)0a >(0,2]x e ∈()0f x >ln 10(0,2]a x x e x +->∈在恒成立]2,0(,ln )ln 1()(e x x x x x x x g ∈-=-=]2,0(,ln 1ln 1)('e x x x x g ∈-=--=10< 所以当时,函数在上取到最大值,且 所以,所以 所以实数的取值范围为. （法二）讨论法 2()x a f x x -'= ，()f x 在(0,)a 上是减函数，在(,)a +∞上是增函数. 当a ≤2e 时，()f x ≥()1ln 10f a a =+->，解得1a >，∴1a <≤2e . 当2a e >时，()(2)ln(2)102a f x f e e e >=+->，解得2ln 2a e >，∴2a e >. 综上1a >. 2. 已知函数,（其中R ,为自然对数的底数）. (1)当时,求曲线在处的切线方程； (2)当≥1时,若关于的不等式≥0恒成立,求实数的取值范围. （改x ≥0时，≥0恒成立.a ≤1） 解：（1）当时，,,, 切线方程为． （2）[方法一] ≥1,≥≤, 设, 则, 设,则, 在上为增函数,≥, 1=x )(x g ]2,0(e x ∈11ln 1)1(=-=g 1)(≤x g 1 )(2 ---=ax x e x f x ∈a e 0=a )(x f y =))0(,0(f x x )(x f a )(x f 0=a 12 )(2 --=x e x f x x e x f x -=∴)('1)0(',0)0(==∴f f ∴x y =x 12 )1()(2 +--=x e x x x ?0)1()('>-=x e x x ?)(x ?∴),1[+∞)(x ?∴02 1 )1(>= ?1 2 ) ( 2 - - - = ∴ ax x e x f x a ? 0 x x e x 1 2 2 - - x x e x g x 1 2 ) ( 2 - - = 2 2 1 2 ) 1 ( ) ( ' x x e x x g x + - - = ,在上为增函数, ≥,≤． [方法二], , 设,, ≥0,≥0,在上为增函数, ≥. 又≥0恒成立,≥0,≤, ≥,, 在 上为增函数, 此时≥≥0恒成立, ≤． （改x ≥0时，≥0恒成立.a ≤1） 解：先证明()g x 在(0,)+∞上是增函数，再由洛比达法则2 001 2lim lim 1 1 x x x x x e e x x →→---==，∴()1g x >，∴a ≤1. 3. 设函数且） （1）求的单调区间； （2）求的取值范围； （3）已知对任意恒成立，求实数的取值范围。 012)1()('2 2>+--=∴x x e x x g x x x e x g x 1 2)(2--= ∴),1[+∞)(x g ∴2 3)1(- =e g a ∴23 -e 12 )(2 ---=ax x e x f x a x e x f x --=∴)('a x e x h x --=)(1)('-=x e x h x 1)('-=∴x e x h a x e x h x --=∴)(),1[+∞)(x h ∴a e h --=1)1(1 2 )(2 ---=ax x e x f x 23)1(--=∴a e f a ∴23-e )(x h ∴01)1(>--=a e h 0)('>--=∴a x e x f x 12 )(2 ---=ax x e x f x ),1[+∞)(x f 23)1(--=a e f a ∴2 3 - e )(x f 1 ()(1(1)ln(1) f x x x x = >-++0x ≠()f x ()f x 1 12(1)m x x +>+(1,0)x ∈-m 解：（1） , 当时，即. 当时，即或. 故函数的单调递增区间是. 函数的单调递减区间是. （2）由时，即， 由（1）可知在上递增， 在递减，所以在区间（－1，0）上， 当时，取得极大值，即最大值为. 在区间上，. 函数的取值范围为.分 （3） ，两边取自然对数得 4. 已知函数 ． （Ⅰ）若函数在区间其中a >0，上存在极值，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）如果当时，不等式恒成立，求实数k 的取值范围； 22ln(1)1 '()(1)ln (1)x f x x x ++=- ++∴'()0f x >1ln(1)10,11x x e -++<-<<-'()0f x (1)f e w --=-(0,)+∞()0f x >∴()f x (,)(0,)e -∞-+∞11 2 (1)0,(1,0)m x x x +>+>∈-1 ln 2ln(1)1m x x >++1ln ()x f x x += 1(,)2 a a +1x ≥()1 k f x x ≥ + 解：（Ⅰ）因为 ， x >0，则， 当时，；当时，． 