等差、等比数列性质总结

等差、等比数列性质总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
等差数列性质总结
1.等差数列的定义式：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；
2．等差数列通项公式：
*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m
n a a d m
n --=； 3．等差中项
（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2
b a A +=或b a A +=2
（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列+-112(2,n N )n n n a a a n +⇔=+≥∈212+++=⇔n n n a a a
4．等差数列的前n 项和公式：
1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22
d n a d n =+-2An Bn =+
（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项
()()()12121121212
n n n n a a S n a +++++=
=
+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间
项）
5．等差数列的判定方法
（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

6．等差数列的证明方法
定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列 等差中项性质法：-112(2n )n n n a a a n N ++=+≥∈，．
7.提醒：
（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中
1a 、d 称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：
①一般可设通项1(1)n a a n d =+-
②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；
③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8.等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时，
等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；
前n 和211(1)()222
n n n d d
S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.
（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.
注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=⋅⋅⋅，
（4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列 (5) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列
（6）数列{}n a 为等差数列,每隔k(k ∈*N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++⋅⋅⋅)仍为等差数列 （7）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和
当项数为偶数n 2时，
()
121135212
n n n n a a S a a a a na --+=+++⋅⋅⋅+=
=奇
()
22246212
n n n n a a S a a a a na ++=+++⋅⋅⋅+==偶
()11n n n n n S S na na n a a d ++-=-=-=偶奇
11n n n n
S na a
S na a ++=
=偶
奇
当项数为奇数12+n 时，则
21(21)(1)1n S S S S n a S n a n S S a S na S n +⎧=+=+=+⎧⎪⎪⇒⇒=⎨⎨-==+⎪⎪⎩⎩
偶n+1n+1
奇偶奇n+1n+1奇偶偶奇
（其中a n+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）．
（8）{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()n n
A
f n B =，
则2121
(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--. （9）等差数列{}n a 的前n 项和m S n =，前m 项和n S m =，则前m+n 项和()m n S m n +=-+
a ,,n m m a n ==则a 0n m +=
(10)求n S 的最值
法一：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*n N ∈。

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和
即当，，001<>d a 由⎩⎨⎧≤≥+0
1n n a a 可得n S 达到最大值时的n 值．
（2） “首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。

即 当，，001><d a 由⎩⎨⎧≥≤+0
1n n a a 可得n S 达到最小值时的n 值．
或求{}n a 中正负分界项
注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：
①基本量法：即运用条件转化为关于1a 和d 的方程；
②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．
等比数列性质
1. 等比数列的定义：()()
*12,n
n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比
2. 通项公式：
()
11110,0n n n n a
a a q q A B a q A B q -===⋅⋅≠⋅≠， 首项：1a ；公比：q
推广：n m
n m a a q -=， 从而得
n m n
m a q a -=
3. 等比中项
（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2
A ab =
或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）
（2）数列{}n a 是等比数列⇔211n n n a a a -+=⋅ 4. 等比数列的前n 项和n S
公式：
(1) 当1q =时， 1
n S na =
(2) 当1q ≠时，
()
11111n n n a q a a q
S q q --=
=
--
11''11n n n a a
q A A B A B A q q =-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数） 5. 等比数列的判定方法
（1）用定义：对任意的n,都有
1
1(0)n n n n n a a qa q q a a ++==≠或
为常数，⇔{}n a 为等比数列
（2） 等比中项：211n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）⇔{}
n a 为等比数列
（3） 通项公式：()0n n a A B A B =⋅⋅≠⇔{}
n a 为等比数列
（4） 前n 项和公式：()'',,','n n n n S A A B S A B A A B A B =-⋅=-或为常数⇔{}
n a 为等比数列 6. 等比数列的证明方法
依据定义：若()()*12,n
n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1n n a qa +=⇔{}
n a 为等比数列 7. 注意
（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及n S
，其中1a 、q 称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；1
1n n a a q -=
如奇数个数成等差，可设为…，2
2,,,,a a a aq aq q q …（公比为q ，中间项用a 表示）； 8. 等比数列的性质
(1) 当1q ≠时
①等比数列通项公式()1110n n
n n a a a q q A B A B q -==
=⋅⋅≠是关于n 的带有系数的类指数函数，底
数为公比q
②前n 项和()
111111''
1111n n n n n n a q a a q a a
S q A A B A B A q q q q --==-=-⋅=-----，系数和常数项是互为
相反数的类指数函数，底数为公比q
(2) 对任何m,n ∈*
N ,在等比数列{}n a 中,有n m
n m a a q -=,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。

(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t ∈*N ),则n m s t a a a a ⋅=⋅.特别的,当n+m=2k 时,得2n m k a a a ⋅=
注：12132n n n a a a a a a --⋅=⋅=⋅⋅⋅
(4) 列{}n a ,{}n b 为等比数列,则数列{}n k
a ,{}
n k a ⋅,{}k
n a ,{}n n k a b ⋅⋅{}n n a b (k 为非零常数) 均为等
比数列.
(5) 数列{}
n a 为等比数列,每隔k(k ∈*N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++⋅⋅⋅)仍为等比数列
(6) 如果{}n a 是各项均为正数的等比数列,则数列{log }
a n a 是等差数列
(7) 若{}n a 为等比数列,则数列n S
，2n n S S -，32,n n S S -⋅⋅⋅，成等比数列
(8) 若{}n a 为等比数列,则数列12n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅, 122n n n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅, 21223n n n
a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅成等比数列 (9) ①当1q >时， ②当1q <0<时，
110{}0{}{n n a a a a ><，则为递增数列，则为递减数列,
110{}0{}{n n a a a a ><，则为递减数列
，则为递增数列
③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; ④当q<0时,该数列为摆动数列.
(10)在等比数列{}
n a 中, 当项数为2n (n ∈*N )时,1S S q =
奇偶,.
(11)若{}
n a 是公比为q 的等比数列,则n n m n m S S q S +=+⋅。