2-7 函数的微分 (PPTminimizer)

；
x
2
3
2
；
y 微分.
6 、 求 由 方 程 cos( xy ) x y 所 确 定 的
练习题答案
一 、 1、 -2； 2、 曲 线 的 切 线 上 点 的 纵 坐 标 的 相 应 增 量 ； 1 cos x C ； 3、 高 阶 ； 4、 5、
1 2 e
2x
C；
6、 8、
3
2
.
dy ( x ) x 3 x x .
dy
x2 x 0 . 02
3 x x
2
x2 x 0 . 02
0 . 24 .
通常把自变量 x的增量 x称为自变量的微分, 记作 dx , 即dx x .
dy f ( x ) dx .
微分形式的不变性
例3 解
设 y sin( 2 x 1 ), 求 dy .
y sin u , u 2 x 1 . cos( 2 x 1 ) d ( 2 x 1 )
dy cos udu
cos( 2 x 1 ) 2 dx 2 cos( 2 x 1 ) dx .
证 (1) 必要性
f ( x ) 在点 x 0 可微 ,
y A x o ( x ),

y x
A
o( x ) x
,
则 lim
y x
x 0
A lim
o( x ) x
x 0
A.
即函数
f ( x ) 在点 x 0 可导 , 且 A f ( x 0 ).
d ( u v ) du dv d ( uv ) vdu udv d ( Cu ) Cdu d( ) v u vdu udv v
2
例2
设 y ln( x e
x
2
), 求 dy .
解
例3 解
y
1 2 xe x e
1 3 x
x
2
2
x
,
dy
x x
d (log
a
x) x) x)
1 x ln a
dx 1 1 x 1
2
d (ln x ) dx d (arccos
1 x
dx 1 1 x 1 1 x
2 2
d (arcsin
x)
dx
d (arctan
1 x
2
dx
d ( arc cot x )
dx
2. 函数和、差、积、商的微分法则
1
d (sin t ) d (
1
sin t );
sin t C ) cos tdt .
2
(2)
d (sin x ) d(
2

2 x cos x dx 1 2 x
2
2
4x
x cos x ,
2
x)
dx
x ).
d (sin x ) ( 4 x
x cos x ) d (
, 而微 dy f ( x 0 )
y f ( x ) 在点 ( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线 .
x 0 的纵坐标增量
思考题源自文库
因为一元函数 y f ( x)在 x0 的可微性与 可导性是等价的，所以有人说“微分就是导 数，导数就是微分”，这说法对吗？
思考题解答
说法不对.
;