所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减， 所以函数在处取得极大值． 因为函数在区间（其中）上存在极值， 所以 解得． （Ⅱ）不等式即为 记 所以 令，则， ， 在上单调递增， ，从而， 故在上也单调递增， 所以，所以 ． 5. （2010湖南）已知函数 对任意的恒有 . ⑴证明：当 ⑵若对满足题设条件的任意b 、c ，不等式恒成立，求M 的最小值。 1ln ()x f x x += 2ln ()x f x x '=-01x <<()0f x '>1x >()0f x '<()f x (1,)+∞()f x 1x =()f x 1(,)2 a a +0a >1,1 1,2 a a ??1 12a <<(),1k f x x ≥ +(1)(1ln ),x x k x ++≥(1)(1ln ) (),x x g x x ++=[]2 (1)(1ln )(1)(1ln )()x x x x x g x x '++-++'= 2 ln x x x -= ()ln h x x x =-1 ()1h x x '=- 1x ≥()0,h x '∴≥()h x ∴[1,)+∞[]min ()(1)10h x h ∴==>()0g x '>()g x [1,)+∞[]min ()(1)2g x g ==2k ≤2()(,),f x x bx c b c =++∈R ,x ∈R ()()f x f x '≤2 0()();x f x x c +≥时，≤2 2 ()()()f c f b M c b --≤ 6. 已知函数 （Ⅰ）求函数f (x )的定义域 （Ⅱ）确定函数f (x )在定义域上的单调性，并证明你的结论. （Ⅲ）若x >0时 恒成立，求正整数k 的最大值. 解：（1）定义域 （2）单调递减。 当，令 ， 故在（－1，0）上是减函数，即， 故此时 在（－1，0）和（0，+）上都是减函数 x x n x f ) 1(11)(++= 1 )(+>x k x f ),0()0,1(+∞?-,0)]1ln(1 1 [1)(2时当>+++-= 'x x x x x f 0)(<'x f )0,1(-∈x 0)1(11) 1(1)()1ln(11 )(2 2<+=+++- ='+++= x x x x x g x x x g 0)1(11)1(1)()1ln(1 1 )(2 2<+=+++- ='+++=x x x x x g x x x g )(x g 01)0()(>=>g x g )]1ln(1 1[1)(2+++- ='x x x x f ∞ （3）当x >0时，恒成立，令 又k 为正整数，∴k 的最大值不大于3 下面证明当k=3时，恒成立 当x >0时 恒成立 令，则 ，，当 ∴当取得最小值 当x >0时， 恒成立，因此正整数k 的最大值为3 7. 已知函数 （Ⅰ）试判断函数上单调性并证明你的结论； （Ⅱ）若恒成立，求整数k 的最大值；（较难的处理） （Ⅲ）求证：(1+1×2)(1+2×3)…[1+n (n +1)]>e 2n －3. 解：（I ） 上递减. （II ） 则上单调递增， 又 1 )(+> x k x f ]2ln 1[21+<=k x 有)0( 1 )(>+> x x k x f 021)1ln()1(>-+++x x x x x x x g 21)1ln()1()(-+++=时当1 ,1)1ln()(->-+='e x x x g 时当1 ,1)1ln()(->-+='e x x x g 0)(>'x g 0)( ,10<'-< 1ln(1)(>++= x x x x f ),0()(+∞在x f 1 )(+> x k x f )]1ln(1 1 [1)]1ln(11[1)(22+++-=+--+= 'x x x x x x x x f .0)(,0)1ln(,01 1 , 0,02<'∴>+>+>∴>x f x x x x ),0()(∞∴在x f .)]1ln(1)[1()(,1)(恒成立即恒成立k x x x x h x k x f >+++=+> ).0)(1ln(1)(,) 1ln(1)(>+--=+--= 'x x x x g x x x x h 记),0()(,01 )(+∞∴>+= '在x g x x x g .02ln 22)3(,03ln 1)2(>-=<-=g g 存在唯一实根a ，且满足 当 ∴ 故正整数k 的最大值是3 . （Ⅲ）由（Ⅱ）知 ∴ 令，则 ∴ln(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)] ∴（1+1×2）（1+2×3）…[1+n （n+1）]>e 2n －3 8. 