1章4节 行列式按行(列)展开

降阶法的一般手法：
1观察哪一行(列)0元素最多，
选之化为仅一非零元的行(列)， 或观察哪两行(列)成比例元素最多，
选其一化为仅一非零元的行(列)，
2按仅一非零元的行(列)展开行列式。
切勿忘记展开结果三要素： 元素aij、符号(1)i j 余子式Mij
12 3 4
例2 仍计算例1的行列式
定理1行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的 代数余子式乘积之和，
即 D = ai1Ai1 ai2 Ai2 L ain Ain (i = 1, 2,L , n) 行列式等于它的第i行各元素与其对应的代数
余子式乘积之和。 或 D = a1 j A1 j a2 j A2 j L anj Anj ( j = 1, 2,L , n)
行列式等于它的第j列各元素与其对应的代数 余子式乘积之和。 证明见课本P21。
推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应 元素的代数余子式乘积之和等于零，
即 ai1 Aj1 ai 2 Aj2 L ain Ajn =0
(i j)
行列式第i行各元素与第j行的对应元素的代数
余子式乘积之和等于0。
§1.4 行列式按行(列)展开
上节我们学习了行列式的性质，计算行列式有了较为 便捷的方法。
但是，在计算高阶甚至n阶行列式时，化三角形的过程 依然不简单，特别是当计算的规律不明显时，比如， 化a11下方为0的方法，与化a22下方为0的方法不同， 是否有方法将其分离、简化？
答案是肯定的，这就是按行(列)展开法， 也称降阶法。
n1
这不是三角形行列式，若化上三角形，元素1 x不易消，
若化下三角形， rk1 - rk 即各减下一行即可。
x 0 0L
r -r
1 x x 0 L
k 1 k
(k 2)
(1)n1
0
1 x x L
L L LL
首行起，次第 0
0
上行减下行
0 0L 0 0L
00 00 0 0 下三角 (1)n1 xn2。 LL x0 1 x 1
即：D = aij Aij 证明见课本P 20。 这就是著名的行列式降阶计算法， 它的应用条件就是 其中i行所有元素除aij外都是0。
或者说，其中某行只有一个非0元。
而将行列式某行化成仅剩一个非零元的方法， 我们早已掌握 ——倍加。
引理：是数学中为了取得某个更好的结论而作为步骤被证明的命题， 其意义并不在于自身被证明，而在于为达成最终目的作出贡献。
a41 a43 a44 就叫元素a32的余子式， 注意：元素aij与余子式M ij 相互一一对应。
例如 在四阶行列式
a11 a12 a13 a14
D a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
对M
乘上符号(-1)32得到的
32
a11 a13 a14
例3 计算行列式 D 0 2 3 1 0.
0 4 1 4 0 0 2 3 50
5 3 1 2
解 D 按a25展开 2 (1) 0 2 3 1
0 4 1 4 02 35
2 3 1
2 3 1
按a11展开
25 (1) 4
1
4
r 2r
2
1
r r
10 0
7 2
√ 1 x x x x 1 2 3 rk1 rk 各减下行， 多数x变0，
1x x x x x1
主对角线上方全为1，
1 2 3 4L 1 1 2 3L 1 x 1 2L
证明 左边= L L L L L
1 x x xL 1 x x xL 1 x x xL
n 1 n
首行起，次第
n 2 n 1 n3 n2
它有效地加快了行列式计算的速度。
再看习题1-1中 第3题证明题：
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3

a1
b2 b3
c2 c3
b1
a2 a3
c2 c3
c1
a2 a3
b2 b3
这里，三阶行列式 由它的第一行元素分别各乘以一个 二阶行列式，此二阶行列式不含第一行元素，
这样将三阶行列式的计算 转化为二阶行列式的计算，
其中：第三列元素为 a13 3, a23 1, a33 1, a43 0,
各元素对应代数余子式为
10 2
12 4
A13 (1)13 3 1 0 19; A23 (1)23 3 1 0 63;
1 2 5
1 2 5
12 4
A33 (1)33 1 0 2 18; A43 因a43 0而免于计算,
D, 0,
D, 0,
i j i j i j i j
大量应用的是等于D的关系式——降阶法，
但要警惕的是误用等于0的关系式。
12 3 4
例1 按第三列展开计算行列式
10 D
1
2 .
3 1 1 0
1 2 0 5
解 按第三列展开式为 D = a13 A13 a23 A23 a33 A33 a43 A43
分析：n阶范得蒙行列式有n行n列，
1 1L 1
x1 Dn x12
L
x2 L x22 L LL
xn

