北师版数学高一-教学设计1.4.3单位圆与诱导公式

4.3 单位圆与诱导公式
整体设计
教学分析
本节教学内容的安排是学生学过的三角函数定义等知识的延续和拓展.根据上一节任意角的正弦、余弦函数的定义，我们知道某角的三角函数值是由该角的终边上点的坐标给出的.我们根据这一点，即三角函数的定义，结合角α的终边与角π+α，-α，π-α的终边的对称性，找出这些角的三角函数值与角α的三角函数值之间的关系，并利用这些关系求一些角的三角函数值，化简一些三角函数式，即我们不仅要探索出这些关系式，还要掌握并能利用它们解决一些简单的问题.
诱导公式是求三角函数值的基本方法，求三角函数值是三角函数中的重要问题之一.诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°-90°角的三角函数值问题.诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化的思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力、，掌握数学的思想方法具有重大的意义.
在本节诱导公式的学习中，关键是紧紧抓住单位圆这一图形工具，充分利用数形结合思想，将化归思想贯穿始终，这些典型的数学思想，无论在本节中的分析导入，还是利用诱导公式将求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，都清晰地得到体现.在教学中注意数学思想渗透于知识的传授之中，让学生了解化归思想，形成初步的化归意识，特别是在本课时的几个转化问题引入后，为什么确定180°+α角为第一研究对象，-α角为第二研究对象，正是化归思想的运用.本节内容的重点是诱导公式的推导及运用，在公式的推导中，首先确定180°+α角、-α角的终边与角α的终边有何位置关系，找出它们与单位圆交点的坐标，由正弦函数、余弦函数的定义得出结论.另外，运用公式进行一般的化简，实际上也是熟悉公式、巩固公式的一种方法，因此它同样属于本课时的重点之一.
本节课教学方法主要采用了引导、观察、分析、归纳、讨论、类比发现法，在教案设计过程中，一是立足于知识的发生、发展形成过程，不断创设问题情境，让学生从已有的知识及感知中去观察、分析、总结公式的特点提炼公式的含义；二是力求以学生为主体，对课本上内容进行重新处理，特别是通过设疑和学生间互相讨论，以及画图思考来引导学生发展思维，获取新知识，形成技能.这样既注重学生的认知结构培养，也体现数学教学是数学思维活动过程的教学；三是注重数学思想方法，如数形结合、化归、类比等数学思想方法，把握
数学中最本质的东西，为学生进一步学习数学奠定坚实的基础.
三维目标
1.通过学生的探究，明确三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；培养学生的逻辑推理能力及运算能力，渗透转化及分类讨论的思想.
2.通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式，并通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力.
3.通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识及学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辩证唯物主义思想，提高分析问题和解决问题的能力，体会数学式子的简洁美、对称美以及数学式子变化的无穷魅力.
重点难点
教学重点：诱导公式的推导及灵活运用，如三角函数式的求值、化简和证明等.
教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识.
导入新课
思路1.首先让学生回忆上一节课探究诱导公式的过程与方法，是怎样借助单位圆导出的？利用的是单位圆的哪些几何性质？并让学生默写上节课所学公式.在此基础上，教师提
出可否借助单位圆找出α与π
2
+α或
π
2
-α的关系？由此展开新内容的探究，揭示课题.
思路2.通过计算猜想引入，让学生计算π
3
，
2π
3
，
π
6
，
5π
6
的正弦、余弦值，并引导学
生观察结果.
sin π
3
=
2
3
，cos
5π
6
=-
2
3
，这里
5π
6
＝
π
2
+
π
3
，sin
π
6
=
2
1
，cos
2
1
3
2
-
=
π
，这里
2π
3
＝
π
2
+
π
6
.
sin 5π
6
=
2
1
，cos
π
3
=
2
1
，这里
5π
6
＝
π
2
+
π
3
，sin
2 π
3
=
2
3
，cos
π
6
=
2
3
，这里
2π
3
＝
π
2
+
π
6
.
猜想：sin(π
2
+α)=cosα，cos(
π
2
+α)=-sinα.由此在单位圆中进一步去探寻验证，在学生急欲探
究的欲望中展开新课，这样引入很符合新课程理念，也是一个不错的选择. 推进新课
新知探究
提出问题
以下按两种思路来探究α与π
2
+α或
π
2
-α的关系.
思路1.先得出α与π
2
-α的关系.