已知函数，. （１）若函数依次在处取到极值． ①求的取值范围；②若，求的值． （２）若存在实数，使对任意的，不等式 恒成立．求正整数的最大值． 解：（1）① 0)(=∴x g ).1ln(1),3,2(++=∈a a a .0)(,0)(00)(,0)(<'<<<>'>>x h x g a x x h x g a x 时，，当时，)4,3(1)1()]1ln(1)[1()()(min ∈+=+=+++= =a a a a a a a a h x h )0(1 3)1ln(1>+>++x x x x x x x x x 32132113)1ln(->+-=-+> +*))(1(N n n n x ∈+=) 1(3 2)]1(1ln[+->++n n n n 3 213 32)111(32]) 1(1 323211[32]) 1(32[)3132()2132(->++-=+--=+++?+?-=+-++?-+?- >n n n n n n n n n n 32()(63)x f x x x x t e =-++t R ∈()y f x =,,()x a x b x c a b c ===< 3 2 3 2 ()(3123)(63)(393)x x x f x x x e x x x t e x x x t e '=-++-++=--++32()3,39303,,.f x x x x t a b c ∴--++=有个极值点有个根322()393,'()3693(1)(3) g x x x x t g x x x x x =--++=--=+-令()(-,-1),(3,+)(-1,3)g x ∞∞在上递增,上递减. ② . （2）不等式 ，即，即. 转化为存在实数，使对任意，不等式恒成立,即不等式在上恒成立。 即不等式在上恒成立。 设，则。 设，则，因为，有。 故在区间上是减函数。 又 故存在，使得。 当时，有，当时，有。 从而在区间上递增，在区间上递减。 又 所以当时，恒有；当时，恒有； 故使命题成立的正整数的最大值为5. 9. （2008湖南理22）已知函数 ()3824.(3)0 g x t g ?∴∴-<0 有个零点,,()a b c f x 是的三个极值点3232393(x-a)(x-b)(x-c)=x ()()x x x t a b c x ab bc ac x abc ∴--++=-+++++-393a b c ab ac bc t abc ++=??∴++=-??+=-? 31(b (-1,3))2b ∴=-∈或 舍 11 81a b t c ?=-? ∴=∴=?? =+?()f x x ≤32(63)x x x x t e x -++≤3263x t xe x x x -≤-+-[]0,2t ∈[]1,x m ∈3263x t xe x x x -≤-+-32063x xe x x x -≤-+-[]1,x m ∈2063x e x x -≤-+-[]1,x m ∈2()63x x e x x ?-=-+-()26x x e x ?-'=--+()()26x r x x e x ?-'==--+()2x r x e -'=-1x m ≤≤()0r x '<()r x []1,m 1 23(1)40,(2)20,(3)0r e r e r e ---=->=->=-<0(2,3)x ∈00()()0r x x ?'==01x x ≤<()0x ?'>0x x >()0x ?'<()y x ?=[]01,x [)0,x +∞1 2 3(1)40,(2)5>0,(3)6>0,e e e ???---=+>=+=+456(4)5>0,(5)20,(6)30.e e e ???---=+=+>=-<15x ≤≤()0x ?>6x ≥()0x ? 2 ()ln (1).1x f x x x =+-+ ⑴求函数的单调区间; ⑵若不等式对任意都成立（其中e 是自然对数的底数），求a 的最大值. 