弹簧典型例题剖析

物块 1 缓慢竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面。在此过程中物块 2 的重力势能
增加了
，物块 1 的重力势能增加了
。
解析 要求物块的重力势能变化ΔEp=mg.Δh，关键是求两物块各自上升的高度Δh1、Δ
h2。
系统最初静止，下部弹簧压缩量为
ΔL2=（m1+m2）g/k2
①
最后下部弹簧恢复原长，物块 2 上升高度
起初的压缩量为
X1
（m1+m2 )g k2
后来的压缩量为
x2
m2 g k2
X
所以木块移动的距离为：
X1
X2
m1g k2
11 如图，劲度系数为 k1 的轻弹簧两端分别与质量为 ml、m 2 的物块 1、2 拴接。劲度系数为 k2
用心 爱心 专心
的轻弹簧上端与物体 2 拴接，下端压在桌面上(不拴接)，整个系统处于平衡状态。现施力将
弹簧典型例题剖析
1. 弹簧的弹力不能突变，它的变化要经历一个过程，这是由弹簧形变的改变要逐渐进行决定 的。在瞬间内形变量可以认为不变，因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即 弹簧的弹力不突变。
2、弹簧上的弹力是变力，弹力的大小随弹簧的形变量发生变化，求弹力的冲量和弹力做功时， 不能直接用冲量和功的定义式，一般要用动量定理和动能定理计算。如果弹簧被作为系统内 的一个物体时，弹簧的弹力对系统内物体做不做功都不影响系统的机械能。
连结，两个装置都放在水平的支托物上，处于平衡状态，如图所示.今突然撤去支托物，让物
块下落，在除去支托物的瞬间，A1、A2 受到的合力分别为 FA1 和 FA2，B1、B2 受到的合力分
别为 FB1 和 FB2，则 B
A．FA1=0．FA2=2mg，FB1=0，FB2=mg B．FA1=mg，FA2=mg，FB1=0，FB2=2mg C．FA1=mg，FA2=2mg，FB1=mg，FB2=mg
AB 11
D．FA1=mg，FA2=mg，FB1=mg，FB2=mg
AB
22
8、如图所示，物块 B 和 C 分别连接在轻弹簧的两端，将其静置于吊篮 A 的水平底板上，
已知 A、B、C 三者质量相等且为 m，则将挂吊篮的轻绳烧断的瞬间，吊篮 A、物块 B 和 C 的
瞬时加速度分别为：（ C ）
A.g、g、g
2m(g a)
。
2
ka
2、如图所示，在重力场中，将一只ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ质弹簧的上端悬挂在天花板上，下端连接一个质
量为 M 的木板，木板下面再挂一个质量为 m 的物体．当剪掉 m 后发现：当木板的速率 再次为零时，弹簧恰好能恢复到原长，(不考虑剪断后 m、M 间的相互作用)则 M 与 m 之 间的关系必定为 ( Ｂ )
B.g、g、0
C.1.5g、1.5g、0
D.g、2g、0
[解析] 此问题应用到弹簧的弹力不能突变的性质。未烧断绳子之前，C 受到一个重力 mg 和弹簧的弹力 F 弹，两者平衡。绳烧断瞬间，F 弹不能突变，大小仍为 mg，所以物块 C 在轻绳 烧断的瞬间，瞬时加速度 aC=0。
用心 爱心 专心
若物体 A 和 B 之间没弹力，则 aA=g，而 B 的合外力则为 mg+F 弹=2mg，所以 aB=2g，显 然这种情况是不可能的。
因此本题的正确选项为 C。
对 B 作受力分析可知：吊篮 A 和物块 B 之间的弹力 N=0.5mg。
注： 要注意两物体“刚性接触” 和“弹性接触” 的区别。对于吊篮 A 和物块 B，由于它们是刚 性接触，它们之间的相互作用力可发生突变，因此在轻绳烧断的瞬间 A 和 B 的加速度相等。
9、如图所示,开始时只有乙弹簧发生形变,甲弹簧处于原长,劲度系数 k甲 2k乙 ,当在物体
上再叠加上一个同样的物体后,那么两弹簧的情况是( C ) A. 甲和乙弹簧受力相等 B. 甲弹簧受力是乙的 2 倍
C. 乙弹簧将承担 4 mg 的压力 3
D. 甲伸长量是乙压缩量的 1 3
解:叠上另一个物体后,甲的伸长量与乙压缩量的增加量相同.
