初三二次函数压轴题精选

二次函数压轴题

1、如图1，已知抛物线经过坐标原点O 和x 轴上另一点E ，顶点M 的坐标为 (2,4)；矩形

ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、AB 分别在x 轴、y 轴上，且AD=2，AB=3. （1）求该抛物线的函数关系式； （2）将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x 轴的正方向匀速

平行移动，同时一动点P 也以相同的速度．．．．．从点A 出发向B 匀速移动，设它们运动的时间为t 秒（0≤t≤3），直线AB 与该抛物线的交点为N （如图2所示）.

① 当t=2

5

时，判断点P 是否在直线ME 上，并说明理由；

② 设以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积为S ，试问S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

2、已知二次函数c bx ax y ++=2

的图象经过点A (3，0)，B (2，-3)，C (0，-3)．

(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；

(2)点P 从B 点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC 向C 点运动，点Q 从O 点出发以相同的速度沿线段OA 向A 点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t 秒．

①当t 为何值时，四边形ABPQ 为等腰梯形； ②设PQ 与对称轴的交点为M ，过M 点作x 轴的 平行线交AB 于点N ，设四边形ANPQ 的面积为S ， 求面积S 关于时间t 的函数解析式，并指出t 的 取值范围；当t 为何值时，S 有最大值或最小值．

x

y

O A B C P Q

M

N

第2题图

3、如图，P为正方形ABCD的对称中心，A（0，3），B（1，0），直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R 从O出发沿OM方向以2个单位每秒速度运动，运动时间为t。求：

（1）C的坐标为；

（2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？

并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形

时t的值及S的最大值。

4、如图，直线y = -x-1与抛物线y=ax2+bx-4都经过点A(-1, 0)、B(3, -4)．

（1）求抛物线的解析式；

（2）动点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线与抛物线

相交于点E，求线段PE长度的最大值；

（3）当线段PE的长度取得最大值时，在抛物线上是否存在

点Q，使△PC Q是以PC为直角边的直角三角形?若存在，

请求出Q点的坐标；若不存在．请说明理由．

5、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y =

2

4

1x +1， 点C 的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物 线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q (x ，y )在抛物线上，点 P (t ，0)在x 轴上. (1) 写出点M 的坐标；

(2) 当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时.

① 求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围；

② 当梯形CMQP 的两底的长度之比为1：2时，求t 的值.

1、解：（1）x x y 42

+-= （2）①点P 不在直线ME 上；

②依题意可知：P （t ,t ），N （t ，t t 42

+-）

当0＜t ＜3时，以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形是四边形PNCD ，依题意可得：

PNC

PCD S S S +=

=OD CD ⋅2

1+BC PN ⋅21=2321⨯⨯+()

24212⋅-+-t t t =332

++-t t

=4

21)2

3

(2

+

--t ∵抛物线的开口方向：向下，∴当t =

23，且0＜t ＜32＜3时，最大S =4

21 当03或=t 时,点P 、N 都重合，此时以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形是三角形 依题意可得，ABCD S S 矩形21=

=322

1

⨯⨯=3 综上所述，以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积S 存在最大值4

21

．

2、解：（1）∵二次函数c bx ax y ++=2

的图象经过点C (0，-3)，∴c =-3．

将点A (3，0)，B (2，-3)代入c bx ax y ++=2

得

⎩⎨

⎧-+=--+=.

32433390b a b a ，解得：a =1，b =-2．∴322

--=x x y ． 配方得：412

--=

）（x y ，所以对称轴为x =1． (2) 由题意可知：BP = OQ =0.1t ．

∵点B ，点C 的纵坐标相等，∴BC ∥OA ．

过点B ，点P 作BD ⊥OA ，PE ⊥OA ，垂足分别为D ，E ． 要使四边形ABPQ 为等腰梯形，只需PQ =AB ．

即QE =AD =1．又QE =OE －OQ =(2-0.1t )-0.1t =2-0.2t ，∴2-0.2t =1．

解得t =5．即t=5秒时，四边形ABPQ 为等腰梯形． ②设对称轴与BC ，x 轴的交点分别为F ，G ．

∵对称轴x =1是线段BC 的垂直平分线，∴BF =CF =OG =1．

又∵BP =OQ ，∴PF =QG ．又∵∠PMF =∠QMG ，∴△MFP ≌△MGQ ． ∴MF =MG ．∴点M 为FG 的中点，∴S=BPN ABPQ S -S ∆四边形，

=BPN ABFG S -S ∆四边形．由=

ABFG S 四边形FG AG BF )(21+=2

9． t FG BP S BPN

4032121=⋅=∆．∴S=t 40

3

29-．又BC =2，OA =3， ∴点P 运动到点C 时停止运动，需要20秒． ∴0

3、解：（1）C(4,1)；

（2）当∠MDR ＝45０

时，ｔ＝2,点H （2，0）

当∠DRM ＝45０时，ｔ＝3,点H （3，0） （3）S ＝－

12t ２＋2t （0<ｔ≤4）；S ＝12

t ２－2t （t>4） 当CR ∥AB 时，t ＝413，S ＝72

39

当AR ∥BC 时，t ＝29，S ＝8

9

当BR ∥AC 时，t ＝31，S ＝18

11