复变函数习题总汇与参考答案

复变函数习题总汇与参考答案(总

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复变函数习题总汇与参考答案

第1章 复数与复变函数

一、单项选择题

1、若Z 1=（a, b ）,Z 2=(c, d),则Z 1·Z 2=（C ）

A （ac+bd, a ）

B (ac-bd, b)

C （ac-bd, ac+bd ）

D (ac+bd, bc-ad)

2、若R>0，则N （∞，R ）={ z ：（D ）}

A |z|

B 0<|z|

C R<|z|<+∞

D |z|>R

3、若z=x+iy, 则y=(D) A B C D

4、若A= ，则 |A|=（C ） A 3 B 0 C 1 D 2

二、填空题

1、若z=x+iy, w=z 2=u+iv, 则v=（ 2xy ）

2、复平面上满足Rez=4的点集为（ {z=x+iy|x=4} ）

3、（ 设E 为点集，若它是开集，且是连通的，则E ）称为区域。

2z

z +2z z -i

z

z 2+i

z z 2-)1)(4()

1)(4(i i i i +--+

4、设z 0=x 0+iy 0, z n =x n +iy n (n=1,2,……)，则{z n }以z o 为极限的充分必要条件是 x n =x 0，且 y n =y 0。

三、计算题

1、求复数-1-i 的实部、虚部、模与主辐角。

解：Re(-1-i)=-1 Im(-1-i)=-1

|-1-i|=

2、写出复数-i 的三角式。 解：

3、写出复数 的代数式。

解：

4、求根式

的值。 +∞→n lim +∞→n lim ππ4

5|11|arctan ),1(12)1()1(=--+=--∴--=-+-i ary i 在第三象限 ππ23sin 23cos i i +=-i i i i i i i i i i i i i i i 212312

121)1()1)(1()1(11--=--+-=⋅-++-+=-+-i

i i i -+-113

27-

解：

四、证明题

1、证明若 ，则a 2+b 2=1。 证明：

而

)35sin 35(cos 33)

sin (cos 33)3sin 3(cos 3327)27arg(3

27)

34(

2

)32(1303ππππππππππ

ππi e W i e W i e

W z i i i +==+==+==-=∴=-=++⋅的三次根的值为 bi a yi x yi x +=+-bi a yi x yi x +=+- ||||yi

x yi x bi a +-=+∴2

2||b a bi a +=+1122222222=+∴=++=+-∴b a y x y x yi

x yi x

3、证明： 证明：

)Re(2212

221221z z z z z z +++=+∴

=+=--++-++=-++-+=+∴-=+=-=+=+++=+++=++=++=+)Re(2)(2)()())(())(())(())((2112212211122122211221221121212121221z z by ax i ay bx by ax i ay bx by ax bi a yi x yi x bi a z z z z yi x z yi x z bi a z bi a z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z 则则设)

Re(2212221221z z z z z z ⋅++=+

第2章 解析函数

一、单项选择题

1．若f(z)= x 2-y 2+2xyi,则 2、若f(z)=u(x, y)+iv(x,y), 则柯西—黎曼条件为（D ）

A B C D

3、若f(z)=z+1, 则f(z)在复平面上（C ）

A 仅在点z=0解析

B 无处解析

C 处处解析

D 在z=0不解析且在z ≠0解析

4、若f （z ）在复平面解析，g(z)在复平面上连续，则f(z)+g(z)在复平面上（C ）

A 解析

B 可导

C 连续

D 不连续

二、填空题

1、若f(z)在点a 不解析，则称a 为f(z)的奇点。

2、若f(z)在点z=1的邻域可导，则f(z)在点z=1解析。

3、若f(z)=z 2+2z+1，则

4、若 ，则 不存在。 )

()(D z f ='y v x v y u x u

∂∂=∂∂∂∂=∂∂且x

v x u x v y u ∂∂=∂∂∂∂-=∂∂且y

v x v y u x u ∂∂=∂∂∂∂=∂∂且x v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂且2

2)(+='z z f )

2)(1(7)(--=z z z f =')1(f

三、计算题：

1、设f(z)=zRe(z), 求

解： = 2、设f(z)=e x cosy+ie x siny,求 解：f(z)=e x cosy+ie x siny=e z ,z=x+iy

u=e x cosy v=e x siny

f(z)=u+iv

∴f(z)在复平面解析，且 =e x cosy+ie x siny 3、设f(z)=u+iv 在区域G 内为解析函数，且满足u=x 3-3xy 2， f(i)=0,试求f(z)。

解：依C-R 条件有Vy=ux=3x 2-3y 2

则V （x1y ）=3x 2y-y 3+c(c 为常数)

故f(z)=x 3-3xy 2+i(3x 2y-y 3+c)=x 3-3xy 2+i(cx 2y-y 3)+ic

=z 3+ic ，为使f(i)=0, 当x=0,y=1时，

f(i)=0, 有f(0)=-i+ic=0

∆Z -∆Z +→∆)0()0(lim 0f f z ∆Z -∆Z +→∆)0()0(lim 0f f z ∆Z ∆Z ∆Z →∆)Re(lim

0z 0)Re(lim 0

=∆Z =→∆z )

(z f 'y e y v x u x cos =∂∂=∂∂

y e y

v y u x sin =∂∂-=∂∂ie

y e z f x +='cos )()(z f 'c

x Q xy

uy x Q xy v x Q y y x dy y x v x =∴=-='+=∴+-=-=∴⎰)(6)(6)

(3)33(3222