黎曼几何学

德国数学家（G.F.）B.黎曼在19世纪中期所提出的几何学理论。1854年,他在格丁根大学发表的就职演说,题目是《论作为几何学基础的假设》，可以说是黎曼几何学的发凡。从数学上讲,他发展了空间的概念,首先认识到几何学中所研究的对象是一种"多重广延量"，其中的点可以用n个实数作为坐标来描述,即现代的微分流形的原始形式,为用抽象空间描述自然现象打下了基础。更进一步,他认为,通常所说的几何学只是在当时已知测量范围之内的几何学,如果超出了这个范围,或者是到更细层次的范围里面，空间是否还是欧几里得的则是一个需要验证的问题，需要靠物理学发展的结果来决定。他认为这种空间(也就是流形)上的几何学应该是基于无限邻近点之间的距离。在无限小的意义下,这种距离仍然满足勾股定理。这样,他就提出了黎曼度量的概念。这个思想发源于C.F.高斯。但是黎曼提出了更一般化的观点。在欧几里得几何中, 邻近点的距离平方是

(在笛卡儿坐标下)，这确定了欧几里得几何。但是在一般曲线坐标下,

则应为,这里是相当特殊的一组函数。如果是一般的函数，又(g ij)仍构成正定对称阵,那么从

出发,也可以定义一种几何学,这便是黎曼几何学。

由于在每一点的周围，都可以选取坐标使得在这点成立

,所以在非常小的区域里面勾股定理近似成立。但在大一点的范围里一般就和欧几里得几何学有很大的区别了。

黎曼认识到距离只是加到流形上的一个结构，因此在同一流形上

可以有众多的黎曼度量，从而摆脱了经典微分几何曲面论中局限于诱导度量的束缚。这是一个杰出的贡献。

其后，E.B.克里斯托费尔、G.里奇等人又进一步发展了黎曼几何，特别是里奇发展了张量分析的方法，这在广义相对论中起了基本的作用。1915年A.爱因斯坦创立了广义相对论，使黎曼几何在物理中发挥了重大的作用，对黎曼几何的发展产生了巨大的影响。广义相对论真正地用到了黎曼几何学,但其度量形式不是正定的,现称为洛伦茨

流形的几何学（见广义相对论）。

广义相对论产生以来，黎曼几何获得了蓬勃的发展，特别是É.嘉当在20世纪20～30年代开创并发展了外微分形式与活动标架法，建立起李群与黎曼几何之间的联系，从而为黎曼几何的发展奠定了重要基础且开辟了广阔的园地，影响极为深远，由此还发展了线性联络及纤维丛方面的研究。半个多世纪以来，黎曼几何的研究也已从局部发展到整体，产生了许多深刻的并在其他数学分支和现代物理学中有重要作用的结果。随着60年代大范围分析的发展，黎曼几何和偏微分方程（特别是微分算子的理论）、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透、互相影响。在现代物理中的规范场理论（又称杨－米尔斯理论）中，黎曼几何也成了一个有力的工具。

黎曼流形黎曼几何是黎曼流形上的几何学。黎曼流形指的是一个n维微分流形M,在其上给定了一个黎曼度量g,也就是说,在微分流形M的每一个坐标邻域(U,x)内，用一个正定对称的二次微分形式

来度量二个无限邻近的点(x1,x2,…,x n)和(x1+d x1，x2+d x2，…，x n+d x n)之间的距离。这里(g ij)构成一个正定对称的n×n 阵,并假设g ij(x)关于(x i)有一定的可微性,而M上连接两点P、Q的曲线C:x i=x i(t),α≤t≤b的长度l(C)就用积分

来计算。为了保证距离的度量与坐标邻域的选取无关，还要求g ij满足二阶协变张量的变换规律，用整体黎曼几何的语言来说,就是在微分流形M上给定了一个由分量g ij决定的正定对称二阶协变张量场g。M连同g,即(M,g)称为一个n维黎曼流形，g 称为度量张量或基本张量。由于历史的原因，黎曼流形又常称黎曼空间，但后者偏重于局部意义，即常指黎曼流形的一个开子集或一个坐标邻域。

度量张量g在流形M每点P(x1,x2,…,x n)的切空间T p(M)中就规定了一个内积g p(或记为:〈,〉)用来计算切向量的长度、交角。即若向

量X，Y∈T p(M),而,,则X的长度

；X、Y的交角θ由

,0≤θ≤π决定。如果cosθ＝0，即

,就称X、Y为互相正交。│尣│=1的向量称为单位向量，T p(M)中由两两互相正交的单位向量组成的基称为正规正交基，对任一点P∈M，在P点的某一邻域U内总存在n个单位向量场

e1,e2,…,e n,使得在U的每点它们构成切空间的一个正规正交基，这n 个局部向量场称为一个局部正规正交基或局部正规正交标架。运用局部正规正交标架来研究黎曼几何的方法称为活动标架法。黎曼几何中的许多公式和几何量在活动标架下有特别简单明了的表达式，例如取ω1，ω2,…，ωn为局部正规正交标架e1，e2，…，e n的对偶形式,也称对偶基，即满足的n个一次微分形式，于是在基{e i}下，由于，度量形式可写为。

任一仿紧微分流形总具有黎曼度量，这种黎曼度量的数目是非常繁多的，但也不是完全任意的。微分流形的度量结构是受它的拓扑结构所制约的，而这种制约关系正是黎曼几何研究的一个重要内容，还存在许多没有解决的问题。

有了计算曲线长度的方法，黎曼流形(M,g)上任意两点P、Q之间的距离d(P,Q)就可以用M中连接P、Q的所有分段可微分曲线的长度的下确界来定义，即

d(P, Q)=inf(l(C))，

（连接P，Q的分段可微分曲线C）。于是，M在上述距离下成为一个度量空间，还可以证明，它所导出的度量拓扑与流形M原有的拓扑是等价的。

联络、平行移动欧氏空间中两不同点的切向量可以用平行移动的方法移动到同一点处加以比较，而且这种平行移动与移动的道路无关。黎曼流形上不同点的切向量也可以用平行移动的方法加以比

较，但一般说来，这时由于流形的弯曲，平行移动与移动的道路有关。设P(x i)为流形上任一点，{e i}，i=1, 2,…,n为P点附近的一个局部标架，P+d P为P的一个无限邻近点，坐标为x i+d x i。定义P+d P点的切空间和P点的切空间的一个线性对应,使得P +d P点的

对应于P点的向量，这里是n2个一次微分形式, 称为联络形式, 这样引入的对应称为无穷小平行

移动。设是P点附近的一个局部向量场，

那么在点P+d P的向量·经过无穷小平行移动至P点后就

会得到向量, 它与P点的向

量在一阶无穷小范围内的差

称为向量场的协变微分又称绝对微分,记为D X,，特别有标架基e

i的协变微分为

。

为了可以在流形上整体地定义平行移动，自然要求这样定义的无穷小平行移动与标架的选取无关，即应该保证在标架改变时这样所确

定的平行移动和协变微分不受影响。令表示标架的变换,则

(i,j=1,2,…,n) (1)