10、如图所示，两个木块质量分别为 m1 和 m2，两轻质弹簧的劲度系数分别为 k1 和 k2，上面木 块压在上面的弹簧上（但不拴接），整个系统处于平衡状态，现缓慢向上提上 面的木块，直到它刚离开上面的弹簧，在这过程中下面木块移动的距离为：
应为多少？（提示：弹簧形变量为 x 时的弹性势能为 EP= 1 kx2 ） 2
A
解：B 触地时，弹簧为原长，A 的速度为： v 2gh
A 继续向上运动拉伸弹簧，设法 VA=0 时弹簧伸长量为 x，则要使此时 B 能被提前离地面，应有：kx=Mg
B
而在此弹簧被拉伸的过程对 A 和弹簧有： 1 mV 2 mgx 1 kx2
⑤
2
由①、④两式解得 a=3.75m/s2 ，分别由②、③得 F1＝45N，F2＝285N
(2)在力 F 作用的 0.4s 内，初末状态的弹性势能相等，由功能关系得：
WF=mg(x1＋x2)+ 1 m(at)2 49.5J 2
6、如图所示，两个质量均为 m 的重物 A、B 用劲度系数为 k 的轻弹簧连结后，竖直放到水平 地面上，B 与地面接触，开始 A、B 均静止。今用竖直向上拉力 F 作用在 A 上，且 F = mg，下列说法正确的是（AB）
A.M>m B.M=m C.M<m D.不能确定
解：M 在最高点的合外力是Ｍｇ，所以在最低点的合外力一定也是 MＧ，而当剪
断 m 的时候，合外力为 mg，所以Ｍ＝ｍ
3、如图所示，质量为 m1 的框架顶部悬挂着质量分别为 m2、m3 的两物体（m2＞m3）．物体
开始处于静止状态，现剪断两物体间的连线取走 m3，当物体 m2 向上运动到最高点时，弹簧
当绳被烧断后，A 和 B 的加速度应该相等，AB 可看成一个整体来分析，绳子未断之前， 它们受重力 2mg，弹簧向下的弹力 F′弹=mg，绳子向上的拉力 T=3mg，处于平衡状态。绳子断 的瞬间，拉力 T 消失，而弹簧的弹力不能突变，所以它们受到的合力向下，大小为 3mg，由 牛顿第二定律可得：3mg=2maAB，则 aA=aB=1.5g。
Δh2＝ΔL2
②
故物块 2 重力势能增加
ΔEp2＝m2g·Δh2＝m2·(m1 十 m2)g2／k2
上部弹簧最初的压缩量为
ΔL1＝m1g／kl
③
最后上部弹簧还要提住物块 2，变为伸长态，伸长量为
图4
ΔL1’＝m2g／kl
④
因此，物块 1 上升的高度为
Δh1＝ΔLl 十ΔL2 十ΔLl’＝(ml 十 m2)g2(1／kl 十 1／k2)
4、两端联物的弹簧，弹簧伸长到最长或压缩到最短时，相关联物体的速度一定相同，弹簧具 有最大的弹性势能；当弹簧恢复原长时，相关联物体的速度相差最大，弹簧对关联物体的作 用力为零。若物体再受阻力时，弹力与阻力相等时，物体速度最大。针对此类问题，要立足 运动和受力分析，在解题方法上以动量定理、动量守恒定律和动能定理等为首选。
x=mg/k=0.4m
因为
x
1 2
at 2
，所以
P
在这段时间的加速度 a
2x t2
20m /
s2
当 P 开始运动时拉力最小，此时对物体 P 有 N-mg+Fmin=ma,又因此时 N=mg，所以有 Fmin=ma=240N.
当 P 与盘分离时拉力 F 最大，Fmax=m(a+g)=360N.
