数学物理方程——2 方程的分类
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
8
下午3时19分
数学物理方法
方程的分类
定义：常微分方程（5）为PDE（1）的特征方程
（5）的积分曲线为PDE（1）的特征曲线。
dy 2 dy a11 ( ) − 2a12 + a 22 = 0 dx dx
dy = dx
a 12 ±
2 a 12 − a 11 a 22 a 11
（6）
9
下午3时19分
方程的分类
⎧ξ = ϕ1 ( x , y ) 由此令 ⎨ ⎩η = ϕ 2 ( x , y )
，
ξ + iη
满足方程（4）
∂ (ξ + iη ) 2 ∂ (ξ + iη ) ∂ (ξ + iη ) ∂ (ξ + iη ) 2 a11 ( ) + 2a12 + a22 ( ) =0 ∂x ∂x ∂y ∂y
椭圆型
y>0
双曲型
y<0
± dy = dx
16
− y y
下午3时19分
数学物理方法
方程的分类
y>0
dx ± i
2 x±i 3
y dy = 0
y3 = C
⎧ξ = x ⎪ 2 3 ⎨ η = y2 ⎪ 3 ⎩
1 uξξ + uηη = uη 3η
y<0
dx ±
− y dy = 0 (− y )3 = C
的特解，则关系式 ϕ ( x, y ) = C 是常微分方程 dy 2 dy a11 ( ) − 2a12 + a 22 = 0 dx dx 的通解。
（4）
（5）
结论2. 假设 ϕ ( x, y ) = C 是常微分方程（5）的通解 则函数 z = ϕ ( x, y ) 是（4）的特解。 由此可知，要求方程（4）的解，只须求出常微 分方程（5）的通解。
2 x± 3
⎧ ⎪ξ = x − ⎪ ⎨ ⎪η = x + ⎪ ⎩
3 2 (− y ) 2 3 3 2 (− y ) 2 3
uξη
17
1 = (uξ − uη ) 6(ξ − η )
下午3时19分
数学物理方法
方程的分类
y =0
Tricomi方程 yu xx + u yy = 0
变为
u yy = 0
1
下午3时19分
数学物理方法
方程的分类
标准型
( I ) Δ ( x,y ) > 0
（双曲型PDE） 或
uξη
=G
u ss − u tt
= G′
( II ) Δ( x,y ) = 0
（抛物型PDE）
uηη
( III ) Δ ( x,y ) < 0
=G
（椭圆型PDE）
uξξ + uη η
2
=G
下午3时19分
12
∂η ∂ξ ∂η ∂η ∂ξ ∂ξ ∂η + + a12 ( ) + a22 ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y ∂y ∂x ∂ξ ∂ξ ⎞⎛ ∂η ∂η ⎞ ⎟⎜ a11 ⎟ + a22 + a22 ⎟⎜ ∂x ∂y ⎠⎝ ∂x ∂y ⎟ ⎠
下午3时19分
数学物理方法
方程的分类
而
∂η 2 ∂η ∂η ∂η 2 A22 = a11 ( ) + 2a12 + a22 ( ) ≠ 0 ∂x ∂y ∂x ∂y
a12 = a11 ⋅ a22
∂ξ 2 ∂ξ ∂ξ ∂ξ 2 A11 = a11 ( ) + 2a12 + a22 ( ) ∂x ∂y ∂x ∂y 2 ⎛ ∂ξ ⎞ ∂ξ ⎟ =0 + a22 = ⎜ a11 ⎜ ∂y ⎟ ∂x ⎝ ⎠ 由此推出
∂ξ A12 = a11 ∂x ⎛ = ⎜ a11 ⎜ ⎝ =0
( A11 − A22 ) + iA12 = 0
A11 = A22 ≠ 0, A12 = 0
从而方程（1）可改写为
∂2u ∂ξ 2
15
+
∂2u ∂η 2
= G
椭圆型方程的标准型
下午3时19分
数学物理方法
方程的分类
例
Tricomi方程
yu xx + u yy = 0
⎧< 0, (y > 0) Δ( x,y ) = − y = ⎪ ⎨ ⎪> 0, (y < 0) ⎩
系 数 之 （3） 间 的 关 系
5
A12 = a11ξ xη x + a12 (ξ xη y + η xξ y ) + a22ξ yη y
A22 = a11η x 2 + 2a12η xη y + a22η y 2
下午3时19分
数学物理方法
方程的分类
A11uξξ + 2 A12 uξη + A22 uηη =B1uξ + B2 uη + Cu + F （2）
数学物理方法
方程的分类
三、二阶线性PDE的分类 （两个自变量情形）
a11 uxx + 2a12 uxy + a22 u yy + b1 ux + b2 u y + cu = f
记
2 Δ ( x, y ) = a12 − a11a22
（1）
定义
方程(1)在点M(x,y)处是
