北师大版九年级数学第四章探索相似三角形相似的条件

探索相似三角形相似的条件

【学习目标】

1.相似三角形的概念.

2.相似三角形的三个判定定理.

3.黄金分割.

4. 进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.

【要点梳理】

要点一、相似三角形的概念

相似三角形：三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.

要点进阶：

(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；

(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.

要点二、相似三角形的三个判定定理

定理：两角分别相等的两个三角形相似.

两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.

三边成比例的两个三角形相似.

要点进阶：

（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.

（2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.

要点三、相似三角形的常见图形及其变换：

要点四、黄金分割

1.定义：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC两段,如果AC BC

AB AC

,那么线段AB被点

C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 要点进阶：

51

2

AC AB

-

=≈0.618AB(0.618是黄金分割的近似值，

51

2

-

是黄金分割的准确值).

2.作一条线段的黄金分割点：

如图，已知线段AB，按照如下方法作图：

（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=

2

1

AB.

（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.

（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.

要点进阶：

一条线段的黄金分割点有两个.

【典型例题】

类型一、相似三角形的概念

例1、买西瓜为什么挑大个？

思驰是一个好奇心很强的女孩，凡事都喜欢问个为什么．一天，思驰跟爸爸上街买西瓜．见爸爸选中的全是大个西瓜，她的小脑袋瓜又转开了：买西瓜为什么挑大个？

“你这个沈老师的得意门生，能用学过的数学知识解决吗？”，爸爸“将”了思驰一军．回到学校，思驰就找来远兮一起商量．两人便开始了一番精彩对话．

思驰：西瓜可以近似看成球体，可以应用球的体积公式．

远兮：大西瓜和小西瓜的皮厚几乎相等．

思驰：人们买瓜是为了吃瓤．

远兮：瓤的体积在整个西瓜体积中占的比越大越好．

思驰：两者的体积比如何求呢？

经过一段时间的商讨，她们提出了解决方案：设瓜瓤（视为球体）的半径为r，瓜皮厚度为a，则瓤和整个瓜的体积比为：

3

3

3

3

3

4

3()

4()

()

3

r r r

r a r a

r a

π

π

==

++

+

＜1当a一定时，r值越大，（3

()

r

r a

+

的值越接近于1，即西瓜越大，瓤与整个瓜的体积比越接近于1．

思驰把解决方案讲给父亲听后，父亲充满了赞许之意，但父亲同时又提出了：你能用你正在学习的相似图形知识解决问题吗？等你学完图形的相似这一章后，我相信你还能找出新的方法的．

问题：你认为生活中还有哪些与它类似的情形？

类型二、相似三角形的三个判定定理

例2.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，，连接EF并延长交BC

的延长线于点G．

（1）求证：△ABE∽△DEF；

（2）若正方形的边长为4，求BG的长．

举一反三

【变式】如图，已知在△ABC与△DEF中，∠C=54°，∠A=47°，∠F=54°，∠E=79°，求证：△ABC∽△DEF．

例3、如图，△ABC中，AB=5，BC=3，CA=4，D为AB的中点，过点D的直线与BC交于点E，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE的长为多少？

举一反三

【变式】如图，在△ABC于△ADE中,AB AE

BC ED

，要使△ABC于△ADE相似，还需要添加一个

条件，这个条件是___________．

例4、如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．（1）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；

（2）P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似（要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明理由）

举一反三

【变式】如图，已知每个小正方形的边长均为1，△ABC与△DEF的顶点都在小正方形的顶点上，那么△DEF与△ABC相似的是（）

类型三、黄金分割

例5.折纸与证明---用纸折出黄金分割点：

第一步：如图（1），先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF．

第二步：如图（2），将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD）

举一反三：

【变式】如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这时B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．