y dy
1
o( x ) A x
1
( x 0 ).
, 但与 f ( x ) 和 x 0 有关 ;
( 4 ) A 是与 x 无关的常数
( 5 ) 当 x 很小时 , y dy
( 线性主部
).
三、可微的条件
定理
函数 f ( x )在点 x0可微的充要条件是函 数 f ( x )在点 x0处可导, 且 A f ( x0 ).
一、问题的提出
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由 x 0 变到 x 0 x ,
x0
x
( x )
x
2
正方形面积
A x0 ,
2 2
2
x 0 x
A ( x0 x) x0
A x0
2
x 0 x
x0
2 x 0 x (x ) .
2
(1)
ax
ax
ax
例5 在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使 等式成立.
(1 ) d ( ) cos tdt ; ( 2 ) d (sin x ) (
2
)d (
x ).
解
( 1 ) d (sin t ) cos tdt ,
cos tdt d( 1
( 2 ) 若 x 是中间变量时 微函数 x ( t ), 则
, 即另一变量
t 的可
dy f ( x ) ( t ) dt dy f ( x ) dx .
( t ) dt dx ,
结论：无论 x是自变量还是中间变量 , 函数
y f ( x )的微分形式总是 dy f ( x )dx
x x0
或 df ( x0 ), 即dy
x x0
A x .
(微分的实质) 微分 dy叫做函数增量 y的线性主部.
由定义知:
( 1 ) dy 是自变量的改变量 x 的线性函数 ;
( 2 ) y dy o ( x ) 是比 x 高阶无穷小 ( 3 ) 当 A 0 时 , dy 与 y 是等价无穷小 ;
从概念上讲，微分是从求函数增量引 出线性主部而得到的，导数是从函数变化 率问题归纳出函数增量与自变量增量之比 的极限，它们是完全不同的概念.
练 习 题
一、填空题： 1、 已 知 函 数 f ( x) x 在 点 x 处 的 自 变 量 的 增 量 为
2
0 . 2 ， 对 应 的 函 数 增 量 的 线 性 全 部 是 dy = 0 . 8 ， 那 么 自 变 量 x 的 始 值 为 __________. 2 、 微 分 的 几 何 意 义 是 __________. 3、 若 y f ( x )是 可 微 函 数 ， 则 当x 0 时 ，
2 3
(1)
( 2)
当 x 很小时 , ( 2)是x的高阶无穷小o( x ),
y 3 x 0 x .
2
既容易计算又是较好的近似值
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
二、微分的定义
定义
设函数 y f ( x )在某区间内有定义 , x0及 x0 x在这区间内, 如果 y f ( x 0 x ) f ( x 0 ) A x o( x ) 成立(其中A是与x无关的常数), 则称函数 y f ( x )在点 x0可微, 并且称A x为函数 y f ( x )在点 x0相应于自变量增量 x的微分, 记作 dy
1 3
tan 3 x C ；
7、 x , e
2
2
2x
；
3
2
2e
x
2 e
4x
.
2 二 、 1 、 ( x 1 ) dx ； 2 ln( 1 x ) dx ； 2、 x 1
例4
设 y e dy e e e
ax
ax
sin bx , 求 dy .
ax
解
cos bxd ( bx ) sin bx e cos bx bdx sin bx e ( b cos bx a sin bx ) dx .
d ( ax ) ( a ) dx
o
x0
x0 x
x
当 x 很小时 , 在点 M 的附近 , 切线段 MP 可近似代替曲线段 MN .
五、微分的求法
dy f ( x )dx
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式
d (C ) 0 d (sin x ) cos xdx d (tan x ) sec
七、小结
★ 微分学所要解决的两类问题:
函数的变化率问题 导数的概念
函数的增量问题
微分的概念
求导数与微分的方法,叫做微分法.
研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫 做微分学.
★ 导数与微分的联系: 可导 可微.
★ 导数与微分的区别:
1 . 函数 而微分 定义域是
x x0
f ( x ) 在点 x 0 处的导数是一个定数 dy f ( x 0 )( x x 0 ) 是 x 的线性函数 R , 实际上 , 它是无穷小
e
2x
) _________ 2
， de
x
________
.
二、求下列的函数的微分： 1、 y
x
2
x 1 2 2 、 y [ln( 1 x )] ；
；
3 、 y arcsin 4 、 y arctan
1 x 1 x
2 2
2
；
1 x 3 x y e cos 3 x ， 求 dy 5、
1 2 xe x e
x
x
2
2
dx .
设 y e
cos x , 求 dy .
1 3 x
dy cos x d ( e (e
1 3 x
) e
1 3 x
d (cos x )
) 3 e
1 3 x
,
(cos x ) sin x . ) dx e
1 3 x
x x0
f ( x 0 ), , 它的
.
lim dy lim
f ( x 0 )( x x 0 ) 0 .
2 . 从几何意义上来看
, f ( x 0 ) 是曲线
y f (x) 在
点 ( x 0 , f ( x 0 )) 处切线的斜率 ( x x 0 ) 是曲线 方程在点
(2) 充分性
lim y x
x 0
函数 f ( x ) 在点 x 0 可导 ,
f ( x 0 ),
即
y x
f ( x 0 ) ,
0 ( x 0 ),
从而 y f ( x 0 ) x ( x ), f ( x 0 ) x o ( x ),
2 1
d ( x ) x
dx
d (cos x ) sin xdx d (cot x ) csc
2
xdx
xdx
d (sec x ) sec x tan xdx
d (csc x ) csc x cot xdx
d ( a ) a ln adx
x x
d ( e ) e dx
dy cos x ( 3 e e
1 3 x
1 3 x
( sin x ) dx
( 3 cos x sin x ) dx .
六、微分形式的不变性
设函数 y f ( x ) 有导数
,
f ( x ),
( 1 ) 若 x 是自变量时
dy f ( x ) dx ;
( 2)
(1) : x的线性函数, 且为A的主要部分 ; ( 2) : x的高阶无穷小 当 x 很小时可忽略 , .
再例如, 设函数 y x 3 在点 x 0 处的改变量
为 x 时 , 求函数的改变量
y ( x0 x) x0
3 2 3
y.
3 x 0 x 3 x 0 (x ) (x ) .
函数 f ( x ) 在点 x 0 可微 ,
且 f ( x 0 ) A .
可导 可微.
A f ( x 0 ).
函数 y f ( x )在任意点 x的微分, 称为函数的 微分, 记作 dy或 df ( x ), 即 dy f ( x )x .
例1 求函数 解
3
y x 当 x 2 , x 0 . 02 时的微分
y dy 是 关 于 x 的 _ _ _ _ _ _ _ _ 无 穷 小 .
4 、 d __________ 5 、 d __________
__ sin xdx . __ e
2x
dx .
2
6 、 d __________ __ sec 3 xdx . 2 2x Y x e , dY e 2 x d ______ x 2 d ______ . 7、 8 、 d (arctan
dy dx
f ( x ).
即函数的微分 该函数的导数
dy 与自变量的微分 . 导数也叫 " 微商 ".
dx 之商等于
四、微分的几何意义
几何意义:(如图)
当 y 是曲线的纵 坐标增量时 , dy
y f ( x)
y
T N P
o( x )
M
x
dy
y
就是切线纵坐标 对应的增量
）
.