4-2正态随机变量的线性组合

1 ( 1 ) (.) .
3.小 结
正态分布的重要性质（定理２）：两个或多个相互 独立的正态分布的线性组合仍是正态分布．
即 设X1,X2,…,Xn相互独立, 且 Xi ~ N( μi ,σi2 ), i=1,2,…,n,
则有 C1 X1 C2 X2 ... Cn Xn
~
N (C1 μ1
设X1,X2,…,Xn相互独立,且X1,X2,…,Xn服从同
一分布N (, 2 )
平均值，则有
,
X
1 n
n i1
Xi
是X1,X2,…,Xn的算术
X ~ N ( μ, 2 n ),
或
X ~ N (0,1). n
2. 典型例题
例1 设内燃机汽缸的直径（以cm计）X ~ N (.,. ),
活塞的直径（以cm计）Y ~ N (40.5,0.32 ), 设X和Y相互
独立.若活塞不能装入汽缸则需返工，求返工的概率.
解 按题意需求概率 P{X Y } P{ X Y 0},
由定理2知 X Y ~ N (41.5 40.5,0.42 0.32 ),
即
X Y ~ N (1,0.25),
P{ X Y 0} P{ X Y 1 1} (2)
0.5 0.5
相互独立,求 P{ X Y }.
解
由定理2的注
X
i
9 1
X
i
~
N (2, 4), 9
Y
1 4
4
Yi
i 1
~
N (1, 1 ), 4
又由假设 X和Y 相独立,故知 X Y ~ N ( 1, ),
X Y ~ N (, )
P{ X Y } P{ X Y 0} P{ X Y 1 1 }
故所求概率为
P{Y1
Y2
Y3
19}
P{ 3i1Yi
0.27
18
19 18} 0.27
1(
1) 0.27
1 (1.92)
1 0.9276 0.0274
(2) 分别记3只电阻器的电阻为Y1,Y2,Y3,则有
Yi ~ N (6, 2 ), i 1,2,3, 且Y1,Y2,Y3相互独立,所以 Y1 Y2 Y3 ~ N (, 3 2 ),
C22
...
Cnn , C12σ12
C22
2 2
...
C
n2
2 n
).
特别地，设X1,X2,…,Xn相互独立,且X1,X2,…,Xn 服从同一
分布N (, 2 ) 则有
X,
1
n
n i 1
X
i
是X1,X2,…,Xn 的算术平均值，
X ~ N ( μ, 2 n ),
或
X ~ N (0,1). n
作业 Ｐ111 2,8,9
4.2 正态随机变量的线性组合
1.有关定理 2.典型例题 3.小结
1. 有关定理
定理1 设 Y1 ~ N ( μ1 , σ12 ), Y2 ~ N ( μ2 , σ22 ), 且Y1,Y2相
互独立,则有
Y1 Y2
~
N
(
μ1
wk.baidu.com
2
,
σ12
2 2
).
推广定理1有
定理2 设X1,X2,…,Xn相互独立, 且 Xi ~ N(μi ,σi2 ), i=1,2,…,n,则有
C1 X1 C2 X2 ... Cn Xn
~
N (C1 μ1
C22
... Cnn , C12σ12
C
22
2 2
...
Cn2
2 n
).
注 (1) 教材上通过求概率密度的方法证明定理1有
些麻烦,另有其他证明方法较为简单(如求特征函
数法)，有兴趣的同学可以自学.
(2) 如在定理2中取 C1 C2 ... Cn n ,可得 下面重要结论:
1 (2) 1 0.9772 0.0228
例2 一电路由3只独立工作的电阻串联而成, (1)已知电阻器的电阻(以欧计)Y ~ N (6,0.32 ), 求
电路的总电阻W超过19的概率; (2)设电阻器的电阻 Y ~ N (6, 2 ), 若求电路的
总电阻W 超过19的概率小于0.005,问要控制 至
按题意,需求 使得 P{Y1 Y2 Y3 19} .
P{ 3i1Yi 18 19 18} .
1 (
1 ) .,
(
1 ) . (.),
1 .,
.
例3 设X1,X2,…,X9相互独立且都服从 N (,),
Y1,Y2,Y3,Y4相互独立且都服从 N (,), 又设X 和Y
多是多少? 解 (1) 分别记3只电阻器的电阻为Y1,Y2,Y3,则有
Yi ~ N (6, 0.32 ), i 1,2,3,
Yi ~ N (6, 0.32 ), i 1,2,3, 且Y1,Y2,Y3相互独立,所以
Y1 Y2 Y3 ~ N (3 6, 3 0.32 ), 即 Y1 Y2 Y3 ~ N (18, 0.27),