①先计算sin π
3
、cos
π
6
、sin
π
3
、cos
π
6
的值(
2
3
、
2
1
、
2
3
，
2
1
)，你有什么猜想结论？
②怎样验证探究α与π
2
-α的关系呢？在单位圆中，让学生画出终边与角α的终边关于直线
y=x对称的角，观察它们有什么样的位置关系？
③如何由α与π
2
-α的关系，得到α与
π
2
+α的关系？
活动：学生很容易得到如下猜想：cos(π
2
-α)=sinα，sin(
π
2
-α)=cosα.这时教师适时点拨，以上
猜测是正确的，但还要小心求证.没有大胆猜测，就没有事物的发展和进步(鼓励猜想)，没有经过严格证明的结论总还是猜想，不一定正确.为了得到进一步的证明，教师引导学生画出
单位圆及角α、π
2
、-α，探究终边与角α的终边关于直线y=x对称的角的数量关系.先让学生
充分探究，启发学生借助单位圆的几何性质，点拨学生从终边关于直线y=x对称的两个角之间的数量关系，关于直线y=x对称的两个点的坐标之间的关系进行探究(如图7).设任意角
π2-α的终边与单位圆的交点P1(x，y)，由于角α的终边与角
π
2
-α的终边关于直线y=x对称，
角π
2
-α的终边与单位圆的交点P2与点P1关于直线y=x对称，因此点P2的坐标是(y，x)，于
是，我们有sinα=y，cosα=x，cos（π
2
-α)=y，sin(
π
2
-α)=x.
从而得到我们的猜想，也就是如下公式：
sin(π
2
-α)=cosα，cos（
π
2
-α)=sinα.
教师进一步引导学生，因为π
2
+α可以转化为π-(
π
2
-α).所以求
π
2
+α角的正弦、余弦问题就转
化利用上节课所学公式进行变形的问题，由此易得
sin(π
2
+α)=cosα，cos（
π
2
+α)=-sinα.
讨论结果：①—③略.
思路2.先得出α与π2
+α的关系.
教师引导学生观察上图，设任意角α的终边与单位圆交于点P (a ，b )，则角π2
+α的终边与单位圆交于点P 1.由平面几何知识，可知Rt △OPM ≌Rt △P 1OM 1，不难证明，点P 1的坐标为(-b ，a )，且a =cos α， b =sin α.所以点P 的横坐标cos α与点P 1的纵坐标sin(
π2+α)相等，即sin(π2+α)＝cos α.点P 的纵坐标sin α与点P 1的横坐标cos （π2
+α)的绝对值相等且符号相反，由此得到公式
sin(
π2+α)=cos α，cos （π2
+α)=-sin α. 教师进一步引导学生，因为π2-α=π-(π2+α)，所以求π2-α角的正弦、余弦问题就转化为利用上节课所学公式进行变形的问题，由此易得
sin(π2-α)=cos α，cos （π2
-α)=sin α. 至此，我们得到了任意角α的三角函数公式
sin(k ·2π+α)=sin α，cos （k ·2π+α)=cos α.
sin(-α)=-sin α，cos （-α)=cos α.
sin(π-α)=sin α，cos （π-α)=-cos α.
sin(π+α)=-sin α，cos （π+α)=-cos α.
sin(π2+α)=cos α，cos(π2
+α)=-sin α sin(π2-α)=cos α，cos （π2-α)=sin α. 以上公式分别叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式.2k π+α(k ∈Z )，-α，π±α，2π-α的正(余)弦函数值，等于α的相应的正(余)弦函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号；π2
±α的正(余)弦函数值，等于α的相应的余(正)弦函数值，前面加上把α看成锐角时这些角所在象限的正(余)弦函数值的符号.
教师与学生共同进一步归纳总结：以上诱导公式又可以概括为：π2
k ⋅±α(k ∈Z )的三角函数值，当k 为偶数时，得角α的同名函数值；当k 为奇数时，得α相应的余弦函数值.然后前面加上把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为：“奇变偶不变，符号看象限”.这里特别要弄清“把α看成锐角”的含义，不管α是字母还是数值，不管其多大，仅是“看成”而已.以上公式就这样记忆非常方便，这个规律可以扩展，用在选择题、填空题上也很方便. 应用示例
1.求下列函数值： (1)sin(5π2+π4)；(2)sin(-55π6)；(3)sin 5π6cos （-π4)+sin 11π6cos 5π4
. 活动：本例是让学生熟悉刚刚学过的诱导公式，让学生自己探究.由于考虑问题的视角不同会有不同的切入方式，这对学生灵活理解公式很有好处.
解：(1)sin(5π2+π4)＝sin(π2+π4)=cos π4=2
2. (2)sin(-
55π6)=-sin 55π6=-sin(8π+7π6)＝-sin 7π6
=-sin(π+π6)=sin π6=2
1 (3)sin 5π6cos （-π4)+sin 11π6cos 45π=sin(ππ6-)cos π4+sin(2π-π6)cos(π+π4
) =sin π6cos π4+(-sin π6)(-cos π4) =21×22+21×2
2＝22. 点评：解完本例后教师引导学生反思总结，对于学生不同的转化方式，教师都应给予鼓励.比如(2)第一步也可这样转化：sin(-55π6)=sin(-10π+5π6
).以此活化学生的思路. 例2 化简：3sin(2π)cos(3π)cos(
)2sin(π)sin(3π)cos()ααααααπ-⋅+⋅+-+⋅-⋅--π. 活动：本例属于化简求值一类，这种题目要求学生正确灵活地运用诱导公式，教师提醒学生特别注意各式符号的确定.教学时要让学生充分探究，合作交流，通过不同的切入方式获得问题的解决，要充分利用本例的训练价值，达到活跃学生思维的目的.
