证明：简谐运动关于时间的图像是正弦函数(非高数证法)

为什么弹簧振子关于时间的图像是正弦函数？

物理选修3-4中对弹簧振子关于时间的图像的性质进行了详细的分析，但如何从理论上证明弹簧振子关于时间的图像是正弦函数呢？

正弦函数与圆关系紧密，而匀速圆周运动在x 轴上的运动与简谐运动十分相似，本次证明将以此为切入点。

设有点P 在x 轴上在简谐运动，平衡位置为原点，劲度系数为k ，振幅为l ，最大速度为0v 。点Q 在以l 为半径的圆上，以0v 的速度做匀速圆周运动。

（以下均为代数式）

OP k F p ∙=

Q 的向心力为l v m F 20=向

Q 的向心力在x 轴上的分力为l

t v l v m F x 020sin = l t v l OP 0sin

= 2202121kl mv =

k l mv l

t v l l t v l v m OP F x ===2200020sin sin 可知点Q 在x 轴上的投影就是点P 又已知l

t v l OP 0sin = m

kl v 2

0= 可知t m k l l t v l OP sin sin 0==

可知弹簧振子关于时间的图像为正弦函数。

振幅为l ，周期为k

m T π

2=

孙腾编辑

2013.03.31