正弦函数图象的对称轴与对称中心

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函数)sin(ϕω+=x A y 图象的对称轴与对称中心

新疆民丰县一中 亚库普江·奥斯曼

摘要：

新课标高中数学教材上函数的性质就着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏的会出现函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴、反此例函数的对称性、三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。以我的经验看，这方面一直是教学的难点，尤其是轴象函数的对称性判断。所以这里我对高中阶段所涉及的函数)sin(ϕω+=x A y 的对称性知识提出自己的观点。

，且∴其中 k ∈数y 若是的对称轴，则；若是它

的对称中心，则0)(=a f 。

函数)sin(ϕω+=x A y 对称轴方程的求法：令

1)s i n (±=+ϕωx ，得）（Z k 2k ∈+=+ππϕωx ，则ω

ϕππ222-+=k x （Z k ∈），所以函数)s i n (ϕω+=x A y 的图象的对称轴方程为ω

ϕππ222-+=k x ，其中 Z k ∈。

例1：函数)2

52sin(π+=x y 图象的一条对称轴方程是：（ ） （A ）2-π

=x （B ）4-π

=x （C ）8π

=x （D ）4

5π=x 解：由性质知，令1)252sin(±=+

πx 得2252πππ+=+k x )(Z k ∈，即ππ-2k x =)(Z k ∈，取1=k 时，2-π

=x ，故选（A ）。

例2：函数

2sin 2cos x x y +=的图象相邻两条对称轴之间的距离是（ ）。 函得ωx )的例=1x 解：由性质知， 令0)32sin(2=+x 得πk x =+

32)(Z k ∈，即62π-=x )(Z k ∈，所以函数32sin(2π

+=x y 图象的对称中心是)0,62(π

π-k

)(Z k ∈。

在62ππ-=k x 中，取0=k ，得]0,2[6-1π

π-∈=x 。

由于对称轴都是通过函数图像的最高点或者最低点的直线，因此只要把对称轴的方程代入到函数解析式，函数就会取得最大值或最小值。易错点就在于很多同学误认为由于正弦函数x y sin =

的周期是πk 2，就会错误的令成2k 2π

πϕω+=+x 。

通过类比可以得到余弦型函数)cos(ϕω+=x A y 的对称轴方程是ωϕ

π-=k x ，对称中心点是)0,222(ω

ϕππ-+k ，其中Z ∈k 。