解: ⑴函数的定义域是， 设则 令则 当时， 在（－1，0）上为增函数， 当x ＞0时，在上为减函数. 所以h (x )在x =0处取得极大值，而h (0)=0,所以， 函数g (x )在上为减函数. 于是当时，当x ＞0时， 所以，当时，在（－1，0）上为增函数. 当x ＞0时，在上为减函数. 故函数的单调递增区间为（－1，0），单调递减区间为. ⑵不等式等价于不等式 由知，＞0，∴上式变形得 设，则则 ()f x 1(1) n a e n ++≤N*n ∈()f x (1,)-+∞2222 2ln(1)22(1)ln(1)2().1(1)(1) x x x x x x x f x x x x ++++--'=-=+++2()2(1)ln(1)2, g x x x x x =++--()2ln(1)2.g x x x '=+-()2ln(1)2, h x x x =+-22()2.11x h x x x -'= -=++10x -<<()0,h x '>()h x ()0,h x '<()h x (0,)+∞()0(0)g x x '<≠(1,)-+∞10x -<<()(0)0,g x g >=()(0)0.g x g <=10x -<<()0,f x '>()f x ()0,f x '<()f x (0,)+∞()f x (0,)+∞1 (1) n a e n ++≤1 ()ln(1) 1.n a n ++≤111n +>1ln(1)n +1 . 1ln(1)a n n -+≤1 x n = (]11(),0,1,ln(1)G x x x x = -∈+22 2222 11(1)ln (1)().(1)ln (1)(1)ln (1) x x x G x x x x x x x ++-'=-+=++++ 由⑴结论知，（≤）即 所以于是G (x )在上为减函数. 故函数在上的最小值为 所以a 的最大值为 10. 已知函数(a 为实常数). (1)若，求证：函数在(1,+∞)上是增函数； (2)求函数在[1,e ]上的最小值及相应的值； (3)若存在，使得成立，求实数a 的取值范围. 解：⑴当时，，当，， 故函数在上是增函数． ⑵，当，． 若，在上非负（仅当，x=1时，），故函数在上是增函数，此时． 若，当时,；当时，，此时 是减函数；当 时，，此时是增函数． 故． 若，在上非正（仅当，x=e 时，），故函数 在 上是减函数，此时． 2 2 ln (1)0,1x x x +-≤+()f x (0)0f =22(1)ln (1)0.x x x ++-≤()0,G x '<(]0,1,x ∈(]0,1()G x (]0,11 (1) 1.ln 2 G = -1 1.ln 2 -x a x x f ln )(2+=2-=a )(x f )(x f x ],1[e x ∈x a x f )2()(+≤2-=a x x x f ln 2)(2 -=),1(+∞∈x 0) 1(2)(2>-='x x x f )(x f ),1(+∞)0(2)(2>+='x x a x x f ],1[e x ∈]2,2[222e a a a x ++∈+2-≥a )(x f '],1[e 2-=a 0)(='x f )(x f ],1[e =min )]([x f 1)1(=f 222-<<-a e 2a x -= 0)(='x f 2 1a x -<≤0)(<'x f )(x f e x a ≤<-2 0)(>'x f )(x f =min )]([x f )2 ( a f -2)2ln(2a a a --=22e a -≤)(x f '],1[e 2e 2-=a 0)(='x f )(x f ],1[e ==)()]([min e f x f 2e a + ⑶不等式，可化为． ∵, ∴且等号不能同时取，所以，即， 因而（） 令（），又， 当时，，， 从而（仅当x=1时取等号），所以在上为增函数， 故的最小值为，所以a 的取值范围是． 11. 设函数. ⑴若函数在处与直线相切： ①求实数的值；②求函数在上的最大值； ⑵当时，若不等式≥对所有的都成立，求实数的 取值范围. 解：（1）①。 ∵函数在处与直线相切解得 . ② 当 时，令得；令，得，上单调递增，在[1，e]上单调递减，. （2）当b=0时，若不等式对所有的都成x a x f )2()(+≤x x x x a 2)ln (2-≥-],1[e x ∈x x ≤≤1ln x x x x x a ln 22--≥],1[e x ∈x x x x x g ln 2)(2--=],1[e x ∈2)ln ()ln 22)(1()(x x x x x x g --+-='],1[e x ∈1ln ,01≤≥-x x 0ln 22>-+x x 0)(≥'x g )(x g ],1[e )(x g 1)1(-=g ),1[+∞-2()ln f x a x bx =-()f x 1x =1 2y =- ,a b ()f x 1[,]e e 0b =()f x m x +2 3[0,],[1,]2 a x e ∈∈m '()2a f x bx x = -()f x 1x =12y =-'(1)20 ,1(1)2f a b f b =-=?? ∴?=-=-??112 a b =???=??22111()ln ,'()2x f x x x f x x x x -=-=-= 1x e e ≤≤'()0f x >11<≤x e '()0f x ? ???∴1,1)(e x f 在max 1 ()(1)2 f x f ∴==- ()ln f x a x =()f x m x ≥+( 2 30,,1,2 a x e ???∈∈????? 立，则对所有的都成立， 即对所有的都成立， 令为一次函数， . 上单调递增，， 对所有的都成立. .. （注：也可令 所有的 都成立，分类讨论得 对所有的都成立，） 三、恒成立之讨论参数范围 1. （2007全国I ）设函数． ⑴证明：的导数； ⑵若对所有都有，求的取值范围． 解：⑴的导数．由于，故． （当且仅当时，等号成立）． ⑵令，则， ①若，当时，， 故在上为增函数， 所以，时，，即． ②若，方程的正根为， 此时，若，则，故在该区间为减函数． ln a x m x ≥+(2 30,,1,2a x e ???∈∈????? ,ln x x a m -≤(]2 ,1],2 3 ,0[e x a ∈∈)(,ln )(a h x x a a h 则-=min ()m h a ≤(21,,ln 0,x e x ?∈∴>?3 ()[0,]2 h a a ∴∈在min ()(0)h a h x ∴==-m x ∴≤-(21,x e ?∈?221,1,x e e x <<∴-≤-<-2min ()m x e ∴≤-=-()ln ,()h x a x x m h x =-≤则(21,x e ?∈? 2min ()2m h x a e ≤=-3 [0,]2a ∈22 min (2)m a e e ∴≤-=-()e e x x f x -=-()f x ()2f x '≥0x ≥()f x ax ≥a ()f x ()e e x x f x -'= +e e 2x -x +=≥()2f x '≥0x =()()g x f x ax =-()()e e x x g x f x a a -''=-=+-2a ≤0x >()e e 20x x g x a a -'=+->-≥()g x (0)+， ∞0x ≥()(0)g x g ≥()f x ax ≥2a >() 0g x '=1ln x =1(0)x x ∈，()0g x '<()g x 所以，时，，即，与题设相矛盾． 综上，满足条件的的取值范围是． 2. 设函数f (x )=e x +sinx,g (x )=ax,F (x )=f (x )－g (x ). (Ⅰ)若x =0是F (x )的极值点,求a 的值； (Ⅱ)当 a =1时,设P (x 1,f (x 1)), Q (x 2, g (x 2))(x 1>0,x 2>0), 且PQ //x 轴,求P 、Q 两点间的最短距离； (Ⅲ):若x ≥0时,函数y =F (x )的图象恒在y =F (－x )的图象上方,求实数a 的取值范围． 解：(Ⅰ)F (x )= e x +sinx －ax,. 因为x =0是F (x )的极值点,所以. 又当a =2时,若x <0, ;若 x >0, . ∴x =0是F (x )的极小值点, ∴a=2符合题意. (Ⅱ) ∵a =1, 且PQ //x 轴,由f (x 1)=g (x 2)得:,所以. 令当x >0时恒成立. ∴x ∈[0,+∞时,h (x )的最小值为h (0)=1.∴|PQ|mi n =1. (Ⅲ)令 则. 因为当x ≥0时恒成立, 所以函数S (x )在上单调递增, ∴S (x )≥S (0)=0当x ∈[0,+∞时恒成立; 因此函数在上单调递增, 当x ∈[0,+∞时恒成立. 当a ≤2时,,在[0,+∞单调递增,即. 