垂径定理推论平分弦不是直径

又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
3.如图，CD为圆O的直径，弦
A
AB交CD于E， ∠ CEB=30°，
DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
F
D
E C
O
B
4.如图，AB是⊙O的弦，∠OCA=300，OB=5cm，
OC=8cm，则AB=
；
O
45
┌
A
D
8
30°
B
C
垂径定理的应用
例2如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD, 点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点, 且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
C
解:连接OC.
E
F
●
D
O
巩固训练
一弓形弦长为4 6 cm，弓形所在的圆的半径为 7cm，则弓形的高为＿＿＿＿.
C
C
A
D
B
O
O
A
D
B
4、如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8, 点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合）, 连接AP、BP,过点O分别作OE⊥AP于
E,OF⊥B4P于F,EF= 。
O
AE
F
B
P
船能过拱桥吗?
例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为 7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、 船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经 过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
AE
B
=BC, =BD.
D
垂径定理的本质是
满足其中任两条，必 定同时满足另三条
（1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 （3）这条直线平分弦 （4）这条直线平分弦所对的优弧 （5）这条直线平分弦所对的劣弧
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦
③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
B
定理D求出第三个量：
练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解：
A
E
B
·
O
答：⊙O的半径为5பைடு நூலகம்m.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
必平分此弦所对的弧 ⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对
的两条弧分别三等分
E
例1：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ，
DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，
求半径OC的长。
O
D
A
B
C
练习1:在圆O中，直径CE⊥AB于
E
D，OD=4 ㎝，弦AC= 10 ㎝ ，
求圆O的半径。
O
D
A
B
C
C
O
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 A 圆心到弦的距离d、弦长a中， 任意知道两个量，可根据
C
h
A
D
r
d
O
d+h=r
B
r2
d2
a
2
2
1、两条辅助线：
·O
半径、圆心到弦的垂线段
2、一个Rt△：
AC B
半径、圆心到弦的垂线段、半弦
3、两个定理： 垂径定理、勾股定理
C
A
B
E
O
D P
达标检测
一、填空
1、已知AB、CD是⊙O中互相垂直的弦，并且AB把CD分成3cm和7cm 的两部分，则圆心O和弦AB的距离为 2 cm.
2、已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN 和EF之间的距离为14cm或2cm. 3、已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径 为 5cm .
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分 弦所对的两条弧。
C
∵ CD是直径， CD⊥AB
·O
∴ AE=BE,A⌒C ⌒ A⌒D ⌒
AE
B
=BC, =BD.
D
垂径定理推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于 弦,并且平分弦所对的两条弧。
C
∵ CD是直径， AE=BE
·O
∴ CD⊥ABA,⌒C ⌒ A⌒D ⌒
4、在半径为25cm的⊙O中，弦AB=40cm，则此弦和弦所对的弧的中 点的距离是 10cm和40cm .
5、 ⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= 10 3 cm .
垂径定理的应用
小结
运用垂径定理可以解决许多生产、生活实际问
题，其中弓形是最常见的图形（如图），则弦a，弦 心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB 上的一个动点，那么OP长的取值范围
是 3cm≤O。P≤5cm
O
5
3
A 4 CP
B
如图，AB为⊙O的一条直径，它把⊙O分成上、 下两个半圆，从上半圆上一点C作弦CD⊥AB, ∠OCD的平分线交⊙O于P，当点C在半圆上 （不包括A、B两点）移动时，点P的位置会发 生怎样的变化？试说明理由？