中考数学热点题型――规律探索篇

中考数学热点题型――规律探索篇

新课程标准要求学生，能够初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识.为适应新的教学理念及社会和谐发展的需要，兼具双重性质考试的中考，既要考查三基，又要考查数学应用能力，考查和测试继续学习和深造的潜在的能力，即学习潜力，为高一级学校输送合格的新生.近几年来出现了颇具新意的观察探索归纳猜想类型题，以数学概念及数学思想方法为载体，考查潜能的创新题脱颖而出.为了方便同学们搞好后期的中考复习，现以2007年全国部分省市的中考试题为例说明如下：

一、从数的运算中探索规律

例1（广西河池课改试题）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形数，根据它的规律，则第100个三角形数与第98个三角形数的差为＿＿＿.

分析观察这一组数有以下特征：1＝1

2

(12+1)，3＝

1

2

(22+2)，6＝

1

2

(32+3)，10＝

1 2(42+4)，15＝

1

2

(52+5)，21＝

1

2

(62+6)，……由此可以猜想第100个三角形数和第98个三

角形数的大小，即可求解.

解因为1＝1

2

(12+1)，3＝

1

2

(22+2)，6＝

1

2

(32+3)，10＝

1

2

(42+4)，15＝

1

2

(52+5)，21

＝1

2

(62+6)，……，

所以第98个这样的三角形数是

1

2

(982+98)，第100个这样的三角形数是

1

2

(1002+100)，即第100个三角形数与第98个三角形数的差为

1

2

(1002+100)－

1

2

(982+98)＝

1

2

(1002－

982+100－98)＝1

2

(198×2+2)＝199.故应填199.

说明同学们通过求解这道中考题，感觉一定不错吧！在数学解题中，只要我们认真地去分析题目的本质特征，找到其中隐藏的规律，求解起来还是十分地方便快捷.

二、从式的运算中探索规律

例2（杭州市）给定下面一列分式：

3

x

y

，－

5

2

x

y

，

7

3

x

y

，－

9

4

x

y

，…，（其中x≠0）

（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？

（2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式.

分析（1）后一个分式除以前面一个分式其结果都是负的，并且是一个恒定的代数式，（2）观察已知的一列分式可知分式的分母的指数依次增加1，分子的指数是分母指数的2倍加1，并且分母的指数是偶数的分式带有“－”号.

解（1）因为－

5

2

x

y

÷

3

x

y

＝

7

3

x

y

÷(－

5

2

x

y

)＝－

9

4

x

y

÷(－

7

3

x

y

)＝…＝－

2

x

y

，

所以任意一个分式除以前面一个分式的规律是恒等于－

2

x

y

.

（2）因为已知的一列分式可知分式的分母的指数依次增加1，分子的指数是分母指数

的2倍加1，并且分母的指数是偶数的分式带有“－”号，所以第7个分式应该是15

7x y

. 说明 求解此类中考试题除了要利用基础知识外，还要认真地分析每一个式子的特点，及时地发现、归纳出一般规律.

三、从图形特征中探索规律

例3（温州市）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和.现以这组数中的各个数作为正方形的长度构造如图1正方形：

再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个正方形拼成如下矩形并记为①、②、③、④.相应矩形的周长如下表和如图2所示：

若按此规律继续作矩形，则序号为⑩的矩形周长是＿＿＿.

分析 由数据1，1，2，3，5，8，13，…的规律可知矩形①、②、③、④、……的相应的长分别为2＝1+1，3＝1+2，5＝2+3，8＝3+5，…，89＝34+55，144＝55+89，233＝89+144，…，相应的宽分别为1，1+1，1+2，2+3，3+5，…，21+34，34+55，55+89，….由此可以获解.

解 依题意，得序号为⑩的矩形的宽为34+55＝89，长为55+89＝

144，所以号为⑩的矩形周长是(89+144)×2＝233×

2＝466.故应填上466.

说明 求解本题的关键一要正确理解1，

1，2，3，5，8，13，…的规律，二是以这组数中的各个数作为正方形的长度构造正方形的意义，三是要弄清楚分别依次从左到右取2个、3个、4

个、5个正方形拼成矩形的长和宽分别是多少.

四、从图案中探索规律

例4（乐山市）认真观察图3①的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：

① ② 图3 11231511211321④

③②①图2 11235...

图1