优化问题与先进算法

1. 求什么？
• 土地Hale Waihona Puke Baidu本价格
y1
• 劳动力成本价格
y2
• 2. 优化什么？
• 成本价格最低
m inz5 0y12 0y2
• 3. 限制条件？ • 蔬菜的市场价 • 棉花的市场价 • 水稻的市场价
y1y11213yy22
110
75
y1
1 4
y2
60
模型 II .
设决策变量: 对单位土地和对单位劳力投入
对偶问题
问题 max f=cTx
• s.t. Ax b
• xi 0, i=1,2,,n.
• min f=bTy • s.t. ATy c • yi 0, i=1,2,,m.
对偶定理: 互为对偶的两个线性规划问题, 若其中一个有有穷的最优解, 则另一个也有有穷的最优解, 且最优值相等. 若两者之一有无界的最优解, 则另一个没有可 行解
• 模型I ：模型 I : 设决策变量：种植蔬菜 x 1 亩,
棉花x 2 亩, 水稻 x 3亩，
• 求目标函数 m a x f 1 1 0 x 1 7 5 x 2 6 0 x 3
• •
在约束条件
1 2x1
13x2
14x3
x1x2x350
20 下的最大值
规划问题：在约束条件下求目标函数的 最优值点。
规划问题包含3个组成要素: 决策变量、目标函数、约束条件。
当目标函数和约束条件 都是决策变量的线性函数时，
称为线性规划问题, 否则称为非线性规划问题。
2. 线性规划问题求解方法
称满足约束条件的向量为可行解,
称可行解的集合为可行域 ,
称使目标函数达最优值的可行解为最优解.
线性规划问题求解方法：Matlab优化工具箱和 专门解优化问题的软件 Lindo、Lingo，还有软 件Excel，也可应用于解优化问题。
Global optimal solution found at iteration: 2
Objective value:最优值
4500.000
Variable Value最优解 Reduced Cost
X1 30.00000
0.000000
X2 0.000000
1.666667
X3 20.00000
• 模型 I II构成对偶问题.
• 模型 I 解得最优解Xopt=(30 0 20), 最大值 f(xopt)=4500
• 模型 II 解得最优解yopt=(10 200), 最小值 g(yopt)=4500.
模型I 给出了生产中的产品的最优分配方案 模型 II 给出了生产中资源的最低估价. 进一步问：如果增加对土地和劳动力的投入，每种资源 的单位投入增加会带来多少产值？ 由最优解 y=(10,200) 可见, 多耕一亩地增加10元收入， 多一个劳动力增加200元收入。也就是说, 此时一个劳动力的估价为200元,而一亩土地估价为10元. 这种价格涉及到资源的有效利用, 它不是市场价格,而是 根据资源在生产中做出的贡献确定的估价, 被称为“影 子价格”. 再进一步问，棉花价格提高到多少才值的生产？
成本价格分别为 y 1 , y 2
求目标函数 在约束条件 下的最小值.
y1 m 12in y2z 15 10 0y1 , y2 1 0 y 132y2
75
,
y1
1 4
y2
60
3. 对偶问题：
A 是m n 矩阵，
c 是 n 1向量，b 是 m 1向量
x 是 n 1向量, y 是 m 1向量
0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price对偶价格
1 4500.000
1.000000
2 0.000000
10.00000
3 0.000000
200.0000
结果解释
reduced cost值表示当该非基变量增加一个单位时（其他非 基变量保持不变）目标函数减少的量(对max型问题)也可理 解为：为了使该非基变量变成基变量，目标函数中对应系数
• 分析：
• 1. 求什么？
• 分别安排多少亩地
种蔬菜、棉花、水稻？ x 1 亩, x 2 亩, x 3 亩
• 2. 优化什么？
•
产值最大
• 3. 限制条件？
m a x f 1 1 0 x 1 7 5 x 2 6 0 x 3
• 田地总量 • 劳力总数
x1x2x350
12x113x214x3 20
应增加的量 Row Slack or Surplus 松弛量或剩余量，土地、劳动力剩余
量为零。“资源” 剩余为零的约束为紧约束（有效约束）
灵敏度分析 当线性规划问题中的常数发生变化(由于测量误差或具有多个 取值可能)时, 最优解是否会随之变化? 通常假定变化的常数是某参数的线性函数.讨论参数取值与最 优解的关系的问题, 被称为参数线性规划. 例如, 当农作物的价格发生变化时, 生产计划是否应马上随之 改变? 参见线性规划书籍
由 y1+1/3y2=10+200/3=76.6>75, （而其它两个约束 条件是等式）可见，只有当棉花价格提高到 76.6元时 才值得生产.
Lingo命令
Model:
Max=110*x1+75*x2+60*x3;
x1+x2+x3<=50;
1/2*x1+1/3*x2+1/4*x3<=20;
end
输出结果
• 一般线性规划的数学模型及解法： • min f=cTx • s.t. Ax b • A1x=b1 • LB x UB • Matlab求解程序 • [x,f]=linprog(c,A,b,A1,b1,LB,UB)
分析：
以最经济的投入达到收益最大的目标.（或者说以直 接出售土地和劳动力的方式达到收益最大的目标.）
1947年美国数学家乔治.丹契克、冯. 诺伊曼提出线性规划的一般模型及理论.
1. 问题
例1 作物种植安排
一个农场有50亩土地, 20个劳动力, 计划 种蔬菜,棉花和水稻. 种植这三种农作物每 亩地分别需要劳动力 1/2 1/3 1/4, 预计每 亩产值分别为 110元, 75元, 60元. 如何规 划经营使经济效益最大.
优化问题与先进算法
一、 优化问题与规划模型
优化问题：与最大、最小、最长、最 短等等有关的问题。
优化问题分类：（非）线性规划、整数规 划、0-1规划、（多）目标规划、（与时间 有关的）动态规划、（系数是随机变量的） 随机规划。
1.1 线性规划
1939年苏联数学家康托洛维奇发表 《生产组织与计划中的数学问题》