矢量分析与场论讲义——高教社出版第3版(谢树艺)

divA
P Q R x y z
由此可以得出奥氏公式（高斯定理）的矢量形式为：
A dS divAdV
S
此式表明了通量和散度之间的一种关系：穿出封闭曲面 S 的通量，等 于 S 所包围的区域 上的散度在上 的三重积分。 P52 散度的基本运算公式。 典型例题 p44 例 1，p52 例 4，例 5，习题 4。 （1）设 S 为由圆柱面 x 2 y 2 a 2 及平面 z 0 和 z h 所围成的封闭曲 面，求 r xi yj zk 穿出 S 的柱面部分的通量。 （2） 已知 A axz x 2 i by xy 2 j z z 2 cxz 2 xyz k ， 试确定阿 a， b， c 使得 A 是一个无源场。 （3）求矢量场 A 3x 2 2 yz i y 3 yz 2 j xyz 3xz 2 k 所产生的散度场 通过点 M 2,1,1 的等值面及其在点 M 处沿 Ox 轴正向的变化率。 (4) 已知 grad divf r r 0 ，其中 r xi yj zk ， r r ，求 f r 。
u u u u cos cos cos l x y z
5 数量场的梯度是一个矢量，场中的每一点都对应着一个梯度矢量。 梯度矢量有两个重要性质： （1）梯度在任一方向上的投影，正好等于函数在该方向上的方向导 数， grad l u
u 。据此可以推出：梯度自身的方向就是方向导数最大 l
矢量分析与场论
第一章 矢量分析
一 内容概要 1 矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函 数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。与高等数学研究 过的数性函数的相应概念完全类似， 可以看成是这些概念在矢量分析 中的推广。 2 本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数 At ，但在后边场论 部分所涉及的矢性函数， 则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函 数 Ax, y 或者 Ax, y, z ，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导 数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其 有关的相应概念加以推广而得出。 3 本章的重点是矢性函数及其微分法， 特别要注意导矢 A' t 的几何意 义，即 A' t 是位于 At 的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线 上对应 t 值的点处，且恒指向 t 值增大的一方。 如果将自变量取为矢端曲线的弧长 s，即矢性函数成为 A As ，则
典型例题：习题 2（最好能全部做一下） （1）求数量场 u ln x 2 y 2 z 2 通过点 M(1,2,1)的等值面。 （2）求矢量场 A i j x 2 y k 通过点 M(2,1,1)的矢量线方程。 4 数量场中函数 uM 的方向导数是一个数量。 它表示在场中的一个点 处函数 uM 沿某一方向的变化率。详细点说：其绝对值的大小，表示 沿该方向函数变化的快慢程度，其符号的正负，则表示沿该方向函数 的变化是增加还是减小的。 若在点 M 处，函数 uM 可微，则函数 u 沿 l 方向的方向导数在 迪卡尔坐标下的计算公式为：
的方向，其模就是这个最大方向导数的数值。 （2）数量场中每一点处的梯度都垂直于此数量场过该点的等值面， 且指向函数值增大的一方。 梯度在直角坐标系中的表达式为：
grad u u u u i j k。 x y z
此外，从梯度的基本运算公式可以看出，他与一元函数中导数运算的 公式完全类似，这一点可以帮助大家掌握梯度的基本运算(p39)。
8 矢量场 A 沿有向闭曲线 l 的环量 A dl 也是从某些物理量，如力
l
场中的功、 流场中的环流以及磁场中的电流强度等概念抽象形成的一 个数学概念，和通量概念的形成极为类似，通量是一个曲面积分，环 量是一个曲线积分。二者在矢量场中都是一种整体性的概念，为了研 究矢量场的局部性质，前面从通量引入了散度，这里又可以从环量引 入环量面密度的概念： 在矢量场 A 中的一点 M 处，取定一个方向为 n ，再经过点 M 处
第二章
场论
一 内容概要 1 本章按其特点可以划分为三部分：第一部分为第一节，除介绍场的 概念外，主要讨论了如何从宏观上利用等值面（线）和矢量线描述场 的分布规律；第二部分为第二、三、四节，内容主要是从微观方面揭 示场的一些重要特性；第三部分为第五节，主要介绍三种具有某种特 性而又常见的矢量场。其中第二部分又为本章之重点。 2 空间数量场的等值面和平面数量场的等值线以及矢量场的矢量线 等，都是为了能够形象直观地体现所考察的数量 uM 或矢量 AM 在 场中的宏观分布情况而引入的概念。 比如温度场中的等温面，电位场中的等位面，都是空间数量场中 等值面的例子；而地形图上的等高线即为平面数量场中等值线的例 子。 在矢量场中，矢量线可以体现场矢量的分布状况，又能体现场矢 量的走向。 例如流场中的流线， 体现了流速的分布状况和它们的走向。 此外，由于矢量场中的每一点都有一条矢量线通过，因此对于场中的 任一条曲线 C（非矢量线） ，在其上的每一点也皆有一条矢量线通过， 这些矢量线的全体，就构成一曲面，称为矢量面，特别的，当曲线 C 为封闭曲线时，矢量面就成为一管形曲面，称之为矢量管。 3 有一种空间场（矢量场或者数量场）具有这样的一种几何特点：就 是在场中存在一族充满场所在空间的平行平面， 场在其中每一个平面 上的分布，都是完全相同的（若是矢量场，其场矢量同时也平行于这 些平面） 。对于这种场，只要知道场在其中任一平面的中的特性，则 场在整个空间里的特性就知道了，因此，可以将这种场简化到这族平 面中的任意一个平面上来研究，因而，也把这种场称为平行平面场。 在平行平面场中，通常为了研究方便，通常取所研究的这一个平面为 xoy 平面。此时，在平行平面场中，场矢量就可以表示成为平面矢量 A Ax x, y i Ay x, y j ，在平行平面数量场中，其数量就可以表示成为 二元函数 u ux, y ，并且这样的研究结果适用于任何一块与 xoy 面平 行的平面。
