函数对称性总结

函数对称性总结

函数的对称性

三角函数图像的对称性

三角函数包括y=sin x。y=cos x。y=tan x。

两个函数的图像对称性

1、y=f(x)与y=-f(x)关于x轴对称。

换句话说，如果y=f(x)和y=g(x)满足f(x)=-g(x)，那么它们关于y=0对称。

2、y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称。

换句话说，如果y=f(x)和y=g(x)满足f(x)=g(-x)，那么它们关于x=0对称。

3、y=f(x)与y=f(2a-x)关于直线x=a对称。

换句话说，如果y=f(x)和y=g(x)满足f(x)=g(2a-x)，那么它们关于x=a对称。

4、y=f(x)与y=2a-f(x)关于直线y=a对称。

换句话说，如果y=f(x)和y=g(x)满足f(x)+g(x)=2a，那么它们关于y=a对称。

5、y=f(x)与y=2b-f(2a-x)关于点(a,b)对称。

换句话说，如果y=f(x)和y=g(x)满足f(x)+g(2a-x)=2b，那么它们关于点(a,b)对称。

6、y=f(a-x)与y=f(x-b)关于直线x=a+b/2对称。

单个函数的对称性

1、函数的轴对称：

定理1：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=(a+b)/2对称。

推论1：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称。

推论2：如果函数y=f(x)满足f(x)=f(-x)，则函数y=f(x)的

图像关于y轴对称。特别地，推论2就是偶函数的定义和性质。

2、函数的点对称：

定理2：如果函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=2b，则函数

y=f(x)的图像关于点(a,b)对称。

推论3：如果函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=0，则函数

y=f(x)的图像关于点(a,0)对称。

推论4：如果函数y=f(x)满足f(x)+f(π-x)=π/2，则函数

y=f(x)的图像关于点(π/2,π/4)对称。

1.若f(-x)=f(x)，则函数y=f(x)的图像关于y轴对称。这是奇函数的定义和性质，是推论4的简化。

2.函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c时，函数y=f(x)的图像关于点((a+b)/2,c/2)对称。

3.两个函数的图像对称性可以用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解。具体来说：

曲线y=f(x)与y=-f(x)关于x轴对称。

曲线y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称。

曲线y=f(x)与y=f(2a-x)关于直线x=a对称。

曲线f(x,y)关于直线x=b对称的曲线为f(x,2b-y)。

曲线f(x,y)关于直线x+y+c=0对称的曲线为f(-y-c,-x-c)。

曲线f(x,y)关于直线x-y+c=0对称的曲线为f(y-c,x+c)。

曲线f(x,y)关于点P(a,b)对称的曲线为f(2a-x,2b-y)。

4.例1：由f(10+x)为偶函数可知f(-10-x)=f(10+x)，结合f(5-x)=f(5+x)，可得f(x)=f(20-x)，故f(x)是偶函数。又因为

f(5-x)=f(5+x)，所以f(x)是以5为周期的周期函数，因此选项A正确。

5.例2：由f(1+x)=f(1-x)可得f(9.6)=f(7.6)，又因为f(x)是

偶函数，所以f(8.6)=f(-8.6)，故f(8.6)=-f(9.4)=-(-4.7)=4.7.

6.例3：设g(x)的图像为(x,y)，则f(x)的图像为(x,3+log2x)，根据对称性可知，g(x)的图像为(2-a-x,3+log2(2-a-x))，故

g(x)=3+log2(2-a-x)。

7.例4：设f(x)的图像为(x,y)，则f(x-a)的图像为(x+a,y)，

f(-x+a)的图像为(-x+a,y)，根据对称性可知，f(x-a)与f(-x+a)的

图像关于直线x=a/2对称，故y=f(x-a)与y=f(-x+a)的图像关于

直线x=a/2对称。