三角形辅助线专题训练

全等三角形的专题训练
一、 与2倍，二分之一倍线段有关
1.（2016重庆）在△ABC 中，∠B=45°，∠C=30°，点D 是BC 上一点，连接AD ，过点A 作AG ⊥AD ，在AG 上取点F ，连接DF ．延长DA 至E ，使AE=AF ，连接EG ，DG ，且GE=DF ． 证明：CG BD 2
1=
2.（2017•重庆）在△ABC 中，∠ABM=45°，AM ⊥BM ，垂足为M ，点C 是BM 延长线上一点，连接AC ．
（1）如图1，若AB=32，BC=5，求AC 的长；
（2）如图2，点D 是线段AM 上一点，MD=MC ，点E 是△ABC 外一点，EC=AC ，连接ED 并延长交BC 于点F ，且点F 是线段BC 的中点，求证：∠BDF=∠CEF ．
3.（2017一中二模）Rt ABC Δ中，90BAC ∠=o ，以AC 为边向外作ACD Δ，F 为BC 上一点，连结AF 。

如图2，若AB AC =，延长DC 交AF 延长线于H 点，且90,AHD BCH CAD ∠=∠=∠o ，连结BD 交AF 于M 点。

求证：2CD MH =。

4.（2017育才三模）已知等腰Rt ∆ABC 与等腰Rt ∆CDE ，∠ACB =∠DCE =90°.把Rt ∆ABC 绕点C 旋转.当Rt ∆ABC 旋转到如图2所示的位置时，过点C 作BD 的垂线交BD 于点F ，交AE 于点G ，求证：BD =2CG.
5.（2017巴蜀一模）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为AC 上一点，连接BD，过C点作BD的垂线交BD的延长线于点E，连接AE，过点A作AF⊥AE 交BD于点F，连接CF。

若点D为AC的中点，求证：CF=2CD
6.（2017一中模拟）在△ABC中，AB=AC，∠ABC的平分线交AC于点D，在AB的延长线上截取BE使BE=CD，连接DE交BC于点F。

求证：BE=2BF
RtΔ中，以BC为斜边作等腰直角三角形ABC，D为BE中点，过E作EF⊥7.如图，在BCE
CA.证明：BF=2AD
RtΔ中，CD是斜边AB的中线，且∠AED=∠BEC.
8.如图，在ABC
求证：F是CD中点.
9.如图，在ABC Δ中，AB=AC ，D 是BC 延长线上一点且DB=DA ，BE ⊥AD ，F 为BE 中点。

若DAF BAC ∠=∠，求证：2AF=AD
10.如图，两个等腰直角三角形ABC 和CDE ，F 为AD 中点，若
∠
DBE=45°. 求证：2EF=ED
二、 证明两条的线段的和等于第三条线段
1．（2017八中一模）如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=o
，M 为对角线BD 延长线上一点，连接AM 和CM ，E 为CM 上一点，且满足
CB CE =，连接BE ，交CD 于点F 。

证明：AM CF DM =+。

2.（2017南开一模）等腰Rt ABC Δ中，90,,ABC AB BC F AB ∠==o 为上一点，连接CF ，过点B 作BH CF ⊥交CF G 于，交AC H 于。

如图（2），若F AB 为中点，连接FH ，求证：BH FH CF +=
3.（一中17初三半期）如图，ABC Rt Δ中，AB DG ⊥，G 为中点，AEF Rt Δ等腰， BD DE ⊥，求证：DF DE BC +=
4.在Rt ABC Δ中，90ACB ∠=o ，点D AB 为的中点，点E AC 为下方一点，
//AE BC CE CD C ⊥且于点。

过点//D FD EC 作，交EA 延长线于点F ，连接CF 。

求证：EF AF BC +=。

三、 与根号2有关的
1.（南开17年初三上半期）在等腰ABC Rt Δ中，如图EC AF ⊥，BAE FAC ∠=∠， 求证：CE DE GE 2=+
2.如图，在等腰Rt ABC Δ中，∠ABC =90°，AB =BC ，点D 是线段AC 上一点，连接BD ，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，点F 是AB 垂直平分线上一点，连接BF 、EF 。

当点F 在AC 边上时。

求证：CE BE −=
3.如图，四边形ABCD 为矩形，连接,2AC AD CD =，点E 在AD 边上。

如图2，延长BA 至点F 使得2AF CD =，连接FE 并延长交CD 于点G ，过点D 作DH EG ⊥于点H ，连接AH 。

求证：FH DH =+。

四、 与根号3有关
1.（2017南开三模）如图，已知等腰Rt ∆ABC ，∠ACB =90°，CA =CB ，以BC 为边向外作等边∆CBD ，连接AD ，过点C 作∠ACB 的角平分线与AD 交于点E ，连接BE 。

（1）若AE =2，求CE 的长度
（2）以AB 为边向下作∆AFB ，∠AFB =60°，连接FE ，求证：FA FB +=
2.（一中17初三月考）在等边ABC Δ中，AD BC ⊥于点D ，点F 为AD 上任意一点，连接BF ，点G 为BF 的中点，点E 为AB 上一点，且AE =EF ，连接EG 、GC 、CE 。

（1）若6AF =，AB =10 3 ，求FB 的长；
（2）求证：CG = 3 EG ．
六、与垂直有关
1、如图，在等腰直角三角形，D 是AB 边上一点，将CD 绕点C 顺时针旋转90°至CE ，若F 为AD 中点。

求证：CF ⊥EB
备用图
2、如图，在直角三角形ABC 中，D 为AB 中点，DF ⊥DE ，∠AFD=∠DFG 。

求证：BH ⊥BC
3.已知∆ABC 是等腰直角三角形，，E 为ABC Δ外一点，,CE
FE CE FE ⊥
=，连接AE 、BF ，点M 为AE 中点，点N 为BF 中点。

求证：MN AE ⊥
90BAC ∠=
°
F 4.已知ACD Δ与AGF Δ都为等腰直角三角形，90GAF CAD °∠=∠=.连接GD 、CF ，N 为线段GD 的中点，连接AN .
（1）求证：2AN CF =
（2）求证：AN CF ⊥
5.如图,中,AD 为BC 边中线，作,交AD 延长线于点E,过点作交AD 于点F.
（1）求证:
（2）若AD=DE+2BD ,
求证：BC AD ⊥
ABC ΔCE
AC C ⊥于BF CE DF DE =ABC DCE BAC ∠=∠+∠F E D C B
A
6.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点E、F分别是AB、BC上的动点，连接DE、DF、EF。

如图，若BE=BF，G为DE的中点，连接AF、AG、FG，求证：AG⊥FG；
7.如图1，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，若点E在AB的延长线上，EF AD，EF=BE，点P是DE的中点，连接FP并延长交AD于点G．连接CP，求证：CP⊥FP。