A dS ，
S
（1） 当 0 时，则 S 内必有产生通量的源头； （2） 当 0 时，则 S 内必有吸收通量的漏洞； 这两种情况，合称为 S 内有源（源头为正源，漏洞为负源） 。 （3） 当 0 时，不能断言 S 内ຫໍສະໝຸດ Baidu源，因为这时，在 S 内正源和 负源互相抵消，也可能恰好出现总通量为零的情况。 由此可见，从穿出某个封闭曲面的总通量，可以初步了解在 S 内通量 产生的情况，当然这仅仅是一种整体性的粗略了解，这由此引出了矢 量场中散度的概念。
u ，其中 r 为矢径 r xi yj zk 的模。 l 1 r
6 矢量场 A 穿过某一曲面 S 的通量 A dS 是从某些物理量，诸如
s
流速场中的流量、电场中的电通量、磁场中的磁通量以及热流场中的 热量等等概念中抽象出来形成的一个数学概念。 因此通量是具有若干 物理意义的。 如果 S 是一个封闭曲面，则矢量场 A 穿出 S 的总通量为
1 2 r r 'd 2 0
一质点以常角加速度沿圆周 r ae 运动，试证明其加速度
v2 r ，其中 v 为速度 v 的模。 a2
ω
3） 4）
已知矢量 A ti 2tj ln tk ，B e t i sin tj 3tk ，计算积分 A B' dt 。 已知矢量 A ti 2tj ， B cos ti sin tj e t k ，计算积分 A B' dt 。
A B'dt A B B A' dt
A B'dt A B B A' dt
前者与高等数学种数性函数的分部积分法公式一致， 后者由两项相减 变为了求和，这是因为矢量积服从于“负交换律”之故。
6 在矢量代数中，在引进了矢量坐标之后，一个空间量就和三个数量 构成一一对应关系，而且有关矢量的一些运算，例如和、差以及数量 与矢量的乘积都可以转化为三个数量坐标的相应运算。同样，在矢量 分析中，若矢性函数采用坐标表示式，则一个矢性函数就和三个数性 函数构成一一对应关系，而且有关矢性函数的一些运算，例如计算极 限、求导数、求积分等亦可以转化为对其三个坐标函数的相应运算。 7 矢性函数极限的基本运算公式(14)、导数运算公式(p11)、不定积分 的基本运算公式(p16) 典型例题： 教材 p6 例 2、p10 例 4、p12 例 6、p13 例 7。习题一（p19~20） 此外还有上课所讲的例题。 补充： 1） 2） 设 r ae1 bk ，求 S
典型例题 p34 例 2，p37 例 3，例 4，p38 例 5，6，习题 3。 （ 1 ） 求 函 数 u 3x 2 z 2 2 yz 2 xz 在 点 M(1,2,3) 处 沿 矢 量
α yzi xzj xyk 方向的方向导数。
（2） 求函数 u xyz 在曲面在点 M(2,3,3)处沿曲面下侧法线方向的方向 导数
u |M 。 n
（3） 求函数 u 3x 2 y y 2 在点 M(2,3)处沿曲线 y x 2 1 朝 x 增大一方的 方向导数。 （4）设 R 是从点 M 0 a, b, c 到任意一点 M x, y, z 的距离，求证 gradR 是 在 R M 0 M 方向上的单位矢量。 （5）已知一可微的数量场 ux, y, z 在点 M 0 1,2,1 处，朝点 M 1 2,2,1 方向 的方向导数是 4，朝点 M 2 1,3,1 方向的方向导数为-2，朝点 M 3 1,2,0 方 向的方向导数为 1，试确定在 M 0 处的梯度，并求出朝点 M 4 4,4,7 方向 的方向导数。 （6） 求数量场 u 在点 M 1,0,0 处沿过点 M 的等值面的外法线方向 n 的方向导数
A' s dA 不仅是一个恒指向 s 增大一方的切向矢量， 而且是一个单位 ds
切向矢量。这一点在几何和力学上都很重要。
4 矢量 At 保持定长的充分必要条件是 At 与其导矢 A' t 互相垂直。 因此单位矢量与其导矢互相垂直。比如圆函数 et cos t i sin t j 为单 位矢量，故有 et e' t ，此外又由于 e' t e1 t ，故 et e1 t 。 （圆函 数还可以用来简化较冗长的公式，注意灵活运用） 。 5 在矢性函数的积分法中， 注意两个矢性函数的数量积和两个矢性函 数的矢量积的分部积分法公式有所不同，分别为：
7 矢量场 A 的散度 div A ，是指在场中的一点处，矢量场 A 穿出一个 包含该点在内的微小区域 的边界曲面 S 的通量 对 的体积变 化率，即
A dS S divA lim lim 0 V 0 V
它是一个数量， 表示此矢量场在这个点处散发通量或者吸收通量的强 度。具体来说，散度以绝对值表示在该点处源的强度大小。当其不为 零时，以正负号表示该点处的源为正源或者负源；当其为零时，则表 示该点无源，从而将散度恒为零的矢量场称为无源场。与散度相对应 的场称为散度场。由于散度场为数量场，故亦可通过其等值面、方向 导数和梯度等来揭示其分布规律和变化情况。 在直角坐标系中，矢量场 A PM i QM j RM k 在点 M 处的散 度表示式为：