双曲型：若在点M处，有 Δ( x, y ) > 0 椭圆型：若在点M处，有 Δ( x, y ) < 0 抛物型： 若在点M处，有 Δ( x, y ) = 0
数学物理方法
方程的分类
双曲型PDE
a 12 ± dy = dx
由此令
2 12
Δ ( x, y ) = a − a11a22 > 0
2 12
a − a 11 a 22 a 11
右端为两相异 的实函数
它们的一般积分为 ϕ ( x, y ) = C ,
⎧ξ = ϕ ( x , y ) ，方程（1）可改写为 ⎨ ⎩η = ψ ( x , y )
双曲型方程的 第一标准型 双曲型方程的 第二标准型
下午3时19分
ψ ( x, y ) = C
∂2u ∂u ∂u , ) = G (ξ ,η , u , ∂ξ∂η ∂ξ ∂η
⎧s = ξ + η ⎨ ⎩ t = ξ −η
10
∂2u ∂sห้องสมุดไป่ตู้
2
−
∂2u ∂t
2
= G1
数学物理方法
方程的分类
2 Δ ( x, y ) = a12 − a11a22 = 0
A11 = A22 = 0, A12 ≠ 0 双曲型：
椭圆型： A11 = A22 ≠ 0, A12 = 0 抛物型： A11 = A12 = 0, A22 ≠ 0
6
下午3时19分
数学物理方法
方程的分类
考虑
a11 z x 2 + 2a12 z x z y + a22 z y 2 = 0
如若能找到两个相互独立的解
3
下午3时19分
数学物理方法
方程的分类
u ( x, y )
复合求导
⎧ξ = ξ ( x , y ) ⎨ ⎩η = η ( x , y )
u (ξ ,η )
u x = uξ ξ x + uηη x
u y = uξ ξ y + uηη y
u xx = uξξ ξ 2 x + 2uξη ξ xη x + uηηη 2 x + uξ ξ xx + uηη xx
抛物型PDE
dy a 12 = dx a 11
由此得到一般积分为 由此令
ϕ ( x, y ) = C ,
⎧ξ = ϕ ( x , y ) ，其中ψ ( x, y ) 与 ϕ ( x, y ) ⎨ ⎩η = ψ ( x , y )
独立的任意函数。
11
下午3时19分
数学物理方法
方程的分类
由于
Δ ( x, y ) = 0
（4）
z = ϕ ( x, y )
那么就作变换
z = ψ ( x, y )
⎧ξ = ϕ ( x , y ) ⎨ ⎩η = ψ ( x , y )
从而有
A11 = A 22 = 0
下午3时19分
7
数学物理方法
方程的分类
结论1.
假设 z = ϕ ( x, y ) 是方程
a11 z x 2 + 2a12 z x z y + a22 z y 2 = 0
右端为两相异 的复数
由此推出两族复数积分曲线为
ϕ ( x, y ) = C , ϕ * ( x, y ) = C
其中
ϕ ( x, y ) = ϕ1 ( x, y ) + iϕ 2 ( x, y )
ϕ * ( x, y ) = ϕ1 ( x, y ) − iϕ 2 ( x, y )
14
下午3时19分
数学物理方法
u yy = uξξ ξ 2 y + 2uξη ξ yη y + uηηη 2 y + uξ ξ yy + uηη yy
u xy = uξξ ξ xξ y + uξη (ξ xη y + ξ yη x ) + uηηη xη y + uξ ξ xy + uηη xy
4
下午3时19分
数学物理方法
方程的分类
这就是抛物型的标准形式。
注：多于两个变量的二阶PDE的分类 有兴趣的同学可以查看相关资料，考 试不做要求。
18
下午3时19分
因此，方程（1）可改写为
∂2u ∂η 2
= G (ξ ,η , u ,
∂u ∂u , ) ∂ξ ∂η
抛物型方程的标准型
13
下午3时19分
数学物理方法
方程的分类
2 Δ( x, y ) = a12 − a11a22 < 0
2 a 12 − a 11 a 22 a 11
椭圆型PDE
a 12 ± dy = dx
数学物理方法
方程的分类
a11 uxx + 2a12 uxy + a22 u yy + b1 ux + b2 u y + cu = f
目的：通过自变量的非奇异变换来简化方程的主部，
从而据此分类。
（1）
⎧ξ = ξ ( x , y ) ⎨ ⎩η = η ( x , y )
非奇异
ξx ξ y ≠0 ηx η y
a11 uxx + 2a12 uxy + a22 u yy + b1 ux + b2 u y + cu = f
（1）
A11uξξ + 2 A12 uξη + A22 uηη =B1uξ + B2 uη + Cu + F （2）