解：原式＝[][]
(sin )cos(π)cos(π)sin (π)sin(π)cos (π)a αααααα-⋅+⋅+--⋅-⋅-+
=π(sin )(cos )cos()2(sin )sin (cos )
αααααα⎡⎤-⋅-⋅-+⎢⎥⎣⎦-⋅⋅- =α
αsin sin =1. 点评：化简求值题需充分利用公式变形，而公式变形中可以充分体现数学公式的转化和简化功能，充分体现数学思想和方法，因而备受高考命题人的青睐，成为出题频率较多的题型.解完本例后，教师要引导学生对其探究过程进行反思与总结.
变式训练
1.求sin(-870°)的值.
解法一：sin(-870°)=-sin870°=-sin(2·360°+150°)=-sin150°=-sin(180°-30°)=-sin30°=-
2
1. 解法二：sin(-870°)=sin(-10·90°+30°)=-sin30°＝-21 点评：以上两种解法中，解法一是按我们常规思路来解的，解法二是按本节介绍的记忆口诀来解的.这样做的目的不是提倡学生寻求奇妙解法，而是想说明对诱导公式的深刻理解及灵活运用，不要死板记忆公式的形式，孤立地记忆这么多诱导公式，要记忆公式的特征、规律等共同的本质的东西.如本例解法二，这里k =-10是偶数，所以得到同名函数，得到右边的符号是正弦在第三象限(-870°)的符号，为负值.当然，这个方法要求学生的口算能力很好，能很快算出角在第几象限；当然，根据规律，也可以这样：
sin(-870°)=sin(-9·90°-60°)=-cos(-60°)＝-cos60°＝-2
1 2.已知cos(
π6-α)=m (|m |≤1)，求sin(2π3
-α)的值. 解：∵-23πα-(π6-α)=π2，∴2π3-α=π2+(6
π-α). ∴sin(2π3-α)=sin ［π6+(π6-α)］=cos(π6-α)=m . 点评：(1)当两个角的和或差是的整数倍时，它们的三角函数值可通过诱导公式联系起来；
(2)化简已知与所求，然后探求联系，这是解决问题的重要思想方法.
3.(1)已知f (cos x )=cos17x ，，求证：f (sin x )=sin17x ；
(2)对于怎样的整数n ，才能由f (sin x )=sin nx 推出f (cos x )=cos nx ?
(1)证明：f (sin x )=f ［cos(
2π-x )］=cos ［17(π2-x )］=cos(8π+π2-17x )=cos(π2
-17x )=sin17x ， 即f (sin x )=sin17x .
(2)解：f(cos x)=f［sin(π
2
-x)］=sin［n(
π
2
-x)］=sin(
π
2
n
-nx)
=
sin,4,, cos,41,, sin,42,,
cos,43,).
nx n k k
nx n k k
nx n k k
nx n k k
-=∈
⎧
⎪=+∈
⎪
⎨
=+∈
⎪
⎪-=+∈
⎩
Z
Z
Z
Z
故所求的整数n=4k+1(k∈Z).
点评：正确合理地运用公式是解决问题的关键所在.对诱导公式的应用需要较多的思维空间，要善于观察题目特点，灵活变形.观察本例条件与结论在结构上类似，差别在于一个含余弦，
一个含正弦，注意到正弦、余弦转化可借助sin x=cos(π
2
-x)或cos x=sin(
π
2
-x).要善于观察条件
和结论的结构特征，找出它们的共性与差异；要注意诱导公式可实现角的形式之间及互余函数名称之间的转移.
知能训练
课本练习2 1—4.
课堂小结
先由学生回顾本节进程，然后教师与学生一起归纳总结：本节与上节一样，都是利用单位圆推导诱导公式，并应用这些公式进行三角函数的求值、化简及证明的.这里诱导公式比较多，不可死记硬背，要通过练习来记忆它，再结合公式特征，利用歌诀记忆法记忆诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”，角的运算总原则是：“负化正，大化小、化到锐角再查表”.作业
1.课本习题1—4 A组7、8.
2.B组1、2、
3.
设计感想
根据本节教学内容的结构特征和学生学习数学的心理规律，本节教案的设计思路是“问题、类比、发现、猜想、归纳、论证”的探究式教学方法.这种设计模式符合本册课程标准的教学要求及实验教材的新教学理念，符合中学生的认知特点.通过课件的演示，为教学内容的鲜活注入了新的活力.使学生在动态的过程中，愉快地探究新知识，闪现智慧的灵感，使学生身心得以健康发展.
首先利用学生已有知识提出新的问题，创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发学生的求知欲，达到以旧拓新的目的.学生对“α为任意角”的认识更具完备性，通过联想、引导学生
进行问题类比、方法迁移，猜想任意角α与π
2
±α的数量关系，进而借助单位圆探求出严格
的证明，旨在让学生充分感受和理解知识的产生和发展过程.最后师生一起总结、归纳寻找公式的特征等规律性的东西，在应用中进一步拓展.本节把归纳推理和演绎推理有机地结合起来，开阔了学生的视野，发展了学生的思维能力，也提升了学生的思维层次.。