xn2
(xi x j )
L
ni j1
x n1 1
x n1 2
L
x n1 n
其中，第一行元素全是1，
第二行元素是各不相同的数x1，x2，L , xn； 第三行元素是这些数的平方数x12，x22，L , xn2；
A32 =(-1)32M32 a21 a23 a24 a41 a43 a44
就叫元素a32的代数余子式。 注意：元素a32的代数余子式A32 由a32的余子式M32乘上
符号(1)32 得到，此符号的指数 为元素a32的行码 列码。
于是，利用代数余子式的表示，行列式：
a11 a12 a13 D= a21 a22 a23
第四行元素是这些数的立方数x13，x23，L , xn3； LLLLL
第k L
+L1L行L元L素是这些数的k次方数x1k，x2k，L
,
xnk；
第n行元素是这些数的n 1次方数x1n1，x2n1，L , xnn1。
1 1L 1
x1 Dn x12
L
x2 L x22 L LL
xn
xn2
当到达aij时的符号，就正好是(1)i j。 此法不须确定行、列码，
5 3 1 2 0 1 7 2 52
例如 D 0 2 3 1 0 中
0 4 1 4 0 0 2 3 50
指定元素2的符号为
"-"号 正好是(1)25
此法减少了确定行、列 码并作相加运算的时间
5 3 1 2 0 1 7 2 52
上行减下行
LL
r r k 1 k
2 3 (k 2,L , n)
12
x1 n
0 1 1 1L 1 1
1 1 1L 1 1
0 1 x 1 1 L 1 1
1 x 1 1 L 1 1
0 0 1 x 1 L 1 1
LL
L
LL
L
L
按c1展
1(1)n1 0 L
1 x 1 L L LL
1 L
1 L
推导n不确定的行列式求解方法。
1 2 3 4L n
1 1 2 3 L n 1
例4 求证
1 x 1 2 L n2 1 x x 1 L n 3 (1)n1 xn2。
LLLLL L
1 x x xL 2
1 x x xL 1
分析：这是n阶行列式，不易了解到行列式元素的变化规律， 从而实施化0的运算，可具体化为7阶，
n1
例5 证明范得蒙行列式 (不作要求)
1 1L 1
x1 Dn x12
L x n1
1
x2 L x22 L
LL
x n1 2
L
xn
xn2
(xi x j ) 。
L
ni j1
x n1 n
其中记号“П”表示全体同类因子的乘积。 n i j 1 表示i，j遍取1至n之间的数 且要求保持i > j的关系。
0 0 0 0L 1 1
0 0 0L 1 1
0 0 0 0 L 1 x 1
0 0 0 L 1 x 1
1 x x xL x 1
n1
n
标上阶数不易搞错
1 1 1L 1 1 1 x 1 1 L 1 1 (1)n1 0 1 x 1 L 1 1 L L LL L L
0 0 0L 1 1 0 0 0 L 1 x 1
这样便于寻找更好的方法。
1 1 1
2 1 x
3 2 1
4 3 2
5 4 3
6 5 4
7 6 5
目标：化a11下方全为0，
1 rk r1 各减首行，x变得无规律，
1 x x 1 2 3 4 2 rk rk1 各减上行，多数x变0，
1 x x x 1 2 3 但首行不变，主对角线上方为-1，
3
1
2 35
0 66
按a11展开
10(2)(1) 7
6
2 6 20 (42 12) 1080。
计算n阶行列式的一般方法
1观察元素的分布、变化规律， 2规律不明显时可写出n为确定值时的行列式， 3 探求n为确定值的行列式求解方法，
4通过掌握的n为确定值的行列式求解方法，
a31 a32 a33
就可以符号化表示为 D a11 A11 a12 A12 a13 A13
这样为下一步的讨论和演算 提供了很大的方便， 为脱离繁琐的运算，从整体上分析行列式的运算 做好了准备。
引理 一个n阶行列式D，若其中第i行所有元素除aij外 都为零，则该行列式等于aij与它的代数余子式Aij的乘积
因此，计算行列式时，应先用行列式性质 将行列式中 某行(列)化为仅含一个非零元素，再按此行(列)展开， 即可将此行列式化为低一阶的行列式，
如此继续下去，直到化为二、三阶行列式为止。
降阶法的应用
由于降阶法是按任意一行 或按任意一列展开的方法，
所以降阶法应该按0元素最多的行(列)展开， 从而降阶前应该化某行(列)仅有一非零元。
D中元素aij的代数余子式。
例如 在四阶行列式
a11 a12 a13 a14
D a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
中，去掉元素a32所在的 第3行 和第2列，将余下的元素 按原来位置重新排成的行列式
a11 a13 a14 M 32 a21 a23 a24
1 D
0
1
2 .
3 1 1 0
1 2 0 5
解 易见，化原已有0的第2、3行或第2、3列为仅一非零元时，
计算量较少，
r 2r
1
3
D r 2r
4
3
70 1 4 10 1 2 3 1 1 0 按c2展开 7 0 2 5
71 4 (1)(1)32 1 1 2
7 2 5
r r
1 2 5
即得 D = 319 1 (63) (1)18 0 24。
二、用降阶法计算行列式
直接应用按行(列)展开法 D = ai1Ai1 ai 2 Ai 2 L ain Ain = a1 j A1 j a2 j A2 j L anj Anj
计算行列式，计算量仍然较大，尤其是高阶行列式。 但前面例1可见，当展开行(列)中有0元素时，就可以 减少该元对应的余子式的计算。
或 a1i A1 j a2i A2 j L ani Anj 0
(i j)
行列式第i列各元素与第j列的对应元素的代数
余子式乘积之和等于0。
证明见课本P21。
将定理1和推论综合起来，得到：
行展开： 列展开：
n
aki Akj Dij
k 1
n
aik Ajk Dij
k 1
2
1
r 2r
3
1
714 6 0 2 21 0 3
按c2展开 1 (1)12 6 2 21 3
(18 42) 24。
切记： 应用按行(列)展开法时，千万不要漏掉 三要素：元素aij、符号(1)i j 余子式Mij 之一， 最容易漏掉的是符号(1)i j，
确定代数余子式符号(1)i j的简捷方法： 从a11起，正号起步，每过一个元素，变更一次符号，
从而提示：可以将n阶行列式 转化为低一阶行列式 进行计算，
这样逐次降阶，从而通过计算低阶行列式来解决
高阶甚至n阶行列式的计算问题。
一、行列式按一行(列)展开
为从更一般的角度来考虑 使用低阶行列式来表示
高阶行列式的问题，这里需要引入余子式 和代数余子式 的概念。
定义1 在n阶行列式D中，去掉元素aij所在的 第i行 和第j列后，余下的n 1阶行列式，称为D中元素aij的 余子式 ，记为Mij , 再记Aij (1)i j Mij , 称Aij为