第三章圆 回顾与思考

第三章圆

《回顾与思考（第2课时）》

教学设计说明

一、学生起点分析

学生的知识技能基础

通过本章内容的学习，学生初步掌握圆的相关知识，结合《圆》复习课第一课时，逐渐形成“圆的基本概念与定理”、“与圆有关的位置关系”、“与圆有关的计算”的知识网络体系.

学生活动经验基础

在圆的相关知识的学习过程中，学生逐渐形成了数学思想方法，如在探索圆周角与圆心角关系、点与圆、直线与圆的位置关系的过程中体会分类讨论思想，研究拱桥跨度、拱高等问题时建立建模思想，研究垂径定理、圆心角、弧、弦之间关系定理时体会化归与转化思想等.同时在以往的数学学习中学生已经经历了很多探究学习的过程，具有了一定的探究学习的经验，具备一定的提出问题、分析问题的能力.

二、教学任务分析

通过复习课第一课时内容的学习，学生对《圆》的知识网络体系进行了初步的梳理与构建.本课通过创设开放性的问题情景，引导学生综合应用知识从不同角度展开提问并尝试解答，从另一个维度对本章的数学知识与思想方法进行反思，通过进一步整合、重组，将其内化到学生原有的认知体系中.为此，本节课的教学目标是：

1．通过问题的设计，对圆的相关知识与思想方法进行反思，逐步培养提出问题，分析问题的能力；

2．在解决具体问题的过程中，构建圆的知识体系，内化数学思想方法.

3．在探索活动中通过合作与交流，进一步发展合作交流的能力和数学表达能力.

三、教学设计分析

本课共分三个环节：问题开放、变式练习、总结归纳.

第一环节：问题开放

如图：已知在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的

⊙O 交BC 于点D ，过D 作DE ⊥AC 于点E ，CD ＝3，

∠ACB ＝30 º .

请同学们尝试提出问题.

『分析』本题改编自一道课后练习题，题目的信息量非常丰富，由于问题的开放性，学生可提出问题的角度很多，如垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、与圆有关的计算等.如：

问题1：求证点D 是BC 的中点；

问题2：求⊙O 的半径；

问题3：求点O 到BD 的距离；

问题4：求证DE 是⊙O 的切线；

……

学生提出问题后，分组并进行求解或证明.

问题1：求证点D 是BC 的中点；

『分析』本题涉及圆的基本概念与性质，通过连接AD ，构造直径所对的圆周角，利用直径所对的圆周角是直角，等腰三角形三线合一，即可得证. 本题辅助线的构造方式是有关圆问题讨论的常用方案，本题也较好地体现了转化的思想方法.类似地，学生还可以提出：求证AD 平分∠CAB .

问题2：求⊙O 的半径；

『分析』利用含30º角的直角三角形边角关系，勾股定

理，等边对等角等方法，便可求得半径.本题较好地体现了

圆与三角形知识的综合应用.

类似的，学生还可以提出：求DE 、AE 、AD 的长度，

解题思路类似.

问题3：求点O 到BD 的距离；

『分析』本题通过作OF ⊥BD ,

构造垂径定理基本模型，结合勾股定理便可F

求得结论.

教师点拨：以上几个问题主要涉及圆的基本概念与定理，请同学们谈一谈学习这部分内容的知识线索？

——圆具备轴对称性和旋转对称性，利用轴对称变换的方法我们探索垂径定理及其逆定理，然后用推理证明的方法进行证明；用旋转变换的方法我们探索圆心角、弧、弦之间相等关系的定理，然后加以证明；我们还用推理证明的方法研究了圆周角与圆心角的关系.

教师点拨：虽然圆这部分涉及的知识非常丰富，但只要我们把握了学习的基本线索，相关的概念、定理便易于理解、掌握.本章还研究了与圆有关的位置关系，请同学们继续就有关内容提出新的问题？

问题4：求证DE 是⊙O 的切线

『分析』本题主要考察直线与圆的位置关系，证明方法多种，涉及知识面较丰富，是一个很有价值的问题.为此，本题先由学生独立完成，再进行分组讨论，讨论、比较不同的证明方法，总结规律.

证法1：由于已知点D 为圆上一点，要求证DE 是⊙

O 的切线，根据切线得判定定理，可构造辅助线OD ，并

证明半径OD ⊥DE .具体方法如下：连接DO 、AD ，因为

AB 是直径，所以∠ADB ＝90 º，即∠1＋∠4＝90 º；又

因为DE ⊥AC ，所以∠4＋∠C ＝90 º，可得∠1＝∠C ＝30 º.

因为AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C ＝30 º，故∠3＝90 º －∠B ＝60 º；又因为OD ＝OA ，所以∠2＝∠3＝60 º，所以∠ODE ＝∠1＋∠2＝90 º，即半径OD ⊥DE ，从而得证DE 是⊙O 的切线.

教师点拨：这种证法的亮点在于准确把握了证明直线与圆相切的一种常用的辅助线作法，构造半径OD ，通过证明OD ⊥DE ，从而得证DE 是⊙O 的切线.还有其它证明方法吗？

证法2：可以通过证明OD ∥AC ，由∠ODE =∠DEC =90

º，证明DE 是⊙O 的切线.具体方法如下：连接DO ，因为

OB =OD ，AB =AC ，所以∠5=∠B ，∠C =∠B ，故∠5﹦∠C ，

所以OD ∥AC ；又因为DE ⊥AC ，所以∠ODE ﹦∠DEC ＝90

º ，即半径OD ⊥DE ，所以DE 是⊙O 的切线.

教师点拨：本题结合了平行线的性质与判定，使证明方法更简洁了，可见在 5 1 3 4 2

几何证明过程中，知识综合应用的优越性.

证法3：还有更简洁的方法！由于BO =AO ，BD =CD ，利用三角形中位线即可得证OD ∥AC ，便易证DE 是⊙O 的切线.

『分析』通过一题多证，从多角度构建起知识的联系与拓展，进一步丰富的几何知识体系的构建.教师适时进行点拨，结合本题总结归纳直线与圆的位置关系的有关知识以及与切线有关的常用辅助线作法.

第二环节：变式练习

变式：如图，已知⊙O 的直径AB ＝2，∠ABC ＝30 º，

BC ＝23，D 是BC 的中点，试判断点D 与⊙O 的位置关系.

请判断下列解题过程是否正确？

解：连接OD 、AD ,

∵AB 是直径

∴∠ADB ＝90 º

∵AO =BO

∴OD ＝AB 2

1=AO ∴点D 在圆上

『分析』本题考查点与圆的位置关系，基本的思想方法是转化为点到圆心的距离与半径比较，即把“形”的关系，转化为“数”的关系.该题解题过程为看似利用“直径所对的圆周角是直角”以及“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”便可获得结论，然而仔细分析题目条件却发现∠ADB 并没有条件确定圆周角，条件不完备，解法错误.本题应利用勾股定理计算出OD 的长度，再与半径比较作出判断.

解：连接OD ，作OF ⊥BC 于点F

在Rt △BOF 中，∠B ＝30 º，OF ＝

21OB ＝21 ∴BF ＝2322=-OF BO ∵D 是BC 中点，BC ＝23，

∴BD ＝2

1BC ＝3 ∴DF ＝BD －BF ＝

23

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