初二数学上册培优辅导讲义版教案 ( 人教版 )

第12讲 与相交有关概念及平行线的判定

考点·方法·破译

1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.

2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析

【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？

【解法指导】:

⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.

⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.

⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】

01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则：

⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？

A

B

C

D

E

F

A

B C

D

E

F

P

Q

R

02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；

当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角.

问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角.

【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ．

⑴求∠EOF 的度数；

⑵写出∠BOE 的余角及补角.

【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化

为代数式从而求解；

【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝2

1∠BOC ，∠FOC ＝2

1

∠AOC ∴∠EOF ＝∠

EOC ＋∠FOC ＝

21∠BOC ＋21∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝2

1

×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE .

【变式题组】:

01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ） A ．20° B ． 40° C ．50°

D ．80°

C

E

F

E

A A

D

O 1

4

3 2

02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4

＝ .

【例３】如图，直线l 1、l 2相交于点O ，A 、B 分别

是l 1、l 2上的点，试用三角尺完成下列作图：

⑴经过点A 画直线l 2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l 1的垂线段.

【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段. 【变式题组】:

01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且

PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直

线l 的距离为（ ） A ．4cm B ．

5cm C ．不大于4cm D ．不小于6cm

02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，M 、N 为位于公路两侧的村庄；

⑴设汽车行驶到路AB 上点P 的位置时距离村庄M 最近.行驶到AB 上点Q 的位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路上分别画出点P 、Q 的位置.

A

B

O

2

l 1

⑵当汽车从A 出发向B 行驶的过程中，在 的路上距离M 村越来越近..在 的路上距离村庄N 越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远. 【例４】如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，∠DOF ＝65°，求∠BOE 和∠AOC

的度数.

【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF ＝90°，OF ⊥AB ．

【变式题组】

01．如图，若EO ⊥AB 于O ，直线CD 过点O ，∠EOD ︰∠EOB ＝

1︰3，求∠AOC 、∠AOE 的度数.

02．如图，O 为直线AB 上一点，∠BOC ＝3∠AOC ，OC 平分∠AOD ．

F

B

A

O

C

D

E

C

D

B

A

E

O

⑴求∠AOC 的度数；

⑵试说明OD 与AB 的位置关系.

03．如图，已知AB ⊥BC 于B ，DB ⊥EB 于B ，并且∠CBE

︰∠ABD ＝1︰2，请作出∠CBE 的对顶角，并求

其度数.

【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截

而得到的，并说出它们的名称：

∠1和∠2：

∠1和∠3：

B A

C

D

O A

B

A

E

D

C

F

E

B

A

D

1 4

2 3 6

5

∠1和∠6：

∠2和∠6：

∠2和∠4： ∠3和∠5：

∠3和∠4：

【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.

【变式题组】

01．如图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同

旁内角共有（ ） A ．4对 B ． 8对 C ．12对 D ．16对

02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和

同旁内角.

A

B D

C

H

Ｇ

E

F

7 1 5 6 8 4 2 3 3 4 5 6

1 2

3