5、如图 9 所示，一劲度系数为 k=800N/m 的轻弹簧两端各焊接着两个质量均为 m=12kg 的物体
故物体上升的最大高度为 2x，则 2x=2mg/k。物体做简谐振动的周期T 2 m ，而物体 k
从受 F 力作用开始，上升到最大高度这段时间为 T m 。在上升过程中，弹簧对 A 的
2
k
作用力在前 T 内方向向上，后 T 内对 A 的作用力方向向下，其大小不断变化，但总冲量为
4
4
零。
7、物块 A1、A2、B1 和 B2 的质量均为 m，A1、A2 用刚性轻杆连接，Bl、B2 用轻质弹黄
物块 1 重力势能增加了
ΔEp1＝m1g·Δh1＝ml(ml 十 m2)g2(1／kl 十 1／k2)
12、如图所示，质量分别为 m 和 M 的 A、B 两重物用劲度系数为 k 的轻质弹簧竖直地连接起 来，使弹簧为原长时，两物从静止开始自由下落，下落过程中弹簧始终保持竖直状态。当重 物 A 下降距离 h 时，重物 B 刚好与地面相碰，假定碰后的瞬间重物 B 不离开地面（B 与地面作 完全非弹性碰撞）但不粘连。为使重物 A 反弹时能将重物 B 提离地面，试问下落高度 h 至少
A、B。物体 A、B 和轻弹簧竖立静止在水平地面上，现要加一竖直向上的力 F 在上面物体 A 上，
使物体 A 开始向上做匀加速运动，经 0.4s 物体 B 刚要离开地面，设整个过程中弹簧都处于弹
性限度内，取 g=10m/s2 ，求：
（1）此过程中所加外力 F 的最大值和最小值。
（2）此过程中外力 F 所做的功。
求经过多长时间木板开始与物体分离。
解：设物体与平板一起向下运动的距离为 x 时，物体受重力 mg，弹簧的弹力 F=kx 和平板的支
持力 N 作用。据牛顿第二定律有：
mg-kx-N=ma 得 N=mg-kx-ma
当
N=0
时，物体与平板分离，所以此时
x
m(g k
a)
因为 x 1 at 2 ，所以 t
A．A 上升最大高度为 2mg k
B．A 上升时间为 m k
C．A 上升过程中，该系统机械能守恒
用心 爱心 专心
D．A 上升过程中，弹簧对 A 弹力冲量为 F m k
解：AB。 开始时，受 F 力作用时，弹性势能转变成弹簧恢复原长时物体的动能，物体再上升时， 物体的动能又转变成弹性势能，物体增加的重力势能由外力 F 做功提供，上升时机械能不 守恒。开始弹簧被压缩，设压缩量为 x，则 kx = mg，x = mg/k，物体再上升的高度仍为 x，
则 F 的最小值是
，F 的最大值是
。
解：因为在 t=0.2s 内 F 是变力，在 t=0.2s 以后 F 是恒力，所以在 t=0.2s 时，P 离开秤盘。
此时 P 受到盘的支持力为零，由于盘和弹簧的质量都不计，所以此时弹簧处于原长。在 0_____0.2s
这段时间内 P 向上运动的距离：
用心 爱心 专心
解：(1)A 原来静止时：kx1=mg
①
当物体 A 开始做匀加速运动时，拉力 F 最小，设为 F1，对物体 A 有：
F1＋kx1－mg=ma
②
当物体 B 刚要离开地面时，拉力 F 最大，设为 F2，对物体 A 有：
F2－kx2－mg=ma
③
对物体 B 有：kx2=mg
④
对物体 A 有：x1＋x2＝ 1 at 2
x 1 at 2 时间，加速度，位移。三者联系枢纽。 2
1
弹簧串联
k
1 k1
1 k2
，弹簧并联 k=k1+k2
1、一根劲度系数为 k,质量不计的轻弹簧，上端固定,下端系一质量为 m 的物体,有一水平板将 物体托住,并使弹簧处于自然长度。。现让木板由静止开始以加速度 a(a＜g＝匀加速向下移动。
用心 爱心 专心
2
2
A
由上几式可解得： h Mg M 2m
K 2m
13、如图 5 所示，轻弹簧的一端固定在地面上，另一端与木块 B 相连，木
B
块 A 放在木块 B 上，两木块质量均为 m，在木块 A 上施有竖直向下的力 F，
整个装置处于静止状态．
（1）突然将力 F 撤去，若运动中 A、B 不分离，则 A、B 共同运动到最高点时，B 对 A 的弹力 有多大？
对框架的作用力大小等于
（m2－m3）g
，框架对地面的压力等于 （m1
＋m2－m3）g
.
m2 m3
4、如图所示，一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都不计，盘内放一个物体 P 处于静止，P
的质量 m=12kg，弹簧的劲度系数 k=300N/m。现在给 P 施加一个竖直向上的力 F，使 P 从静止
开始向上做匀加速直线运动，已知在 t=0.2s 内 F 是变力，在 0.2s 以后 F 是恒力，g=10m/s2,
（2）要使 A、B 不分离，力 F 应满足什么条件？
用心 爱心 专心
3 对于只有一端有关联物体，另一端固定的弹簧，其运动过程可结合弹簧振子的运动规律去认 识，突出过程的周期性、对称性及特殊点的应用。如当弹簧伸长到最长或压缩到最短时，物 体的速度最小（为零），弹簧的弹性势能最大，此时，也是关联物的速度方向发生改变的时刻。 若关联物与接触面间光滑，当弹簧恢复原长时，物体速度最大，弹性势能为零。若关联物与 接触面间粗糙，物体速度最大时弹力与摩擦力平衡，此时弹簧并没有恢复原长，弹性势能也 不为零。