A11 = a11ξ x 2 + 2a12ξ xξ y + a22ξ y 2
下午3时19分
数学物理方法
方程的分类
定义：常微分方程（5）为PDE（1）的特征方程
（5）的积分曲线为PDE（1）的特征曲线。
dy 2 dy a11 ( ) − 2a12 + a 22 = 0 dx dx
dy = dx
a 12 ±
2 a 12 − a 11 a 22 a 11
（6）
9
下午3时19分
方程的分类
⎧ξ = ϕ1 ( x , y ) 由此令 ⎨ ⎩η = ϕ 2 ( x , y )
，
ξ + iη
满足方程（4）
∂ (ξ + iη ) 2 ∂ (ξ + iη ) ∂ (ξ + iη ) ∂ (ξ + iη ) 2 a11 ( ) + 2a12 + a22 ( ) =0 ∂x ∂x ∂y ∂y
椭圆型
y>0
双曲型
y<0
± dy = dx
16
− y y
下午3时19分
数学物理方法
方程的分类
y>0
dx ± i
2 x±i 3
y dy = 0
y3 = C
⎧ξ = x ⎪ 2 3 ⎨ η = y2 ⎪ 3 ⎩
1 uξξ + uηη = uη 3η
y<0
dx ±
− y dy = 0 (− y )3 = C
的特解，则关系式 ϕ ( x, y ) = C 是常微分方程 dy 2 dy a11 ( ) − 2a12 + a 22 = 0 dx dx 的通解。
（4）
（5）
结论2. 假设 ϕ ( x, y ) = C 是常微分方程（5）的通解 则函数 z = ϕ ( x, y ) 是（4）的特解。 由此可知，要求方程（4）的解，只须求出常微 分方程（5）的通解。
2 x± 3
⎧ ⎪ξ = x − ⎪ ⎨ ⎪η = x + ⎪ ⎩
3 2 (− y ) 2 3 3 2 (− y ) 2 3
uξη
17
1 = (uξ − uη ) 6(ξ − η )
下午3时19分
数学物理方法
方程的分类
y =0
Tricomi方程 yu xx + u yy = 0
变为
u yy = 0
1
下午3时19分
数学物理方法
方程的分类
标准型
( I ) Δ ( x,y ) > 0
（双曲型PDE） 或
uξη
=G
u ss − u tt
= G′
( II ) Δ( x,y ) = 0
（抛物型PDE）
uηη
( III ) Δ ( x,y ) < 0
=G
（椭圆型PDE）
uξξ + uη η
2
=G
下午3时19分
12
∂η ∂ξ ∂η ∂η ∂ξ ∂ξ ∂η + + a12 ( ) + a22 ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y ∂y ∂x ∂ξ ∂ξ ⎞⎛ ∂η ∂η ⎞ ⎟⎜ a11 ⎟ + a22 + a22 ⎟⎜ ∂x ∂y ⎠⎝ ∂x ∂y ⎟ ⎠
下午3时19分
数学物理方法
方程的分类
而
∂η 2 ∂η ∂η ∂η 2 A22 = a11 ( ) + 2a12 + a22 ( ) ≠ 0 ∂x ∂y ∂x ∂y
a12 = a11 ⋅ a22
∂ξ 2 ∂ξ ∂ξ ∂ξ 2 A11 = a11 ( ) + 2a12 + a22 ( ) ∂x ∂y ∂x ∂y 2 ⎛ ∂ξ ⎞ ∂ξ ⎟ =0 + a22 = ⎜ a11 ⎜ ∂y ⎟ ∂x ⎝ ⎠ 由此推出
∂ξ A12 = a11 ∂x ⎛ = ⎜ a11 ⎜ ⎝ =0
( A11 − A22 ) + iA12 = 0
A11 = A22 ≠ 0, A12 = 0
从而方程（1）可改写为
∂2u ∂ξ 2
15
+
∂2u ∂η 2
= G
椭圆型方程的标准型
下午3时19分
数学物理方法
方程的分类
例
Tricomi方程
yu xx + u yy = 0
⎧< 0, (y > 0) Δ( x,y ) = − y = ⎪ ⎨ ⎪> 0, (y < 0) ⎩
系 数 之 （3） 间 的 关 系
5
A12 = a11ξ xη x + a12 (ξ xη y + η xξ y ) + a22ξ yη y
A22 = a11η x 2 + 2a12η xη y + a22η y 2
下午3时19分
数学物理方法
方程的分类
A11uξξ + 2 A12 uξη + A22 uηη =B1uξ + B2 uη + Cu + F （2）
数学物理方法
方程的分类
三、二阶线性PDE的分类 （两个自变量情形）
a11 uxx + 2a12 uxy + a22 u yy + b1 ux + b2 u y + cu = f
记
2 Δ ( x, y ) = a12 − a11a22
（1）
定义
方程(1)在点M(x,y)处是
