隐函数的求导方法总结

河北地质大学

课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法

学院：信息工程学院

专业名称：电子信息类

小组成员：史秀丽

角子威

季小琪

2016年05月27日

摘要 (3)

一．隐函数的概念 (3)

二．隐函数求偏导 (3)

1.隐函数存在定理1 (3)

2.隐函数存在定理2 (4)

3.隐函数存在定理3 (4)

三. 隐函数求偏导的方法 (6)

1.公式法 (6)

2.直接法 (6)

3.全微分法 (6)

参考文献 (8)

摘要

本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法

一．隐函数的概念

一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一

值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确

定了一个隐函数。例如，方程013

=-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-，

内取值时，变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。

二．隐函数求偏导

1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。，y 。）在某一领域内具有连续偏导数，

且0),(= y x F ，0),(≠ y x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。，y 。）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)( x f y =，并有

y

x

y F F d d x -

=。

例1:验证方程2

x -2

y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数dx

dy

在x=1处的值。 解 令),(y x F =2x -2

y ,则

x F =2x ，y F =-2y ，)1,1(F =0，)1,1(y F =-2≠0

由定理1可知，方程2

x -2

y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，

当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有

dx dy =y x F F -=y x 22=y

x 故

1=x dx

dy

=

)

1,(!y x

=1 2.隐函数存在定理2 设函数()z y x F ,,在点）（ z y x P ,,的某一邻域内具有连续偏

导数，且）（ z y x F ,,=0，0,,≠）（ z y x F z ，则方程()0,,=z y x F 在点() z y x ,,的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数()y x f z ,=,它满足条件() y x f z ,=并有

z

y z x F F y z

F F x z -=∂∂-=∂∂,。 例2：设函数()y x z z ,=由方程z y x z xy ++=2

所确定，求y

z

∂∂ 解：设()z y x z xy z y x F ---=2

,,

则012

≠-=xy F z （将x ，y 当常数，对z 求偏导）

12-=xyz F z （将x ，y 当做常数，对y 求偏导）

根据定理2：

2

211

2112xy

xyz xy xyz F F y z z y --=---=-=∂∂ 3.隐函数存在定理3 设()v u y x F ,,,、()v u y x G ,,,在点()0000,,,v u y x P 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又()()0,,,,0,,,00000000==v u y x G v u y x F ，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比

(Jacobi)）

()()

v F v

G u F u G v u G F J ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=,,

在点()0000,,,v u y x P 不等于零，则方程组()()0,,,,0,,,00000000==v u y x G v u y x F 在点

()0000,,,v u y x 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数

,它们满足条件，，并有

),(),,(y x v v y x u u ==),(000y x u u =),(000y x v v =

例3：设1,0=+=-xv yu yv xu ，求

.,,,y

v

x v y u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂ 解：⎩⎨⎧→⎪⎩

⎪⎨⎧⎩⎨⎧−−−−−→−-=∂∂⋅-∂∂⋅-=∂∂⋅+∂∂⋅=⋅∂∂-∂∂⋅+=∂∂⋅++∂∂⋅=-=+u x

v

y x u x v x v x x u y y x v x u x u x v x v x u y x yv xu xv yu 0001求导方程两边对

由定理3可求 022≠+==

=

-∂∂∂∂∂∂∂∂J y x J y x

x y v F v

G u F u

G 且

则2

2y

x yv

xu x

u y x

x y y x u v +=-

==∂∂----

2

2y x xv

yu x

v y x

x y u v x y +-=

=∂∂---

{

⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎩⎪⎨⎧−−−−−→−=∂∂⋅-∂∂⋅-=∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⋅--∂∂⋅=∂∂⋅+∂∂⋅+=-=+v y v y y u x u y

v x y u y y

v y v y u x y v

x y u y u yv xu xv yu 00y 01

求导方程两边对

同上可求得

22y x yu xv y u +-=∂∂ 22y

x yu

xv y v +--=∂∂ Gv

Gu Fv Fu Gv Gx Fv

Fx v x G F J u -=∂∂-=∂∂)

,()

,(1x Gv

Gu Fv Fu Gx Gu Fx

Fu

x u G F J v -=∂∂-=∂∂)

,()

,(1x Gv Gu Fv Fu Gv Gy Fv

Fy

v y G F J u -=∂∂-=∂∂),(),(1y Gv

Gu Fv Fu Gy Gu Fy

Fu

y u G F J v -=∂∂-=∂∂),()

,(1y