二次函数 构造等腰三角形

题型三：构造等腰三角形

如图，已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式； （2）在x 轴上是否存在一点Q 使得△ACQ 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

【变式练习】

1．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（m ，m ），点B 的坐标为（n ，﹣n ），抛物线经过A 、O 、B 三点，连接OA 、OB 、AB ，线段AB 交y 轴于点C ．已知实数m 、n （m ＜n ）分别是方程x 2

﹣2x ﹣3=0的两根． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点P 为线段OB 上的一个动点（不与点O 、B 重合），直线PC 与抛物线交于D 、E 两点（点D 在y 轴右侧），连接OD 、BD ．

①当△OPC 为等腰三角形时，求点P 的坐标； ②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D 的坐标．

2.如图，抛物线2

54y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC=BC ．

（1）写出A,B,C 三点的坐标并求抛物线的解析式；

（2）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．

3．（2010黄冈）已知抛物线2

(0)y ax bx c a =++≠顶点为C （1，1）且过原点O.过抛物线上一点P （x ，y ）向直线5

4

y =

作垂线，垂足为M ，连FM （如图）. （1）求字母a ，b ，c 的值；

（2）在直线x ＝1上有一点3(1,)4

F ，求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证明此时△PFM 为正三角形；

（3）对抛物线上任意一点P ，是否总存在一点N （1，t ），使PM ＝PN 恒成立，若存在请求出t 值，若不存

在请说明理由.

A

C B

y x

0 1

1

3（10分）．如图，已知二次函数y=﹣x2+x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称

轴与x轴交于点D，连接AC．

（1）点A的坐标为_________，点C的坐标为_________；

（2）△ABC是直角三角形吗？若是，请给予证明；

（3）线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．

2.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+e与x轴交于点A（﹣3，0）、点B（9，0），与y轴交于点C，顶点为D，连

接AD、DB，点P为线段AD上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，过点P作BD的平行线，交AB于点Q，连接DQ，设AQ＝m，△PDQ的面积为S，求S 关于m的函数解析式，以及S的最大值；

（3）如图2，抛物线对称轴与x轴交与点G，E为OG的中点，F为点C关于DG对称的对称点，过点P分别作直线EF、DG的垂线，垂足为M、N，连接MN，直接写出△PMN为等腰三角形时点P的坐标．

3.如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A、B，且B点的坐标为（2，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P是AB上的一个动点，过点P作PE∥AC交BC于点E，连接CP，求△PCE面积最大时P 点的坐标；

（3）在（2）的条件下，若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，当△OMD为等腰三角形时，连接MP、ME，把△MPE沿着PE翻折，点M的对应点为点N，直接写出点N的坐标．

4.如图，已知抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C

（1）求点A，B，C的坐标；

（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；

（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

5.如图，已知二次函数y＝ax2+bx+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于B（﹣2，0）、C（8，0）两点，其

对称轴与x轴交于点D，连接AC、AB．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）判断△ABC的形状，并加以说明；

（3）线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的点E的坐标；

若不存在，请说明理由．

（4）若点P是抛物线上的动点，则能使△PDC称为等腰三角形的点P的个数有个．

如图，二次函数

2

y x bx c

=++的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，顶点为点P，经过B，

C 两点的直线为3y x =-+．

（1）求该二次函数的关系式．

（2）Q 是直线BC 下方抛物线上一动点，△QBC 的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值和此时Q 的坐标．

（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以点C ，P ，M 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

A

B

C

O

x

y

P

23.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c 与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B ，与y 轴交于C （0，3），直线y=+m 经过点C ，与抛物线的另一交点为点D ，点P 是直线CD 上方抛物线上的一个动点，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，交直线CD 于点E ，设点P 的横坐标为m ． （1）求抛物线解析式并求出点D 的坐标；

（2）连接PD ，△CDP 的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当△CPE 是等腰三角形时，请直接写出m 的值．

如图，抛物线y=ax2+bx+6过点A(6，0)，B(4，6)，与y 轴交于点C ． （1）求该抛物线的解析式；

（2）如图1，直线l 的解析式为y=x ，抛物线的对称轴与线段BC 交于点P ，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点H ，连接OP ，求△OPH 的面积；

（3）把图1中的直线y=x 向下平移4个单位长度得到直线y=x-4，如图2，直线y=x-4与x 轴交于点G ．点P 是四边形ABCO 边上的一点，过点P 分别作x 轴、直线l 的垂线，垂足分别为点E ，F ．是否存在点P ，使得以P ，E ，F 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．