双曲型：若在点M处，有 Δ( x, y ) > 0 椭圆型：若在点M处，有 Δ( x, y ) < 0 抛物型： 若在点M处，有 Δ( x, y ) = 0
数学物理方法
方程的分类
双曲型PDE
a 12 ± dy = dx
由此令
2 12
Δ ( x, y ) = a − a11a22 > 0
2 12
a − a 11 a 22 a 11
右端为两相异 的实函数
它们的一般积分为 ϕ ( x, y ) = C ,
⎧ξ = ϕ ( x , y ) ，方程（1）可改写为 ⎨ ⎩η = ψ ( x , y )
双曲型方程的 第一标准型 双曲型方程的 第二标准型
下午3时19分
ψ ( x, y ) = C
∂2u ∂u ∂u , ) = G (ξ ,η , u , ∂ξ∂η ∂ξ ∂η
⎧s = ξ + η ⎨ ⎩ t = ξ −η
10
∂2u ∂sห้องสมุดไป่ตู้
2
−
∂2u ∂t
2
= G1
数学物理方法
方程的分类
2 Δ ( x, y ) = a12 − a11a22 = 0
A11 = A22 = 0, A12 ≠ 0 双曲型：
椭圆型： A11 = A22 ≠ 0, A12 = 0 抛物型： A11 = A12 = 0, A22 ≠ 0
6
下午3时19分
数学物理方法
方程的分类
考虑
a11 z x 2 + 2a12 z x z y + a22 z y 2 = 0
如若能找到两个相互独立的解
3
下午3时19分
数学物理方法
方程的分类
u ( x, y )
复合求导
⎧ξ = ξ ( x , y ) ⎨ ⎩η = η ( x , y )
u (ξ ,η )
u x = uξ ξ x + uηη x
u y = uξ ξ y + uηη y
u xx = uξξ ξ 2 x + 2uξη ξ xη x + uηηη 2 x + uξ ξ xx + uηη xx
抛物型PDE
dy a 12 = dx a 11
由此得到一般积分为 由此令
ϕ ( x, y ) = C ,
⎧ξ = ϕ ( x , y ) ，其中ψ ( x, y ) 与 ϕ ( x, y ) ⎨ ⎩η = ψ ( x , y )
独立的任意函数。
11
下午3时19分
数学物理方法
方程的分类
由于
Δ ( x, y ) = 0
（4）
z = ϕ ( x, y )
那么就作变换
z = ψ ( x, y )
⎧ξ = ϕ ( x , y ) ⎨ ⎩η = ψ ( x , y )
从而有
A11 = A 22 = 0
下午3时19分
7
数学物理方法
方程的分类
结论1.
假设 z = ϕ ( x, y ) 是方程
a11 z x 2 + 2a12 z x z y + a22 z y 2 = 0
右端为两相异 的复数
由此推出两族复数积分曲线为
ϕ ( x, y ) = C , ϕ * ( x, y ) = C
其中
ϕ ( x, y ) = ϕ1 ( x, y ) + iϕ 2 ( x, y )
ϕ * ( x, y ) = ϕ1 ( x, y ) − iϕ 2 ( x, y )
14
下午3时19分
数学物理方法
u yy = uξξ ξ 2 y + 2uξη ξ yη y + uηηη 2 y + uξ ξ yy + uηη yy
u xy = uξξ ξ xξ y + uξη (ξ xη y + ξ yη x ) + uηηη xη y + uξ ξ xy + uηη xy
4
下午3时19分
数学物理方法
方程的分类
这就是抛物型的标准形式。
注：多于两个变量的二阶PDE的分类 有兴趣的同学可以查看相关资料，考 试不做要求。
18
下午3时19分
因此，方程（1）可改写为
∂2u ∂η 2
= G (ξ ,η , u ,
∂u ∂u , ) ∂ξ ∂η
抛物型方程的标准型
13
下午3时19分
数学物理方法
方程的分类
2 Δ( x, y ) = a12 − a11a22 < 0
2 a 12 − a 11 a 22 a 11
椭圆型PDE
a 12 ± dy = dx
数学物理方法
方程的分类
a11 uxx + 2a12 uxy + a22 u yy + b1 ux + b2 u y + cu = f
目的：通过自变量的非奇异变换来简化方程的主部，
从而据此分类。
（1）
⎧ξ = ξ ( x , y ) ⎨ ⎩η = η ( x , y )
非奇异
ξx ξ y ≠0 ηx η y
a11 uxx + 2a12 uxy + a22 u yy + b1 ux + b2 u y + cu = f
（1）
A11uξξ + 2 A12 uξη + A22 uηη =B1uξ + B2 uη + Cu + F （2）
A11 = a11ξ x 2 + 2a12ξ xξ y + a22ξ y 2