故a ≤2时F (x )≥F(－x )恒成立. 1(0)x x ∈，()(0)0g x g <=()f x ax <()f x ax ≥a (]2-∞， '()cos x F x e x a =+-'(0)110,2F a a =+-=='()cos 0x F x e x a =+-<'()cos 0x F x e x a =+->121sin x x e x =+12111sin x x x e x x -=+-()sin ,'()cos 10x x h x e x x h x e x =+-=+->)()()()2sin 2.x x x F x F x e e x ax ?-=--=-+-'()2cos 2.x x x e e x a ?-=++-()''()2sin x x S x x e e x ?-==--'()2cos 0x x S x e e x -=+-≥[0,)+∞)'()x ?[0,)+∞'()'(0)42x a ??≥=-)'()0x ?≥()x ?)()(0)0x ??≥=[)[)[)[)(]00002'()0,'()0,(0,),0'()0.()0,(0)0(0,)()0(14)()00,2.a x x x x x x x x x x F x F x x a a ??????><+∞∴∈+∞<=∴∈<--≥∈+∞?∴>∞??当时，又在单调递增，总存在使得在区间，上导致在递减，而，当时，，这与对恒成立不符，不合题意.综上取值范围是-,2分 3. （用到二阶导数，二次） 设函数. ⑴若，求的最小值； ⑵若当时，求实数的取值范围. 解：（1）时，，. 当时，；当时，. 所以在上单调减小，在上单调增加 故的最小值为 （2）， 当时，，所以在上递增， 而，所以，所以在上递增， 而，于是当时， . 当时，由得 当时，，所以在上递减， 而，于是当时，，所以在上递减， 而，所以当时，. 综上得的取值范围为. 4. 已知函数，斜率为的直线与相切于点. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）当实数时，讨论的极值点。 （Ⅲ）证明：. 2 ()2 x k f x e x x =- -0k =()f x 0x ≥()1f x ≥k 0k =()x f x e x =-'()1x f x e =-(,0)x ∈-∞'()0f x <(0,)x ∈+∞'()0f x >()f x (,0)-∞(0,)+∞()f x (0)1f ='()1x f x e kx =--()x f x e k ''=-1k ≤()0 (0)f x x ''≥≥()f x '[)0,+∞(0)0f '='()0 (0)f x x ≥≥()f x [)0,+∞(0)1f =0x ≥()1f x ≥1k >()0f x ''=ln x k =(0,ln )x k ∈()0f x ''<()f x '(0,ln )k (0)0f '=(0,ln )x k ∈'()0f x <()f x (0,ln )k (0)1f =(0,ln )x k ∈()1f x 1()()()ln 2 g x f x a x x ax =-++(1)()0x f x -≥ 解：（Ⅰ）由题意知： ………………………………2分 解得：； 解得： 所以在上单调递增，在上单调递减………………4分 （Ⅱ）= 得：. 若即， 此时的极小值点为，极大值点………………………………7分 若 即，，则， 在上单调递 增，无极值点. 若 即，， 此时的极大值点为，极小值点. 综上述： 当 时，的极小值点为，极大值点； 当时，无极值点； 当时，的极大值点为，极小值点. 1)1 (ln )(-++ ='x x x b x f 1,112)1(==-='b b f ()()ln ln 1h x f x x x x x =-=-+1 ()1h x x '=-1()10h x x '=->01x <<1 ()10h x x '=-<1x >()h x (0,1)(1,)+∞21()()()ln 2g x f x a x x ax =-++2 1(1)ln 12 a x ax x -+-+2/11()1a ax x a g x ax x x --+-∴=+-=[]1(1)(1)(1)(1)a x x ax a x a x x ??---??---??==0)(='x g 1,11 21=-=x a x 010,1110><- < a x 020,111>=-a a 21 =a 121==x x 0)(≥'x g )(x g ),0(+∞030,111>>-a 1 x 121< -=a x 21